Лекция. Лекция 20. Лекция 20 Основы динамики сооружений Учебные вопросы 20 Предмет и задачи динамики сооружений
![]()
|
Лекция 20 Основы динамики сооружений Учебные вопросы: 20.1. Предмет и задачи динамики сооружений 20.2. Системы с одной степенью свободы 20.3. Пример расчета балки в виде системы с одной степенью свободы 20.4. Свободные колебания системы с произвольнымчислом степеней свободы Динамика сооружений - это один из специальных разделов строительной механики, посвященный методам расчета сооружений на динамические нагрузки. Динамические нагрузки по своей природе весьма разнообразны. К такого рода воздействиям относятся природные явления, т.е. сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамические воздействия технологического или аварийного происхождения: движение неуравновешенных частей машин и механизмов; падение летящего тела при соударение его с элементами конструкций; работа копров, молотов и других ударных механизмов; движение поездов, кранов и т.д. Особенностью динамических нагрузок является то, что при их действии сооружение переходит в состояние движения, причем при периодическом повторении динамических воздействий в определенных условиях происходит накопление энергии системы, выражающееся в постепенном увеличении амплитуды колебаний. Это явление, называемое резонансом, особенно опасно для сооружения тем, что разрушение может произойти и при воздействиях с малой интенсивностью. Существенным отличием динамических методов расчета от статических является введение в уравнениях состояния нового переменного - времени и, ввиду их значительности, инерционных сил. При этом, если при решении аналогичных задач при статическом нагружении, уравнения состояния выражались при помощи алгебраических или трансцендентных уравнений, то соответствующая динамическая задача требует уже решения дифференциальных уравнений с производными по времени. В динамике сооружений следует различать два типа движения или колебания системы. Колебания системы при отсутствии действия внешних сил называются свободными. Если колебания системы сопровождаются действием внешних динамических нагрузок, то колебания называются вынужденными. Для описания динамических колебаний необходимо ввести в рассмотрение следующие понятия: круговая частота w и период колебаний ![]() ![]() Системы в динамике сооружений различаются по числу степеней свободы. Числом степеней свободы системы называется число независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение системы (материальных точек) в любой момент времени при ее (их) движении. Число степеней свободы системы складывается из числа степеней свободы материальных точек, принадлежащих системе. Число степеней свободы является основной характеристикой системы при динамических воздействиях. В динамике сооружений различают два основных подхода: кинетостатический и энергетический. Кинетостатический подход состоит в том, что сооружение в произвольный момент времени предполагается находящимся в равновесном состоянии под действием заданных динамических и вызванных ими инерционных нагрузок. Далее для составления уравнений состояния применяются классические методы строительной механики (метод сил, перемещений или смешанный). Энергетический подход основан в определении в равновесном состоянии через закон сохранения энергии с учетом инерционных сил. В частности, когда силы сопротивления движению не учитываются, энергетический принцип в общем случае записывается в виде: ![]() где K - кинетическая энергия системы; V - потенциальная энергии системы или работа внешних или внутренних сил, так как система в процессе колебания находится в равновесном состоянии. В настоящей книге при решении конкретных задач ограничимся применением кинетостатического подхода, а для вывода уравнения - метода сил. 20.2. Системы с одной степенью свободы Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная материальная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может совершать перемещения только в вертикальном направлении, следовательно, система имеет одну степень свободы. ![]() Рис.20.1 Будем исследовать движение системы из ее исходного положения равновесия при t= 0 (рис.20.1, а), считая перемещение вниз положительным. Пусть на балку действует динамическая сила величиной: ![]() ![]() ![]() ![]() В процессе движения на массу действует сила инерции ![]() ![]() Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего сопротивления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной. Вводим следующие обозначения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произвольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение: ![]() откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы: ![]() Принимаем обозначения: ![]() ![]() С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (14.3) принимает вид: ![]() Решение дифференциального уравнения (20.4), с учетом начальных условий (20.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется ![]() ![]() Здесь приняты следующие обозначения: ![]() ![]() ![]() Круговая частота ![]() Коэффициент затухания колебания определяется по корректированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наиболее обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.: ![]() где ![]() ![]() ![]() Для различных конструкций средние значения ![]() Таблица 20.1
Выражение (20.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии силы ![]() Так как ![]() ![]() Здесь приняты следующие обозначения: ![]() ![]() ![]() Если в момент времени t = 0 система находится в состоянии покоя, т.е. ![]() ![]() Величина kД называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P0 = const. Коэффициент динамичности существенно зависит от отношения ![]() ![]() ![]() ![]() 20.3. Пример расчета балки в виде системы с одной степенью свободы Проверить прочность балки в рабочем режиме вибратора, расположенного по середине пролета балки (рис.20.2, а), учитывая только вертикальную составляющую вертикальной силы: ![]() ![]() ![]() На первом этапе для выполнения расчетов необходимо определить величину коэффициента динамичности. Для этого сначала определим величину коэффициента затухания ![]() Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис.20.2, б и по формуле Мора определим ![]() ![]() Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий: ![]() ![]() ![]() Рис.20.2 Собственная частота системы с учетом затухания колебания принимает значения: ![]() Коэффициент динамичности определяется из (14.10) по формуле: ![]() ![]() Последовательно определим максимальное значение момента в опасном сечении (рис.20.2, в, г) от статических и динамических сил: ![]() ![]() Максимальное напряжение в опасном сечении принимает значение: ![]() т.е. прочность конструкций обеспечена. 20.4. Свободные колебания системы с произвольнымчислом степеней свободы Рассмотрим свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. В качестве объекта рассмотрим упругую невесомую балку, изображенную на рис.14.3 и с n сосредоточенными массами m1, m2, m3,..., mn. Пренебрегаем продольными деформациями оси балки в процессе колебаний. При этом положение системы однозначно определяется перемещениями сосредоточенных масс yi (t) (i = 1,2,3,...,n) в произвольные моменты времени t, вызванными упругими деформациями балки в поперечном направлении. ![]() |