11 лекция1 логарифм. Лекция 1 Понятие логарифма

• Название: Лекция 1 Понятие логарифма
• Дата: 22.05.2019
• Размер: 22.51 Kb.
• Имя файла: 11 лекция1 логарифм.docx
• Тип: Лекция; #78263

11 класс тема «Логарифм»

Учитель: Рудая В.В.

ЛЕКЦИЯ 1 Понятие логарифма

Повторение: Выражение а^х называется степенью (положительное число). Число а -основание степени (положительное число), число х – показатель степени (действительное число).

При изучении математики нам очень часто приходилось иметь дело с уравнениями. Напоминаю, уравнение – это равенство, содержащие переменные. Решить уравнение, значит найти все его корни (значения переменной) или доказать, что корней нет.

Примеры:

1. 
   20 + х = 100; х = 100-20; х =80; ответ:80
   
2. 
   5 * х =30; х = 30÷5; х =6; ответ:6
   
3. 
   Х² =16;х =±4; ответ: ±4
   

Обращаю Ваше внимание на то, что при нахождении корня часто приходиться пользоваться обратными действиями: сложение – вычитание; умножение – деление; возведение в степень – извлечение корня этой-же степени.

Рассмотрим следующее уравнение 2^х = 32. Легко найти корень методом подбора – это число 5, т.к. 2⁵ =32.

А как Вам такое уравнение 2^х = 35. Думаете, что это уравнение не имеет корней, ничего подобного! Корень есть и понятно, что это число больше 5, но меньше 6.

С подобной ситуацией мы уже встречались, когда, решая уравнение х² =5, поняли, что надо вводить новый символ математического языка – корень квадратный из 5. Обдумывая ситуацию с уравнением 2^х = 35, математики ввели в рассмотрение новый символ log₂, который назвали логарифмом по основанию 2 и с помощью этого символа корень уравнения 2^х = 35 можно записать так: х = log₂ 35 (читается: «логарифм числа 35 по основанию 2)

ВЫВОД: Любое уравнение вида а^х = b, где a и b – положительные числа, причем, число а не равно 1 имеет единственный корень:

Х = log_ab (логарифм числа b по основанию а)

Числа a и b – положительные по определению степени, число а не равно 1, т. к. в противном случае уравнение а^х = b может иметь бесконечное множество корней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Примеры:

log₂ 8 = 3, так как 2³ =8

log₃ ( ¹/₂₇ ) = -3, так как 3^-3 =¹/₂₇

log_1/2 32 = -5, так как (1/2)^-5 =2⁵ =32

Особо выделим три формулы (попробуй обосновать их самостоятельно):

log_aа = 1 log_a1 = 0 log_aа^с = с

Например,

log₂2 = 1, log₃ 3⁶⁷ = 67, log₁₂₃1 =0

Кстати, число log₂ 35 – это иррациональное число. Напоминаю, что такие числа нельзя записать в виде обыкновенной дроби или бесконечной периодической дроби. Если у тебя есть программируемый калькулятор, с помощью которого можно вычислять логарифмы, то можешь удостовериться, что получиться бесконечная непериодическая десятичная дробь (также как и при вычислении квадратного корня из 5 или очень знакомое нам число π). Очень часто приходиться иметь дело с логарифмом по основанию 10. Такой логарифм называют десятичным. Вместо символа log₁₀ принято использовать символ lg (гораздо проще). Например, вместо log₁₀6,7 записываем lg6,7.

Согласно определению логарифма получаем основное логарифмическое тождество

а^х = b, а так как Х = log_ab, то получаем а^logab = b

Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.