Планиметрия (7-9 классы). Лекция 9 Теоремы, аксиомы, определения Доказательство

• Название: Лекция 9 Теоремы, аксиомы, определения Доказательство
• Анкор: Планиметрия (7-9 классы
• Дата: 13.06.2022
• Размер: 0.6 Mb.
• Имя файла: 211759.ppt
• Тип: Лекция; #587421

Планиметрия

Лекция 9

Теоремы, аксиомы, определения

Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство.
Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах; некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств.
Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.

Прямая, луч, отрезок

Мысленно можно неограниченно продолжить прямую линию в обе стороны. Мы рассматриваем прямую как бесконечную. Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом. Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

Углы

Угол – это геометрическая фигура  ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ). 

Прямой, острый, тупой углы

Угол в 90° ( рис.2 ) называется прямым; угол, меньший, чем  90° ( рис.3 ), называется острым; угол, больший, чем 90° ( рис.4 ), называется тупым.

Перпендикулярные линии

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными.

Знаки углов

Угол считается положительным, если вращение выполняется против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Например, если луч OA смещается к лучу OB, то AOB = + 90 º ; но на рис.5  AOB = – 90 º .

Смежные углы

Смежные углы – это углы AOB и COB, имеющие общую вершину O и общую сторону OB; две другие стороны OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы

Вертикальные углы– это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого:  AOB и  COD ( а также AOC и DOB )  - вертикальные углы.

Параллельные прямые

Две прямые AB и CD называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать.
Обозначение: AB|| CD.
Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой.


Все перпендикуляры ( AB, CD, EF,  рис.12 ) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.


При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов, которые попарно называются:
1)  соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8 );
2)  внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 5; 3 и 6 ); они попарно равны;
3)  внешние накрест лежащие углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); они попарно равны;
4)  внутренние односторонние углы ( 3 и 5; 4 и 6 ); их сумма равна 180°  ( 3 + 5 = 180° ; 4 + 6 = 180° );
5)  внешние односторонние углы  ( 1 и 7; 2 и 8 ); их сумма равна 180° ( 1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°).


Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу  ( если они оба острые, или оба тупые,  1 = 2, рис.14 ), либо их сумма равна 180° ( 3 + 4 = 180°,  рис.15 ).


Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна 180°.

Теорема Фалеса.

При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:

Аксиомы геометрии Евклида

Аксиома принадлежности

Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

Аксиома порядка

Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов

Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.

Аксиома параллельных прямых.

Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда)

Для любых двух отрезков  AB  и CD  существует конечный набор точек  A1  , A2  ,…, An , лежащих на прямой AB, таких, что отрезки   AA1 , A1A2 ,…, An –1 An   конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An .

Треугольник

Определение

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Углы в треугольнике

Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник.
Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона  c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.
Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник.

Равнобедренный и равносторонний треугольник

Треугольник ABC - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника.
Треугольник ABC– равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников.

1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
     В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3.  Сумма углов треугольника равна 180 º .
     Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.
 4.  Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний
     угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
     не смежных с ним:  BCD = A + B.
 5.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше
      их разности
( a < b + c,  a > b – c;  b < a + c,  b > a – c;  c < a + b,  c > a – b ).

Признаки равенства треугольников.  

Треугольники равны, если у них соответственно равны:
a)  две стороны и угол между ними;
b)  два угла и прилегающая к ним сторона;
c)  три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:
1)  равны их катеты;
2)  катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3)  гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
4)  катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
5)  катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота в треугольнике

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ).
Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Медиана

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести.
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга


Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на  рис.29  AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
c 2=  a 2 + b 2

Параллелограмм и трапеция

Определение

Параллелограмм ( ABCD, рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1.  Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD, AD = BC ).
2.  Противоположные углы параллелограмма равны
3.  Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам  ( AO = OC, BO = OD ).
4.  Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон:
                               AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
 1.  Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC ).
 2.  Противоположные углы попарно равны.
 3.  Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD, AB || CD ).
 4.  Диагонали делятся в точке их пересечения пополам  (AO = OC, BO = OD ).

Прямоугольник

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником  ( рис.33 ) .

Основные свойства прямоугольника

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:
AC 2  = AD 2 + DC 2 

Ромб

Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом.


Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.

Квадрат

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами ( рис.35 ). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно;  поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Трапеция и параллелограмм

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны
Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Средняя линия

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему.

Подобие плоских фигур. Признаки подобия треугольников

Определение

Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз ( отношение подобия ), то старая и новая фигуры называются подобными.

Признаки подобия треугольников

Два треугольника подобны, если:

1)  все их соответственные углы равны (достаточно равенства двух углов);
2)  все их стороны пропорциональны;
3)  две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между  этими сторонами, равны.

Подобие прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника подобны, если:
1)   их катеты пропорциональны;
2)  катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;
3)  два угла одного треугольника равны двум углам другого.

Площади подобных фигур

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий ( например, сторон ).
Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров ( или радиусов ).