Билинейные формы Шестаков. Білінійні та квадратичні функції С. С. Шестаков. Конспект лекцій для студентів заочного відділенння
 Скачать 1.43 Mb.
|
|
Додатні квадратичні функції Означення. Квадратична функція  на векторному просторі  над полем називається додатною, якщо для  тоді і тільки тоді, коли  . Нехай  - полярна симетрична білінійна функція, що породжує додатну квадратичну функцію , тоді задає на просторі скалярний добуток. Дійсно, перевіримо виконання умов скалярного добутку: 1.  . Це випливає з симетричності білінійної функції  2.  3.  Виконання цих умов випливає з лінійності функції за першим аргументом.4.   тоді і тільки тоді, коли .Умова виконується, оскільки  - додатна квадратична функція.Критерій Сильвестера Будемо казати, що матриця  з дійсними елементами задовольняє умову Сильвестера, якщо всі її кутові мінори додатні. Тобто, якщо  - порядок матриці, а  - всі кутові мінори матриці, то  Теорема (критерій Сильвестера). Квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі додатна тоді і тільки тоді, коли в деякому базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера. Доведення. Необхідність. Нехай - додатна квадратична функція на скінченновимірному просторі . Покажемо, що в будь-якому базисі  простору матриця квадратичної функції  задовольняє умову Сильвестера. Доведемо це індукцією за розмірністю простору. Нехай спочатку  , ненульовий вектор  утворює базис . Тоді в цьому базисі квадратична функція задається квадратичною формою: .Припустимо, що  . Тоді  для деякого  , причому  ; і, оскільки - додатна квадратична функція, то  . Але  , тому  .Припустимо тепер, що твердження виконується для всіх просторів розмірності менше  , тобто, будь-яка квадратична функція в будь-якому базисі такого простору задається матрицею, яка задовольняє умову Сильвестера. І нехай  , - деяка квадратична функція на , - фіксований базис простору, в якому функції відповідає матриця  Покажемо, що  де  - всі кутові мінори матриці . У цьому базисі квадратична функція задається такою квадратичною формою:  .Цю квадратичну форму можна переписати так:  .Визначимо підпростір  і нехай  .Тоді  - квадратична форма від змінних  , яка при фіксованому базисі  підпростору  задає на цьому підпросторі деяку квадратичну функцію  причому  . Тому, оскільки функція  додатна, то і функція  додатна. Але  ,тому, за припущенням індукції, матриця квадратичної функції на підпросторі у базисі задовольняє умову Сильвестера. Ця матриця співпадає з матрицею кутового мінору  матриці  . Залишається показати, що  . Зводимо квадратичну функцію до канонічного вигляду. При цьому знаходимо базис простору  , у якому функції відповідає діагональна матриця:  .Зрозуміло, що  ,і, оскільки   ,то  .Якщо  - матриця переходу від базису  то  ,причому  . Тоді  ,і, оскільки  а  ,то  .Достатність. Припустимо, що - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , і в базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера. Тоді ця матриця задовольняє і умову Якобі, а тому існує базис простору, в якому функція задається канонічною квадратичною формою: де - всі кутові мінори матриці . За умовою теореми, всі коефіцієнти цієї квадратичної форми додатні. Припустимо, що  -довільний вектор, який у базисі задається такими координатами:  . Тоді .Якщо  , то серед координат  є ненульові, а тому , тобто, функція  додатна.Зауваження. В процесі доведення останньої теореми фактично було показано, що матриця додатної квадратичної функції на скінченновимірному просторі в будь-якому базисі задовольняє умову Сильвестера. Застосування теорії симетричних матриць до теорії квадратичних функцій Нехай - симетрична матриця з дійсними елементами порядку . За теоремою про будову симетричної матриці існують діагональна матриця  та ортогональна матриця  , такі, що  . Причому, якщо  ,то  - усі власні числа матриці , з урахуванням їх кратностей. Нехай тепер - векторний простір розмірності над полем , - деякий фіксований базис простору, - квадратична функція на просторі , якій у базисі відповідає матриця . Припустимо також, що - такий базис простору , що матриця є матрицею переходу від базису до базису . У просторі можна ввести скалярний добуток, відповідний базису , таким чином. Для векторів  , які в базисі задаються такими координатами:  , покладемо .Тоді при такому скалярному добутку базис ортонормований і, оскільки матриця переходу від базису до базису ортогональна, то базис також ортонормований. У цьому базисі квадратичній функції відповідає така матриця: .Це означає, що в цьому базисі квадратична функція задається канонічною квадратичною формою:  ,де - усі власні числа матриці . |