Билинейные формы Шестаков. Білінійні та квадратичні функції С. С. Шестаков. Конспект лекцій для студентів заочного відділенння
 Скачать 1.43 Mb.
|
|
Квадратичні функції та квадратичні форми Нехай  - симетрична білінійна функція на векторному просторі  над полем  . Означення. Квадратичною функцією  називається функція одного аргументу, яка утворена ототожненням аргументів симетричної білінійної функції , тобто,  .Означення. Симетрична білінійна функція , яка породжує квадратичну функцію , називається полярною білінійною функцією квадратичної функції . Теорема. Для даної квадратичної функції існує єдина полярна білінійна функція. Доведення. Нехай - квадратична функція на просторі , - її полярна симетрична білінійна функція. Тоді для даних фіксованих  , враховуючи симетричність функції  , одержимо:  .Звідси  Якщо  - інша полярна білінійна функція, то також виконується ,тобто,  .У розумінні цієї теореми дослідження симетричних білінійних функцій зводиться до дослідження квадратичних функцій. Припустимо, що - скінченновимірний простір,  - деякий фіксований базис простору,  - довільний вектор, який у цьому базисі задається такими координатами:  . Тоді . Позначимо  .Тоді  .Сума такого вигляду називається квадратичною формою від змінних  . Таким чином, квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі в будь-якому базисі задається деякою квадратичною формою. В цьому розумінні часто ототожнюють поняття квадратичної функції та квадратичної форми. Оскільки в різних базисах квадратична функція задається різними квадратичними формами, то кажуть про вигляд квадратичної форми в тому чи іншому базисі.Означення. Матрицею квадратичної функції у даному базисі називається матриця в цьому базисі її полярної білінійної функції . Два способи завдання квадратичних функцій Припустимо, що - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , - її полярна білінійна функція,  - фіксований базис простору, в якому квадратичній функції відповідає матриця  .Якщо - довільний вектор, який у даному базисі має такі координати:  , то  .Цей спосіб є матричним способом завдання квадратичної функції. Перемножимо матриці і отримаємо:  ,або, враховуючи симетричність матриці,   .Одержуємо квадратичну форму від  змінних  . Цей спосіб є завданням квадратичної функції за допомогою квадратичної форми.Припустимо, що в даному базисі квадратична функція задається квадратичною формою. Виникає питання, як знайти матрицю квадратичної функції в цьому базисі. Неважко бачити, що коефіцієнтами при квадратах змінних є діагональні елементи матриці. Припустимо, що всі члени в квадратичній формі зведені, тоді при  коефіцієнтом при добутку змінних  є сума елементів матриці  , причому  . Звідси випливають наступні правила побудови матриці квадратичної функції.Визначається, від скількох змінних залежить квадратична форма. Це число дає порядок матриці. На головній діагоналі матриці виписуються коефіцієнти при квадратах змінних. Заповнюється верхній трикутник матриці: на місці  ставиться половина коефіцієнта при добутку змінних .Заповнюється нижній трикутник матриці так, щоби матриця була симетричною. Зведення квадратичної функції до канонічного вигляду Нехай  - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , - фіксований базис простору, в якому квадратична функція задається деякою квадратичною формою .Квадратична форма  називається канонічною, якщо в ній присутні лише квадрати змінних, тобто,  .Задача зведення полягає в тому, що, користуючись даним базисом простору, знаходиться такий базис простору  , у якому квадратична функція задається канонічною квадратичною формою. Зрозуміло, що в такому базисі матриця квадратичної функції є діагональною. Звідси - матричне формулювання задачі. Користуючись матрицею  квадратичної функції в даному базисі знайти невироджену матрицю  , таку, що матриця  діагональна. Тоді - матриця переходу до нового базису.Згадаємо деякі факти. Нехай  - базиси векторного простору , - матриця переходу від базису  до базису  . Якщо довільний вектор у базисі задається координатами , а в базисі - координатами  , то  або  .Навпаки, якщо для деякої квадратної матриці виконується:  ,то - матриця переходу від базису . Дійсно, зафіксуємо індекс  і, оскільки рівність виконується для будь-якого  , покладемо  . Тоді вектор  в базисі задається такими координатами: , а в базисі - координатами:  , де координата 1 знаходиться на  -му місці. Тоді  Це означає, що вектор-стовпчик  співпадає з -м стовпчиком матриці . Тобто, матриця складається з координат векторів  у базисі . Отже, матриця є матрицею переходу від базису .Метод Лагранжа (метод виділення повних квадратів) Метод Лагранжа є методом зведення квадратичної функції до канонічного вигляду. Він полягає в послідовних виділеннях повних квадратів та замінах змінних. Кожна заміна змінних означає перехід до нового базису. Нехай квадратична функція на скінченновимірному просторі у базисі  задається квадратичною формою:   ,і припустимо, що  . В дужках збираємо всі доданки, що містять змінну    ,де  - деяка квадратична форма від змінних  . У дужках виділяємо повний квадрат:  ,де  - сума всіх доданків, які не містять змінну  . Тоді  ,де  - квадратична форма від змінних  . Зробимо заміну змінних: .Або, в матричному вигляді,  Позначимо  Матриця  невироджена, оскільки .З’ясуємо зміст цієї заміни. Заміна змінних означає перехід до нового базису  , причому, якщо вектор у базисі  задається координатами , а в базисі  - координатами , то  ,або  .Таким чином,  - матриця переходу від базису  до базису  .У новому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:  .Далі застосовуємо аналогічні міркування для квадратичної форми  .Припустимо, що в початковій квадратичній формі  , але для деякого  .Тоді використовуємо аналогічні міркування для змінної  .Окремо розглянемо випадок, коли в початковій квадратичній формі немає квадратів змінних, тобто,  .Тоді форма складається лише з мішаних добутків змінних і для деякої пари індексів  . Припустимо для визначеності, що  , і зробимо заміну змінних:  .У матричному вигляді:  .Позначимо  Заміна змінних означає перехід від початкового базису до нового базису  , причому, якщо вектор у базисі задається координатами: , а в базисі  координатами: , то Тобто,  - матриця переходу від базису до базису .У новому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:     ,де квадратична форма  складається лише з мішаних добутків змінних. Продовжуючи цей процес далі, через  кроків приходимо до базису простору , у якому квадратична функція задається канонічною квадратичною формою: Кожний крок алгоритму означає перехід до нового базису. Нехай  - відповідні матриці переходу. Тоді для початкових та заключних змінних виконується рівність:  Це означає, що матриця  є матрицею переходу від початкового базису до заключного базису . |