Билинейные формы Шестаков. Білінійні та квадратичні функції С. С. Шестаков. Конспект лекцій для студентів заочного відділенння
![]()
|
Алгоритм зведення квадратичної функції до канонічного вигляду ортогональним перетворенням змінних Припустимо, що квадратична функція ![]() ![]() ![]() Складається матриця ![]() ![]() ![]() Знаходяться всі власні числа ![]() ![]() Для матриці ![]() ![]() Координати векторів ![]() ![]() ![]() У базисі ![]() ![]() Для початкових та заключних змінних виконується рівність: ![]() Класифікація поверхонь другого порядку Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() Поверхнею другого порядку називається множина точок простору, координати яких задовольняють загальному рівнянню поверхні другого порядку: ![]() де коефіцієнти ![]() Для розв’язання задачі знаходиться така декартова прямокутна система координат, у якій поверхня задається канонічним рівнянням. Як відомо, початок такої системи координат співпадає з центром поверхні, а вісі координат - з вісями поверхні. Позначимо: ![]() Ця сума є квадратичною формою від змінних ![]() ![]() ![]() Новому базису відповідає нова декартова прямокутна система координат. Якщо ![]() ![]() ![]() рівність ![]() У рівнянні поверхні другого порядку зробимо заміну змінних за цією формулою. В новій системі координат поверхня задається рівнянням: ![]() Ортогональне перетворення змінних означає, що зроблено поворот системи координат на деякий кут у деякій площині. Далі аналіз розбивається на три випадки, в залежності від числа квадратів, що залишились: 1. Залишилось три квадрати. 2. Залишилось два квадрати. 3. Залишився один квадрат. Розглянемо випадок 1. Залишається три квадрати, тобто ![]() ![]() Виділяємо повні квадрати: ![]() Зробимо заміну змінних: ![]() Ця заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат ![]() ![]() У новій системі координат поверхня задається рівнянням ![]() Далі можливі такі варіанти: 1) Числа ![]() ![]() а) Якщо ![]() ![]() Одержується рівняння еліпсоїда. б) Якщо ![]() в) Якщо ![]() ![]() 2) Якщо знаки чисел ![]() ![]() Тоді: а) Якщо ![]() ![]() Одержується рівняння однопорожненого гіперболоїда. б) Якщо ![]() ![]() Одержується рівняння двопорожненого гіперболоїда. в) Якщо ![]() ![]() Одержується рівняння конуса. Розглянемо випадок 2. Залишається два квадрати. Припустимо, що ![]() ![]() 1) Припустимо спочатку, що ![]() ![]() Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат ![]() ![]() У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням: ![]() Припустимо спочатку, що числа ![]() ![]() а) Якщо ![]() ![]() Одержуємо рівняння еліптичного циліндра. б) Якщо ![]() в) Якщо ![]() ![]() Система двох рівностей задає пряму – вісь координат ![]() Припустимо тепер, що знаки чисел ![]() ![]() а) Якщо ![]() ![]() ![]() Одержується рівняння гіперболічного циліндра. б) Якщо ![]() ![]() Таке рівняння задає пару площин . 2) Припустимо тепер, що ![]() ![]() Зробимо заміну змінних: ![]() Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат ![]() ![]() У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням: ![]() Можливі такі варіанти: а) Якщо числа ![]() ![]() ![]() Одержується рівняння еліптичного параболоїда. б) Якщо знаки чисел ![]() ![]() ![]() Одержуємо рівняння гіперболічного параболоїда. Розглянемо випадок 3. Залишається один квадрат. Вважаємо, що ![]() ![]() Далі можливі три варіанти, в залежності від наявності змінних ![]() Нехай ![]() ![]() Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат ![]() ![]() У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням: ![]() Вважаємо, що ![]() а) Якщо ![]() ![]() Рівняння задає пару площин. б) Якщо ![]() в) Якщо ![]() ![]() Одержуємо рівняння одної площини. Нехай ![]() ![]() ![]() Зробимо заміну змінних: ![]() Заміна означає, що виконується паралельне перенесення системи координат ![]() ![]() У новій системі координат поверхня задається таким рівнянням: ![]() або ![]() ![]() Одержується рівняння параболічного циліндра. Нехай ![]() ![]() Така заміна означає поворот системи координат у деякій площині на деякий кут. У новій системі координат одержується рівняння типу, який розглядається в попередньому випадку. Література КУРОШ А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1965. - 360 с. ПРОСКУРЯКОВ И.В. Сборник задач по линейной алгебре.- М.: Наука, 1984.- 380 с. 3. ФАДДЕЕВ Д.К., СОМИНСКИЙ И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977. - 302 с. Предметний вказівник
|