Билинейные формы Шестаков. Білінійні та квадратичні функції С. С. Шестаков. Конспект лекцій для студентів заочного відділенння
 Скачать 1.43 Mb.
|
|
Метод Якобі Нехай  - квадратна матриця порядку  . Кутовим мінором порядку  матриці називається мінор  , побудований на перших  рядках та стовпчиках матриці .Наприклад,   ,тоді   ,  ,  .Будемо казати, що матриця задовольняє умову Якобі, якщо всі її кутові мінори не дорівнюють нулю.Теорема Якобі (критерій Якобі). Нехай квадратична функція  на скінченновимірному векторному просторі  у деякому базисі задається матрицею , яка задовольняє умову Якобі. Тоді в просторі існує базис, у якому функції  відповідає квадратична форма: ,де  - всі кутові мінори матриці .Доведення. Припустимо, що в базисі  простору квадратичнійфункції  відповідає матриця  ,яка задовольняє умову Якобі . Через  позначимо полярну симетричну білінійну функцію, яка породжує квадратичну функцію . Новий базис  простору будемо шукати у вигляді    .Для знаходження коефіцієнтів  припустимо, що вектори задовольняють умови   Знайдемо спочатку вектор   Оскільки  , то  а тому  .Припустимо тепер, що вже знайдено вектори   , і знайдемо вектор  скориставшись умовами  .Це означає, що     Оскільки   то ці рівності можна переписати так: Ми одержали систему лінійних рівнянь відносно невідомих  . Система квадратна, її головний визначник  співпадає з кутовим мінором  матриці . Тобто,  , за умовою теореми. Система має єдиний розв’язок, за теоремою Крамера, - , ці значення визначають вектор  . Знайдемо  за формулою Крамера: ,де  - визначник, який одержується з визначника заміною  -го стовпчика на стовпчик вільних членів. Але   ,тоді  Тому  .Доведемо тепер, що вектори утворюють базис простору. Оскільки кількість векторів у цій системі співпадає з розмірністю простору, то достатньо довести лінійну незалежність цієї системи. Припустимо супротивне. Тобто, нехай ці вектори лінійно залежні. Оскільки  ,це означає, що деякий вектор  лінійно виражається через попередні вектори системи , тобто, .Але для кожного індексу вектор  лінійно виражається лише через вектори  , тоді вектор можна лінійно виразити через вектори  :  для деяких  . Отже,  Тоді  Оскільки  ,то з останньої рівності вектор  можна лінійно виразити через вектори . Цього бути не може, оскільки вектори  утворюють базис простору. Таким чином, припущення було не вірним, а тому вектори лінійно незалежні і також утворюють базис простору. Знайдемо матрицю  квадратичної функції у базисі . Припустимо спочатку, що  , і, враховуючи принцип побудови векторів , одержуємо:  .Оскільки матриця симетрична, звідси випливає, що всі її елементи, що стоять поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю. Тобто, матриця діагональна. Знайдемо тепер діагональні елементи:  Таким чином,  .Тобто, матриця має такий вигляд:  .Якщо довільний вектор  у базисі задається такими координатами:  , то  .Тобто, в базисі квадратична функція задається такою канонічною квадратичною формою: Закон інерції квадратичних форм Нехай - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі над полем  . Тоді в будь-якому базисі простору вона задається деякою квадратичною формою. Квадратичну функцію можна звести до канонічного вигляду. Це означає, що шукається базис, у якому функція задається канонічною квадратичною формою. Але цей базис можна знайти різними способами. Тому для даної квадратичної функції існує багато таких базисів і багато канонічних квадратичних форм. Але для всіх цих форм виконується закон інерції квадратичних форм.Теорема (закон інерції квадратичних форм). Незалежно від способу зведення квадратичної функції на скінченновимірному просторі до канонічного вигляду у відповідних канонічних квадратичних формах число додатних коефіцієнтів, число від’ємних коефіцієнтів, а тому і число ненульових є величинами сталими. Доведення. Нехай - квадратична функція на скінченновимірному просторі ,  - базиси простору, в яких функція задається канонічними квадратичними формами. Припустимо, що в базисі  функції відповідає квадратична форма: У базисі  функції відповідає квадратична форма:  Доведемо, що  Покажемо спочатку, що  Оскільки в базисі  квадратична функція задається канонічною квадратичною формою, то в цьому базисі матриця квадратичної функції діагональна. На діагоналі матриці стоять коефіцієнти при квадратах змінних у квадратичній формі. Тобто, ранг цієї матриці дорівнює  . Аналогічно, в базисі  квадратичній функції відповідає діагональна матриця, ранг якої дорівнює  . Вище було показано, що ранг матриці білінійної функції не залежить від вибору базису, тому Покажемо тепер, що  . Доведемо це від супротивного. Припустимо, що  і, для визначеності, покладемо, що  . Визначимо підпростори:  Тоді  ,але  а тому  .Тобто, існує ненульовий вектор  Оскільки  , то вектор  лінійно виражається через вектори  : ,тобто, в базисі простору вектор задається такими координатами:  А тому  .Оскільки  , то серед координат  існує принаймні одна ненульова і, враховуючи, що  одержуємо, що  . Оскільки  , то вектор лінійно виражається через вектори  : .Тобто, в базисі вектору відповідають такі координати:  .Тоді   оскільки  . Приходимо до суперечності:  Отже,  і, оскільки, за доведеним,  , то  .Зауваження. Під рангом квадратичної функції розуміється ранг її полярної білінійної функції. Ранг білінійної функції дорівнює рангу її матриці в будь-якому базисі. Якщо квадратична функція зводиться до канонічного вигляду, то знаходиться базис, у якому квадратичній функції відповідає діагональна матриця і канонічна квадратична форма. На діагоналі матриці стоять коефіцієнти при квадратах змінних у квадратичній формі. Звідси випливає, що ранг квадратичної функції співпадає з числом ненульових коефіцієнтів у канонічній квадратичній формі, яка відповідає цій квадратичній функції. |