|
Билинейные формы Шестаков. Білінійні та квадратичні функції С. С. Шестаков. Конспект лекцій для студентів заочного відділенння
Додатні квадратичні функції
Означення. Квадратична функція на векторному просторі над полем називається додатною, якщо для тоді і тільки тоді, коли .
Нехай - полярна симетрична білінійна функція, що породжує додатну квадратичну функцію , тоді задає на просторі скалярний добуток.
Дійсно, перевіримо виконання умов скалярного добутку:
1. .
Це випливає з симетричності білінійної функції
2.
3.
Виконання цих умов випливає з лінійності функції за першим аргументом.
4. тоді і тільки тоді, коли .
Умова виконується, оскільки - додатна квадратична функція.
Критерій Сильвестера
Будемо казати, що матриця з дійсними елементами задовольняє умову Сильвестера, якщо всі її кутові мінори додатні.
Тобто, якщо - порядок матриці, а - всі кутові мінори матриці, то Теорема (критерій Сильвестера). Квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі додатна тоді і тільки тоді, коли в деякому базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера. Доведення. Необхідність. Нехай - додатна квадратична функція на скінченновимірному просторі . Покажемо, що в будь-якому базисі простору матриця квадратичної функції
задовольняє умову Сильвестера.
Доведемо це індукцією за розмірністю простору.
Нехай спочатку , ненульовий вектор утворює базис . Тоді в цьому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:
.
Припустимо, що . Тоді для деякого , причому ; і, оскільки - додатна квадратична функція, то . Але , тому
.
Припустимо тепер, що твердження виконується для всіх просторів розмірності менше , тобто, будь-яка квадратична функція в будь-якому базисі такого простору задається матрицею, яка задовольняє умову Сильвестера. І нехай , - деяка квадратична функція на , - фіксований базис простору, в якому функції відповідає матриця
Покажемо, що де - всі кутові мінори матриці . У цьому базисі квадратична функція задається такою квадратичною формою:
. Цю квадратичну форму можна переписати так:
.
Визначимо підпростір і нехай
.
Тоді - квадратична форма від змінних , яка при фіксованому базисі підпростору задає на цьому підпросторі деяку квадратичну функцію причому . Тому, оскільки функція додатна, то і функція додатна. Але
,
тому, за припущенням індукції, матриця квадратичної функції на підпросторі у базисі задовольняє умову Сильвестера. Ця матриця співпадає з матрицею кутового мінору матриці .
Залишається показати, що . Зводимо квадратичну функцію до канонічного вигляду. При цьому знаходимо базис простору , у якому функції відповідає діагональна матриця:
. Зрозуміло, що
,
і, оскільки
,
то
.
Якщо - матриця переходу від базису то
,
причому . Тоді
,
і, оскільки
а
,
то
. Достатність. Припустимо, що - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , і в базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера. Тоді ця матриця задовольняє і умову Якобі, а тому існує базис простору, в якому функція задається канонічною квадратичною формою:
де - всі кутові мінори матриці . За умовою теореми, всі коефіцієнти цієї квадратичної форми додатні. Припустимо, що -довільний вектор, який у базисі задається такими координатами: . Тоді
.
Якщо , то серед координат є ненульові, а тому , тобто, функція додатна.
Зауваження. В процесі доведення останньої теореми фактично було показано, що матриця додатної квадратичної функції на скінченновимірному просторі в будь-якому базисі задовольняє умову Сильвестера.
Застосування теорії симетричних матриць до теорії квадратичних функцій
Нехай - симетрична матриця з дійсними елементами порядку . За теоремою про будову симетричної матриці існують діагональна матриця та ортогональна матриця , такі, що . Причому, якщо
,
то - усі власні числа матриці , з урахуванням їх кратностей. Нехай тепер - векторний простір розмірності над полем , - деякий фіксований базис простору, - квадратична функція на просторі , якій у базисі відповідає матриця . Припустимо також, що - такий базис простору , що матриця є матрицею переходу від базису до базису . У просторі можна ввести скалярний добуток, відповідний базису , таким чином. Для векторів , які в базисі задаються такими координатами: , покладемо
.
Тоді при такому скалярному добутку базис ортонормований і, оскільки матриця переходу від базису до базису ортогональна, то базис також ортонормований. У цьому базисі квадратичній функції відповідає така матриця:
.
Це означає, що в цьому базисі квадратична функція задається канонічною квадратичною формою:
,
де - усі власні числа матриці .
|
|
|