Лекция16 Линейная оболочка системы векторов. Векторов в линейном пространстве
 Скачать 325.18 Kb.
|
1 Лекция 16. Линейная оболочка системы векторов. Ранг системы векторов. Теорема о базисном миноре § 1. Линейная оболочка системы векторов Пусть 𝑆 = 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚 – линейная система векторов в линейном пространстве 𝐿. Рассмотрим множество векторов, которые могут быть представлены линейной комбинацией этих векторов ℒ 𝑆 = 𝑥 ∈ 𝐿 ∶ 𝑥 = 𝜆 1 𝑢 1 + 𝜆 2 𝑢 2 + ⋯ + 𝜆 𝑚 𝑢 𝑚 , это множество называется линейной оболочкой системы векторов 𝑆. Утверждается, что линейная оболочка ℒ 𝑆 является линейным подпространством, так как ∀ 𝑥 , 𝑦 ∈ ℒ 𝑆 𝑥 + 𝑦 ∈ ℒ 𝑆 , ∀ 𝑥 ∈ ℒ 𝑆 , ∀ 𝜆 ∈ 𝑅 𝜆𝑥 ∈ ℒ 𝑆 . Определение. Рангом системы векторов 𝑆 называют размерность их линейной оболочки ℒ 𝑆 rg 𝑆 = dimℒ 𝑆 . Замечание. Любое линейное подпространство или пространство можно представить как линейную оболочку некоторой системы векторов. Если 𝑆 = 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚 система линейно независимых векторов, то векторы 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚 образуют базис линейного пространства (подпространства) и rg 𝑆 = dimℒ 𝑆 = 𝑚. Если 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚 линейно зависимые векторы, то выделим из них линейно независимую подсистему. Теорема. Пусть все векторы системы 𝑆 1 = 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑚 линейно выражаются через векторы системы 𝑆 2 = 𝑦 1 , 𝑦 2 , … , 𝑦 𝑘 , тогда rg 𝑆 1 ≤ rg 𝑆 2 Доказательство. ℒ 𝑆 1 ⊆ ℒ 𝑆 2 , так как ∀ 𝑥 𝑖 ∈ ℒ 𝑆 1 𝑥 𝑖 = 𝜆 1 𝑦 1 + 𝜆 2 𝑦 2 + ⋯ + 𝜆 𝑘 𝑦 𝑘 ∈ ℒ 𝑆 2 , следовательно, dimℒ 𝑆 1 ≤ dimℒ 𝑆 2 2 Пример. 𝑆 1 = 1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑆 2 = 1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 , 𝑡 4 . 𝑆 1 ⊆ 𝑆 2 , rg 𝑆 1 = 3, rg 𝑆 2 = 5. § 2. Сохранение ранга системы векторов при элементарных преобразованиях Элементарные преобразования: 1) перестановка векторов системы; 2) умножение вектора системы на число, отличное от нуля; 3) прибавление к одному из векторов системы другого вектора, умноженного на число. Теорема. При элементарных преобразованиях системы векторов еѐ ранг не меняется. Доказательство. Пусть 𝑆 – исходная система векторов, а система 𝑆 1 получена из исходной системы элементарными преобразованиями, следовательно, 𝑆 1 ⊆ 𝑆 ⇒ rg 𝑆 1 ≤ rg 𝑆 . Но из системы 𝑆 1 можно получить систему 𝑆 обратными преобразованиями, следовательно, 𝑆 ⊆ 𝑆 1 ⇒ rg 𝑆 ≤ rg 𝑆 1 Окончательно получаем rg 𝑆 = rg 𝑆 1 § 3. Ранг матрицы Пусть 𝐴 – матрица размера 𝑚 × 𝑛. Минор матрицы 𝐴 𝑘-го порядка – это определитель, полученный выделением 𝑘 строк и 𝑘 столбцов. Определение. Ранг матрицы 𝐴 – это максимальный порядок, отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначение rg 𝐴 , r 𝐴 . Иначе: rg 𝐴 = 𝑘 означает, что 1) у матрицы 𝐴 существует минор 𝑘-го порядка, отличный от нуля; 2) все миноры матрицы 𝐴 порядка ≥ 𝑘 + 1 равны нулю (если они есть). 3 Для определения ранга матрицы еѐ следует привести элементарными преобразованиями к ступенчатому виду; число ненулевых строк в ступенчатом виде и есть ранг матрицы. Пример: 𝐴 = 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 2 0 −1 −1 −1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 2 0 0 −1 −1 3 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 2 0 0 −1 −1 3 0 0 0 0 4 ⇒ rg 𝐴 = 4. § 4. Теорема о базисном миноре Определение. Базисным минором матрицы 𝐴 называется отличный от нуля минор максимального возможного размера (равного рангу матрицы). Для ступенчатой матрицы базисный минор стоит в верхнем левом углу. Определение. Строки и столбцы, в пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными. Обозначим 𝑖 -ую строку матрицы 𝐴 так 𝐴 𝑖 = 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 Эти строки можно рассматривать как векторы из 𝑅 𝑛 , их можно складывать, умножать на числа, говорить о линейной зависимости и независимости. Например, запись 𝐴 𝑖 = 𝜆 1 𝐴 1 + 𝜆 2 𝐴 2 + ⋯ + 𝜆 𝑟 𝐴 𝑟 означает что 𝑖-ая строка линейно выражается через строки 1,2, … , 𝑟. Теорема о базисном миноре. Пусть 𝐴 – ненулевая матрица, тогда: 1) базисные строки (столбцы) линейно независимы; 2) все остальные строки (столбцы), если они есть, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов). 4 Доказательство. Считаем для определѐнности, что базисный минор стоит в левом верхнем углу матрицы (в противном случае этого можно добиться перестановкой базисных строк и столбцов матрицы 𝐴) 𝑀 = 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑟 ⋯ 𝑎 𝑟1 ⋯ 𝑎 𝑟𝑟 ≠ 0, где 𝑟 = rg 𝐴 ≥ 1. 1) Докажем линейную независимость базисных строк 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑟 Допустим противоположное, что строки линейно зависимые. Тогда по критерию линейной зависимости одна из строк линейно выражается через другие, например 𝐴 𝑟 = 𝜆 1 𝐴 1 + 𝜆 2 𝐴 2 + ⋯ + 𝜆 𝑟−1 𝐴 𝑟−1 Вычтем в определителе 𝑀 из 𝑟-ой строки линейную комбинацию строк, стоящую в правой части этого выражения. При этом определитель не изменится, а его 𝑟-ая строка станет нулевой. Определитель, у которого есть нулевая строка, равен нулю 𝑀 = 0, что противоречит условию теоремы. Следовательно, базисные строки 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑟 линейно независимы. 2) Докажем, что все остальные строки линейно выражаются через базисные, то есть 𝐴 𝑘 = 𝜆 1 𝐴 1 + 𝜆 2 𝐴 2 + ⋯ + 𝜆 𝑟 𝐴 𝑟 для 𝑘 = 𝑟 + 1, … , 𝑚. Рассмотрим минор Для любого 𝑗 = 1, 𝑛 этот минор равен нулю 𝐷 𝑗 = 0, так как: а) если 𝑗 = 1, 𝑟 , то в миноре 𝐷 𝑗 будет два одинаковых столбца и он равен нулю; б) если 𝑗 = 𝑟 + 1, 𝑛 , то 𝐷 𝑗 – минор порядка 𝑟 + 1 и он равен нулю. Разложим минор 𝐷 𝑗 по последнему столбцу 0 = 𝐷 𝑗 = 𝑎 1𝑗 𝐴 1𝑗 + ⋯ + 𝑎 𝑟𝑗 𝐴 𝑟𝑗 + 𝑎 𝑘𝑗 𝑀. Так как 𝑀 ≠ 0, то из последнего выражения получаем 𝐷 𝑗 = 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑟 𝑎 1𝑗 ⋯ 𝑎 𝑟1 𝑎 𝑘1 ⋯ ⋯ 𝑎 𝑟𝑟 𝑎 𝑘𝑟 𝑎 𝑟𝑗 𝑎 𝑘𝑗 где 𝑗 = 1, 𝑛 5 𝑎 𝑘𝑗 = − 𝐴 1𝑗 𝑀 𝑎 1𝑗 − 𝐴 2𝑗 𝑀 𝑎 2𝑗 − ⋯ − 𝐴 𝑟𝑗 𝑀 𝑎 𝑟𝑗 Заметим, что отношение – 𝐴 𝑖𝑗 𝑀 не зависит от 𝑗, обозначим его 𝜆 𝑖 = − 𝐴 𝑖𝑗 𝑀 , тогда 𝑎 𝑘𝑗 = 𝜆 1 𝑎 1𝑗 + 𝜆 2 𝑎 2𝑗 + ⋯ + 𝜆 𝑟 𝑎 𝑟𝑗 для всех 𝑗 = 1, 𝑛 А это означает, что 𝑘-ая строка 𝐴 𝑘 есть линейная комбинация строк 𝐴 1 , … , 𝐴 𝑟 𝐴 𝑘 = 𝜆 1 𝐴 1 + 𝜆 2 𝐴 2 + ⋯ + 𝜆 𝑟 𝐴 𝑟 Замечание. Теорема была доказана для строк, она справедлива и для столбцов. При транспонировании ранг матрицы не меняется, так как определитель матрицы не меняется при транспонировании, а все миноры транспонируются. Следствие. Пусть 𝐴 – матрица размера 𝑛 × 𝑛, тогда справедливо утверждение: определитель матрицы 𝐴 равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одна из его строк (столбцов) линейно выражается через другие строки (столбцы). Доказательство. Для квадратных матриц 𝐴 размера 𝑛 × 𝑛 с определителем, отличным от нуля det𝐴 = 𝐴 ≠ 0 определитель 𝐴 и является базисным минором. Поэтому det𝐴 = 0 ⇔ rg𝐴 < 𝑛 ⇔ ∃ не базисные строки столбцы ⇔ ⇔ ∃ строки столбцы , линейно выражающиеся через базисные. § 5. Дополнение базиса подпространства до базиса всего пространства. Теорема Штейница Пусть 𝑆 1 = 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚 – полная система векторов в линейном пространстве 𝐿, то есть ℒ 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚 = 𝐿 (говорят, что это система образующих). И пусть 𝑆 2 = 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑘 – линейно независимая система векторов в 𝐿. Тогда: 1) 𝑘 ≤ 𝑚; 6 2) некоторые векторы системы 𝑆 1 можно заменить на векторы системы 𝑆 2 так, что полученная система останется полной в 𝐿. Рассмотрим некоторое линейное подпространство 𝑀 в линейном пространстве 𝐿: 𝑀 ⊆ 𝐿. Пусть 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑘 – базис в 𝑀 и 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 – базис в 𝐿. Тогда по теореме Штейница какие-то 𝑘 векторов в базисе 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 можно заменить на векторы 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑘 и полученная система 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑘 , 𝑒 𝑘+1 , … , 𝑒 𝑛 будет базисом в 𝐿. Пример: 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 4 = 𝑡 3 , 𝑡 2 , 𝑡, 1 , 𝑓 1 , 𝑓 2 = 𝑡 3 + 𝑡 2 , 𝑡 2 + 3 0𝑡 3 𝐴 = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1 𝑡 3 𝑡 2 𝑡 1 |