09 Подпространства. Лекция 9 Подпространства
 Скачать 242.08 Kb.
|
|
Лекция 9: Подпространства Б.М.Верников Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество M векторного пространства V называется подпространством пространства V , если выполняются следующие условия: 1) если x, y ∈ M, то x + y ∈ M (замкнутость подпространства относительно сложения векторов); 2) если x ∈ M, а t — произвольное число, то tx ∈ M (замкнутость подпространства относительно умножения вектора на число). Приведем ряд примеров подпространств. Пример 1. Пусть V — произвольное векторное пространство. Очевидно, что все пространство V и множество M = {0} являются подпространствами в V , причем V — наибольшее подпространство в V . Следующее простое наблюдение показывает, что {0} — наименьшее подпространство в V . Замечание 1 Нулевой вектор содержится в любом подпространстве M пространства V . Доказательство. Если x — произвольный вектор из M, то по второму условию из определения подпространства 0 = 0 · x ∈ M. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Примеры подпространств (2) Пример 2. Рассмотрим пространство R 3 , которое, как отмечалось в лекции 7, можно отождествить с обычным трехмерным пространством. Пусть M — множество векторов, коллинеарных некоторой плоскости π. Ясно, что сумма двух векторов, коллинеарных π, и произведение вектора, коллинеарного π, на любое число коллинеарны π. Следовательно, M — подпространство в R 3 . Аналогично доказывается, что множество векторов, коллинеарных некоторой прямой , также является подпространством в R 3 Пример 3. В силу теоремы 1 из лекции 3 общее решение произвольной однородной системы линейных уравнений с n неизвестными есть подпространство пространства R n . Отметим без доказательства, что справедливо и обратное утверждение. Замечание 2 Всякое подпространство пространства R n является пространством решений некоторой однородной системы линейных уравнений с n неизвестными. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Примеры подпространств (3) Пример 4. Пусть V — произвольное векторное пространство и a 1 , a 2 , . . . , a k ∈ V . Обозначим через M множество всевозможных линейных комбинаций векторов a 1 , a 2 , . . . , a k . Пусть x, y ∈ M, т. е. x = s 1 a 1 + s 2 a 2 + · · · + s k a k и y = t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k для некоторых чисел s 1 , s 2 , . . . , s k и t 1 , t 2 , . . . , t k . Пусть, далее, t — произвольное число. Тогда x + y = (s 1 a 1 + s 2 a 2 + · · · + s k a k ) + (t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k ) = = (s 1 + t 1 )a 1 + (s 2 + t 2 )a 2 + · · · + (s k + t k )a k , tx = t(s 1 a 1 + s 2 a 2 + · · · + s k a k ) = (ts 1 )a 1 + (ts 2 )a 2 + · · · + (ts k )a k Мы видим, что x + y, tx ∈ M, т. е. M — подпространство пространства V . Оно называется подпространством, порожденным векторами a 1 , a 2 , . . . , a k или линейной оболочкой векторов a 1 , a 2 , . . . , a k , и обозначается через a 1 , a 2 , . . . , a k . Ясно, что если a 1 , a 2 , . . . , a k — система порождающих (в частности, базис) пространства V , то a 1 , a 2 , . . . , a k = V . Из определения подпространства вытекает, что a 1 , a 2 , . . . , a k — наименьшее подпространство пространства V , содержащее векторы a 1 , a 2 , . . . , a k Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Размерность подпространства (1) Очевидно, что подпространство векторного пространства само является векторным пространством. Это позволяет говорить о размерности и базисе подпространства. Предложение 1 Пусть M — подпространство векторного пространства V . Тогда dim M dim V , причем dim M = dim V тогда и только тогда, когда M = V . Доказательство. Если M или V — нулевое пространство, то оба утверждения теоремы выполняются тривиальным образом. Будем поэтому считать, что M и V — ненулевые пространства. Зафиксируем базис (a 1 , a 2 , . . . , a k ) подпространства M и базис (b 1 , b 2 , . . . , b ) пространства V . Если k > , то в силу леммы 2 из лекции 8 система векторов a 1 , a 2 , . . . , a k линейно зависима. Но это противоречит определению базиса. Следовательно, k , т. е. dim M dim V . Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Размерность подпространства (2) Пусть dim M = dim V , т. е. k = . Тогда система векторов a 1 , a 2 , . . . , a k является максимальной линейно независимой. В самом деле, в противном случае существует вектор a такой, что система a 1 , a 2 , . . . , a k , a линейно независима. Но она содержит k + 1 вектор, что противоречит лемме 2 из лекции 8. Таким образом, система векторов (a 1 , a 2 , . . . , a k ) является базисом пространства V . Следовательно, любой вектор из V является линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 , . . . , a k . Поскольку эти векторы лежат в M, а M — подпространство в V , это означает, что любой вектор из V лежит в M, т. е. V ⊆ M. Обратное включение выполнено по условию, и потому M = V . Итак, если dim M = dim V , то M = V . Обратное утверждение очевидно. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов Укажем способ нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов. Алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства пространства R n , порожденного данным набором векторов Запишем данные векторы в матрицу по строкам и приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом нашего подпространства, а число этих строк равно его размерности. Обоснование этого алгоритма будет дано в лекции 12. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Алгоритм выяснения того, принадлежит ли вектор подпространству Рассмотрим следующую задачу: даны вектор x ∈ R n и подпространство M пространства R n , порожденное векторами a 1 , a 2 , . . . , a k ; требуется выяснить, принадлежит ли вектор x подпространству M. Ясно, что x ∈ M тогда и только тогда, когда x = t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k для некоторых t 1 , t 2 , . . . , t k ∈ R. Расписав последнее равенство покомпонентно, мы получим систему n линейных уравнений с неизвестными t 1 , t 2 , . . . , t k . В основной матрице этой сиситемы по столбцам записаны векторы a 1 , a 2 , . . . , a k , а в последнем столбце расширенной матрицы стоит вектор x. Вектор x лежит в M тогда и только тогда, когда эта система совместна. Вспоминая метод Гаусса решения систем линейных уравнений, получаем следующий алгоритм. Алгоритм выяснения того, принадлежит ли вектор подпространству Даны вектор x ∈ R n и подпространство M пространства R n , порожденное векторами a 1 , a 2 , . . . , a k . Составим матрицу размера n × (k + 1), в первых k столбцах которой запишем векторы a 1 , a 2 , . . . , a k , а в последнем столбце — вектор x. Начнем приводить ее к ступенчатому виду, не переставляя при этом столбцов. Если в процессе преобразований возникнет строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны 0, а последний отличен от 0, то x / ∈ M. Если же мы доведем матрицу до ступенчатого вида и такой строки не возникнет, то x ∈ M. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Сумма и пересечение подпространств (1) Введем две важные операции над подпространствами. Определение Пусть V — векторное пространство, а M 1 и M 2 — его подпространства. Суммой подпространств M 1 и M 2 называется множество всех векторов из V , являющихся суммой некоторого вектора из M 1 и некоторого вектора из M 2 . Пересечением подпространств M 1 и M 2 называется множество всех векторов из V , принадлежащих одновременно как M 1 , так и M 2 . Сумма подпространств M 1 и M 2 обозначается через M 1 + M 2 , а их пересечение — через M 1 ∩ M 2 Замечание 4 Если M 1 и M 2 — подпространства пространства V , то M 1 + M 2 и M 1 ∩ M 2 также являются подпространствами в V . Доказательство. В силу замечания 1 каждое из подпространств M 1 и M 2 содержит нулевой вектор. Следовательно, 0 = 0 + 0 ∈ M 1 + M 2 и 0 ∈ M 1 ∩ M 2 . В частности, множества M 1 + M 2 и M 1 ∩ M 2 — непустые. Далее, пусть x, y ∈ M 1 + M 2 и t — произвольное число. Тогда x = x 1 + x 2 и y = y 1 + y 2 , для некоторых x 1 , y 1 ∈ M 1 и x 2 , y 2 ∈ M 2 Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Сумма и пересечение подпространств (2) Учитывая, что M 1 и M 2 — подпространства, получаем, что x + y = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 ) ∈ M 1 + M 2 , tx = t(x 1 + x 2 ) = tx 1 + tx 2 ∈ M 1 + M 2 Следовательно, M 1 + M 2 — подпространство в V . Далее, пусть x, y ∈ M 1 ∩ M 2 и t — произвольное число. Тогда x, y ∈ M 1 и x, y ∈ M 2 Поскольку M 1 и M 2 — подпространства, имеем x + y ∈ M 1 , x + y ∈ M 2 tx ∈ M 1 и tx ∈ M 2 . Следовательно, x + y ∈ M 1 ∩ M 2 и tx ∈ M 1 ∩ M 2 , и потому M 1 ∩ M 2 — подпространство в V . Замечание 5 Если M 1 и M 2 — подпространства пространства V , то подпространство M 1 + M 2 содержит M 1 и M 2 и является наименьшим подпространством в V , обладающим указанным свойством. Доказательство. Если x ∈ M 1 , то x = x + 0. Поскольку 0 ∈ M 2 , имеем x ∈M 1 + M 2 . Следовательно, M 1 ⊆ M 1 + M 2 . Аналогично проверяется, что M 2 ⊆ M 1 + M 2 . Пусть теперь M — подпространство в V , содержащее M 1 и M 2 . Предположим, что x ∈ M 1 + M 2 . Тогда x = x 1 + x 2 для некоторых x 1 ∈ M 1 и x 2 ∈ M 2 . Следовательно, x 1 ∈ M и x 2 ∈ M, откуда x = x 1 + x 2 ∈ M. Таким образом, M 1 + M 2 ⊆ M. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Сумма и пересечение подпространств (3) Из определения пересечения подпространств немедленно вытекает Замечание 6 Если M 1 и M 2 — подпространства пространства V , то пространство M 1 ∩ M 2 содержится в M 1 и в M 2 и является наибольшим подпространством в V , обладающим указанным свойством. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Размерность суммы подпространств (1) Первым из двух основных результатов данной лекции является Теорема 1 Пусть V — векторное пространство, а M 1 и M 2 — его подпространства. Тогда размерность суммы подпространств M 1 и M 2 равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. Доказательство. Из предложения 1 вытекает, что dim(M 1 ∩ M 2 ) dim M 1 и dim(M 1 ∩ M 2 ) dim M 2 . Положим dim(M 1 ∩ M 2 ) = k, dim M 1 = k + и dim M 2 = k + m. Если M 1 = {0}, то, очевидно, M 1 ∩ M 2 = {0}, dim M 1 = dim(M 1 ∩ M 2 ) = 0, M 1 + M 2 = M 2 и потому dim(M 1 + M 2 ) = dim M 2 = dim M 1 + dim M 2 − dim(M 1 ∩ M 2 ). Аналогично разбирается случай, когда M 2 = {0}. Итак, далее можно считать, что пространства M 1 и M 2 — ненулевые, и, в частности, каждое из них имеет базис. Будем также считать, что M 1 ∩ M 2 = {0} (в противном случае следует во всех дальнейших рассуждениях заменить базис пространства M 1 ∩ M 2 на пустой набор векторов; сами рассуждения при этом только упростятся). Пусть a 1 , a 2 , . . . , a k — базис пространства M 1 ∩ M 2 . В силу теоремы 3 из лекции 8 этот набор векторов можно дополнить как до базиса M 1 , так и до базиса M 2 Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Размерность суммы подпространств (2) Пусть a 1 , a 2 , . . . , a k , b 1 , b 2 , . . . , b — базис M 1 , а a 1 , a 2 , . . . , a k , c 1 , c 2 , . . . , c m — базис M 2 . Докажем, что набор векторов a 1 , a 2 , . . . , a k , b 1 , b 2 , . . . , b , c 1 , c 2 , . . . , c m (1) является базисом пространства M 1 + M 2 . Этого достаточно для доказательства теоремы, так как число векторов в этом наборе равно k + + m = (k + ) + (k + m) − k = dim M 1 + dim M 2 − dim(M 1 ∩ M 2 ). Пусть x ∈ M 1 + M 2 . Тогда x = x 1 + x 2 , где x 1 ∈ M 1 и x 2 ∈ M 2 . Ясно, что вектор x 1 является линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 , . . . , a k , b 1 , b 2 , . . . , b , а вектор x 2 — линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 , . . . , a k , c 1 , c 2 , . . . , c m . Следовательно, вектор x 1 + x 2 является линейной комбинацией векторов (1). Таким образом, набор векторов (1) является системой образующих пространства M 1 + M 2 . В силу леммы 1 из лекции 8 остается доказать, что этот набор векторов линейно независим. В самом деле, предположим, что t 1 a 1 +t 2 a 2 +· · ·+t k a k +s 1 b 1 +s 2 b 2 +· · ·+s b +r 1 c 1 +r 2 c 2 +· · ·+r m c m = 0 (2) для некоторых чисел t 1 , t 2 , . . . , t k , s 1 , s 2 , . . . , s , r 1 , r 2 , . . . , r m . Требуется доказать, что все эти числа равны 0. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Размерность суммы подпространств (3) Положим y = s 1 b 1 + s 2 b 2 + · · · + s b . Очевидно, что y ∈ M 1 . С другой стороны, из (2) вытекает, что y = −t 1 a 1 − t 2 a 2 − · · · − t k a k − r 1 c 1 − r 2 c 2 − · · · − r m c m ∈ M 2 Следовательно, y ∈ M 1 ∩ M 2 . Но тогда вектор y есть линейная комбинация векторов a 1 , a 2 , . . . , a k . Таким образом, существуют числа q 1 , q 2 , . . . , q k такие, что y = s 1 b 1 + s 2 b 2 + · · · + s b = q 1 a 1 + q 2 a 2 + · · · + q k a k Следовательно, q 1 a 1 + q 2 a 2 + · · · + q k a k − s 1 b 1 − s 2 b 2 − · · · − s b = 0. (3) Поскольку векторы a 1 , a 2 , . . . , a k , b 1 , b 2 , . . . , b образуют базис пространства M 1 , они линейно независимы. Поэтому линейная комбинация, стоящая в левой части равенства (3), тривиальна. В частности, s 1 = s 2 = · · · = s = 0. Следовательно, равенство (2) принимает вид t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k + r 1 c 1 + r 2 c 2 + · · · + r m c m = 0. Учитывая, что векторы a 1 , a 2 , . . . , a k , c 1 , c 2 , . . . , c m образуют базис пространства M 2 (и, в частности, линейно независимы), мы получаем, что t 1 = t 2 = · · · = t k = r 1 = r 2 = · · · = r m = 0. Итак, все коэффициенты в левой части равенства (2) равны 0, что и требовалось доказать. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Нахождение базиса и размерности суммы подпространств Рассмотрим вопрос о том, как найти базис и размерность суммы подпространств. Пусть подпространство M 1 имеет базис a 1 , a 2 , . . . , a k , а подпространство M 2 — базис b 1 , b 2 , . . . , b . Предположим, что x ∈ M 1 + M 2 . Тогда существуют векторы x 1 ∈ M 1 и x 2 ∈ M 2 такие, что x = x 1 + x 2 . В силу выбора векторов x 1 и x 2 имеем x 1 = t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k и x 2 = s 1 b 1 + s 2 b 2 + · · · + s b для некоторых чисел t 1 , t 2 , . . . , t k и s 1 , s 2 , . . . , s . Следовательно, x = t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k + s 1 b 1 + s 2 b 2 + · · · + s b . Это означает, что пространство M 1 + M 2 содержится в подпространстве, порожденном набором векторов a 1 , a 2 , . . . , a k , b 1 , b 2 , . . . , b . С другой стороны, очевидно, что каждый из этих векторов, а значит и подпространство, ими порожденное, содержится в M 1 + M 2 Следовательно, M 1 + M 2 = a 1 , a 2 , . . . , a k , b 1 , b 2 , . . . , b . Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Алгоритм нахождения базиса и размерности суммы подпространств Учитывая изложенный выше в данной лекции алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства, попрожденного данным набором векторов, получаем Алгоритм нахождения базиса и размерности суммы подпространства пространства R n Пусть даны базисы подпространств M 1 и M 2 пространства R n . Запишем в матрицу по строкам координаты базисных векторов обоих подпространств и приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом суммы подпространств M 1 и M 2 , а число этих строк равно ее размерности. Отметим, что, найдя размерность суммы подпространств M 1 и M 2 , мы сможем найти и размерность их пересечения, так как, в силу теоремы 1, dim(M 1 ∩ M 2 ) = dim M 1 + dim M 2 − dim(M 1 + M 2 ). (4) Базис пересечения ищется несколько сложнее. Способ решения этой задачи будет указан в лекции 13. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Прямая сумма (1) Определение Пусть V — векторное пространство, а M 1 и M 2 — его подпространства. Говорят, что сумма подпространств M 1 и M 2 является их прямой суммой, если M 1 ∩ M 2 = {0}. Прямая сумма подпространств M 1 и M 2 обозначается через M 1 ⊕ M 2 или M 1 M 2 Вторым основным результатом данной лекции является Теорема 2 Пусть V — векторное пространство, а M 1 и M 2 — его подпространства. Следующие условия эквивалентны: 1) M 1 + M 2 является прямой суммой подпространств M 1 и M 2 ; 2) dim(M 1 + M 2 ) = dim M 1 + dim M 2 ; 3) любой вектор из M 1 + M 2 единственным образом представим в виде суммы вектора из M 1 и вектора из M 2 ; 4) нулевой вектор пространства V единственным образом представим в виде суммы вектора из M 1 и вектора из M 2 Доказательство теоремы 2 дано на следующем слайде. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Прямая сумма (2) Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) непосредственно вытекает из теоремы 1 и того факта, что размерность нулевого пространства равна 0. Импликация 3) =⇒ 4) очевидна. Остается доказать импликации 1) =⇒ 3) и 4) =⇒ 1) 1) =⇒ 3) . Пусть x ∈ M 1 + M 2 . По определению суммы подпространств x = x 1 + x 2 , где x 1 ∈ M 1 и x 2 ∈ M 2 . Остается доказать, что такое представление вектора x единственно. Предположим, что x = y 1 + y 2 , где y 1 ∈ M 1 и y 2 ∈ M 2 . Учитывая, что x = x 1 + x 2 = y 1 + y 2 , имеем x 1 − y 1 = y 2 − x 2 . Ясно, что x 1 − y 1 ∈ M 1 , а y 2 − x 2 ∈ M 2 . Следовательно, x 1 − y 1 = y 2 − x 2 ∈ M 1 ∩ M 2 . Но M 1 ∩ M 2 = {0}. Поэтому x 1 − y 1 = y 2 − x 2 = 0, откуда x 1 = y 1 и x 2 = y 2 4) =⇒ 1) . Предположим, что M 1 ∩ M 2 = {0}, т. е. существует ненулевой вектор x ∈ M 1 ∩ M 2 . Тогда вектор 0 может быть двумя различными способами представлен в виде суммы вектора из M 1 и вектора из M 2 : 0 = x + (−x) и 0 = (−x) + x. Мы получили противоречие с условием 4) Из доказательства теоремы 2 вытекает Замечание 7 Если V = M 1 ⊕ M 2 , b 1 , b 2 , . . . , b — базис M 1 , а c 1 , c 2 , . . . , c m — базис M 2 , то b 1 , b 2 , . . . , b , c 1 , c 2 , . . . , c m — базис пространства V . Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Прямая сумма (3) При решении задач полезно иметь в виду следующее Замечание 8 V = M 1 ⊕ M 2 тогда и только тогда, когда dim(M 1 + M 2 ) = dim M 1 + dim M 2 = dim V . Доказательство. Если V = M 1 ⊕ M 2 , то, в частности, M 1 + M 2 = V , и потому dim(M 1 + M 2 ) = dim V . А dim M 1 + dim M 2 = dim(M 1 + M 2 ) в силу теоремы 2. Обратно, если dim(M 1 + M 2 ) = dim M 1 + dim M 2 = dim V , то M 1 + M 2 = V в силу предложения 1 и dim(M 1 ∩ M 2 ) = 0 в силу (4). Из последнего равенства вытекает, что M 1 ∩ M 2 = {0}. Объединяя этот факт с равенством M 1 + M 2 = V , получаем, что V = M 1 ⊕ M 2 Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Прямая сумма (4) Из замечания 8 вытекает следующий алгоритм. Алгоритм выяснения того, является ли пространство R n прямой суммой своих подпространств M 1 и M 2 Предполагаем, что нам известны векторы, порождающие каждое из подпространств M 1 и M 2 . Используя алгоритм нахождения базиса и размерности подпространства, порожденного данным набором векторов, находим dim M 1 и dim M 2 . Если dim M 1 + dim M 2 = n, то R n = M 1 ⊕ M 2 Если dim M 1 + dim M 2 = n, пользуясь алгоритмом нахождения базиса и размерности суммы подпространств, находим dim(M 1 + M 2 ). Если dim(M 1 + M 2 ) = n, то R n = M 1 ⊕ M 2 , в противном случае R n = M 1 ⊕ M 2 Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Проекция вектора на подпространство Определение Предположим, что V = M 1 ⊕ M 2 и x ∈ V . В силу теоремы 2 существуют однозначно определенные векторы x 1 ∈ M 1 и x 2 ∈ M 2 такие, что x = x 1 + x 2 . Вектор x 1 называется проекцией x на M 1 параллельно M 2 , а вектор x 2 — проекцией x на M 2 параллельно M 1 Алгоритм нахождения проекции вектора на подпространство Пусть V = M 1 ⊕ M 2 и x ∈ V . Предположим, что нам известны базис a 1 , a 2 , . . . , a k подпространства M 1 и базис b 1 , b 2 , . . . , b подпространства M 2 . В силу замечания 7 a 1 , a 2 , . . . , a k , b 1 , b 2 , . . . , b — базис пространства V . Найдем координаты вектора x в этом базисе. Пусть они имеют вид (t 1 , t 2 , . . . , t k , s 1 , s 2 , . . . , s ). Тогда t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k — проекция x на M 1 параллельно M 2 , а s 1 b 1 + s 2 b 2 + · · · + s b — проекция x на M 2 параллельно M 1 Обоснование этого алгоритма очевидно: если, в указанных обозначениях, y = t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k и z = s 1 b 1 + s 2 b 2 + · · · + s b , то y ∈ M 1 , z ∈ M 2 и x = y + z. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Проекция вектора на подпространство: пример (1) В качестве примера применения алгоритмов, указанных на двух предыдущих слайдах, рассмотрим следующую задачу. Задача. Проверить, что пространство R 4 является прямой суммой подпространства M 1 , порожденного векторами a 1 = (1, −1, 2, 1), a 2 = (2, 0, 3, 2), a 3 = (1, 1, 1, 1), и подпространства M 2 , порожденного векторами b 1 = (2, 1, 3, 2), b 2 = (2, 2, 2, 1), b 3 = (2, 0, 4, 3), и найти проекцию вектора x = (0, 2, 1, 3) на M 1 параллельно M 2 Решение. Найдем размерность и базис подпространства M 1 : 1 −1 2 1 2 0 3 2 1 1 1 1 ∼ 1 −1 2 1 0 2 −1 0 0 2 −1 0 ∼ 1 −1 2 1 0 2 −1 0 0 0 0 0 Таким образом, dim M 1 = 2, а в качестве базиса пространства M 1 можно взять векторы a 1 и a 2 = (0, 2, −1, 0). Найдем теперь размерность и базис подпространства M 2 : 2 1 3 2 2 2 2 1 2 0 4 3 ∼ 2 1 3 2 0 1 −1 −1 0 −1 1 1 ∼ 2 1 3 2 0 1 −1 −1 0 0 0 0 Таким образом, dim M 2 = 2, а в качестве базиса пространства M 2 можно взять векторы b 1 и b 2 = (0, 1, −1, −1). Мы видим, в частности, что dim M 1 + dim M 2 = 4. Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства Проекция вектора на подпространство: пример (2) Найдем теперь размерность пространства M 1 + M 2 : 1 −1 2 1 0 2 −1 0 2 1 3 2 0 1 −1 −1 ∼ 1 −1 2 1 0 2 −1 0 0 3 −1 0 0 1 −1 −1 ∼ 1 −1 2 1 0 2 −1 0 0 0 1 0 0 0 −1 −2 ∼ 1 −1 2 1 0 2 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 −2 Мы видим, что dim(M 1 + M 2 ) = 4. С учетом сказанного ранее, отсюда вытекает, что R 4 = M 1 ⊕ M 2 . Объединяя найденные ранее базисы подпространств M 1 и M 2 , получаем, что векторы a 1 , a 2 , b 1 , b 2 образуют базис пространства R 4 . Разложим вектор x по этому базису: 1 0 2 0 0 −1 2 1 1 2 2 −1 3 −1 1 1 0 2 −1 3 ∼ 1 0 2 0 0 0 2 3 1 2 0 −1 −1 −1 1 0 0 0 −1 3 ∼ 1 0 2 0 0 0 2 3 1 2 0 0 1 −1 4 0 0 0 −1 3 ∼ ∼ 1 0 2 0 0 0 2 3 0 5 0 0 1 0 1 0 0 0 −1 3 ∼ 1 0 0 0 −2 0 2 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 −1 3 ∼ 1 0 0 0 −2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 −3 Итак, x = −2a 1 + a 2 + b 1 − 3b 2 . Следовательно, проекцией вектора x на M 1 параллельно M 2 является вектор −2a 1 + a 2 = (−2, 4, −5, −2). Ответ: (−2, 4, −5, −2). Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства «Дополняющее» подпространство (1) В дальнейшем нам пригодится следующее утверждение Предложение 2 Для произвольного подпространства M векторного пространства V существует такое подпространство M в V , что V = M ⊕ M . Доказательство. Ясно, что если M = {0}, то в качестве M можно взять V , а если M = V , то достаточно положить M = {0}. Пусть теперь {0} ⊂ M ⊂ V . Положим dim V = n и dim M = k. В силу сказанного 0 < k < n. Пусть a 1 , a 2 , . . . , a k — базис M. В силу теоремы 3 из лекции 8 существуют векторы a k+1 , . . . , a n такие, что векторы a 1 , a 2 , . . . , a n образуют базис V . Положим M = a k+1 , . . . , a n . Проверим, что нулевой вектор единственным образом представим в виде суммы вектора из M и вектора из M . Существование такого представления очевидно, поскольку 0 = 0 + 0 (см. замечание 1). Предположим теперь, что 0 = x + y, где x ∈ M, а y ∈ M . Тогда x = t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t k a k и y = t k+1 a k+1 + · · · + t n a n Следовательно, 0 = x + y = t 1 a 1 + t 2 a 2 + · · · + t n a n . Поскольку a 1 , a 2 , . . . , a n — базис пространства V , получаем, что t 1 = t 2 = · · · = t n = 0. Но тогда x = 0 и y = 0. Итак, вектор 0 единственным образом представим в виде суммы вектора из M и вектора из M . В силу теоремы 2 M + M = M ⊕ M . Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства «Дополняющее» подпространство (2) Осталось доказать, что M + M = V . Пусть a — произвольный вектор из V . Разложим его по базису a 1 , a 2 , . . . , a n : a = q 1 a 1 + q 2 a 2 + · · · + q n a n Положим b = q 1 a 1 + q 2 a 2 + · · · + q k a k и c = q k+1 a k+1 + · · · + q n a n . Тогда b ∈ M, c ∈ M и a = b + c. Следовательно, V ⊆ M + M . Обратное включение очевидно, и потому M + M = V . Б.М.Верников Лекция 9: Подпространства |