Лекции ИЗГИБ. Лекция Внутренние усилия при прямом изгибе
 Скачать 113.54 Kb.
|
|
Лекция Внутренние усилия при прямом изгибе Внутренние усилия при прямом изгибе Внутренние усилия при прямом изгибе сопромат Рассмотрим, например, балку (рис. 7.1, а), нагруженную вертикальной сосредоточенной силой (P). Для определения внутренних усилий при прямом изгибе, возникающих в поперечном сечении, расположенном на расстоянии z от места приложения нагрузки, воспользуемся методом сечений.  Разрежем мысленно балку в интересующем месте на две части.Отбросим левую часть балки, нагруженную силой P. Заменим действие отброшенной левой части балки на оставленную правую часть внутренними силами. Внутренние усилия возникают во всех точках поперечного сечения балки и распределены по неизвестному закону. Не имея возможности определить эти внутренние усилия для каждой точки сечения, заменяем их статически эквивалентными внутренними силовыми факторами, приложенными в центре тяжести поперечного сечения. Внутренние силовые факторы определяются из условия равновесия рассматриваемой части балки. Однако можем внутренние силовые факторы найти и непосредственно, как действие отброшенной левой части на правую часть. Видно, что часть балки, нагруженная силой P, стремится изогнуть рассматриваемую нами правую часть выпуклостью вниз, а также пытается произвести срез. Следовательно, в сечении должны возникнуть поперечная сила  и изгибающий момент  . Осуществим параллельный перенос силы P в центр тяжести поперечного сечения балки. По правилам теоретической механики мы должны добавить момент, равный  (рис. 7.1, б). При прямом изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент, численно равный алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (в рассмотренном нами случае изгибающий момент равен:  );поперечная сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть балки (в нашем случае поперечная сила равна:  ).Поперечный изгиб - изгиб, при котором в поперечном сечении балки возникают и изгибающий момент, и поперечная сила. Если поперечная сила не возникает, изгиб называется чистым изгибом. Лекция Продольные волокна балки при изгибе Продольные волокна балки при изгибе Продольные волокна балки при изгибе сопромат Над тем, что происходит с продольными волокнами балки при изгибе, задумывались многие ученые. Галилей считал: все волокна балки при изгибе балки одинаково растягиваются. Лейбниц полагал: крайние волокна балки при изгибе не изменяют длины, а удлинения остальных волокон балки возрастают пропорционально удалению от крайних волокон. Однако опыты Артура Морена показали: при изгибе часть волокон балки испытывает растяжение, а часть – сжатие. Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, образующих нейтральный слой, которые искривляются, не испытывая при этом ни растяжения, ни сжатия. Нулевая линия - линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки Лекция Погонная нагрузка Погонная нагрузка Погонная нагрузка сопромат При расчете балок часто приходится сталкиваться с погонной нагрузкой - нагрузка, приходящаяся на единицу длины балки. Интенсивность погонной нагрузки обозначается буквой q, а единицы измерения погонной нагрузки – ньютон на метр, килоньютон на метр (Н/м, кН/м) или килограмм силы на метр, килограмм силы на сантиметр (кгс/см, кгс/м). Определение значения погонной нагрузки, действующей на балку Пусть, например, помещение комнаты представляет собой в плане прямоугольник со сторонами 9 и 5 м. Пять балок пола комнаты уложены параллельно меньшей из сторон прямоугольника через 1,5 м и оперты концами на стены. Давление на пол  кН/м2. Подсчитаем интенсивность погонной нагрузки (q), приходящуюся на одну балку. Давление и, соответственно, нагрузка на площадь, расположенную между двумя смежными балками, распределяется поровну. Следовательно, ширина полосы, с которой давление «собирается» на одну балку с двух сторон, будет равна  м, погонная нагрузка равна  кН/м.Лекция Виды опор балок Виды опор балок Виды опор балок сопромат Существуют виды опор балок (рис. 7.2): шарнирно неподвижная опора; шарнирно подвижная опора; жесткая заделка.
Шарнирно неподвижная опора Шарнирно неподвижная опора (рис. 7.2, а, опора А) - это закрепление конца балки, при котором балка может поворачиваться, но не может перемещаться ни в горизонтальном (влево или вправо), ни в вертикальном (вверх или вниз) направлениях, то есть не может перемещаться ни в каком направлении. В шарнирно неподвижной опоре может возникнуть реакция, которую удобно представить в виде двух составляющих: вертикальной (  ) и горизонтальной ( ).Шарнирно неподвижная опора на расчетной схеме условно изображается посредством двух стерженьков. Нижние их концы шарнирно прикреплены к «земле», а верхние концы соединены между собой и с балкой шарниром. Шарнирно подвижная опора Шарнирно подвижная опора (рис. 7.2, б, опора B) - это устройство, в котором конец балки может свободно перемещаться в горизонтальном направлении, может поворачиваться при изгибе, но не может перемещаться в вертикальном направлении. Со стороны шарнирно подвижной опоры может возникнуть только вертикальная реакция (  ). Шарнирно подвижная опора изображается посредством одного стерженька, шарнирно соединенного и с землей, и с балкой.Жесткая заделка Жесткая заделка - это закрепление (рис. 7.2, в), при котором конец балки не может ни поворачиваться, ни перемещаться. В заделке могут возникнуть реактивный момент  (момент жесткой заделки) и реакции  и  . Балка при жестком закреплении показывается заделанной в часть стены, которая штрихуется.
Лекция Определение опорных реакций Определение опорных реакций Определение опорных реакций сопромат Способы определения опорных реакций изучаются в курсе теоретической механики. Остановимся только практических вопросах методики вычисления опорных реакций, в частности для шарнирно опертой балки с консолью (рис. 7.4).  Нужно найти реакции: , и . Направления реакций выбираем произвольно. Направим обе вертикальные реакции вверх, а горизонтальную реакцию – влево.Нахождение и проверка опорных реакций в шарнирной опоре Для вычисления значений реакций опор составим уравнения статики: Сумма проекций всех сил (активных и реактивных) на ось z равна нулю:  .Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки (перпендикулярные к оси балки), то из этого уравнения находим: горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры  .Сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:  .Правило знаков для момента силы: считаем момент силы положительным, если он вращает балку относительно точки против хода часовой стрелки. Необходимо найти равнодействующую распределенной погонной нагрузки. Распределенная погонная нагрузка равна площади эпюры распределенной нагрузки  и приложена в центре тяжести этой эпюры (посредине участка длиной  ).Тогда   кН.Сумма моментов всех сил относительно опоры B равна нулю:  .  кН.Знак «минус» в результате говорит: предварительное направление опорной реакции  было выбрано неверно. Меняем направление этой опорной реакции на противоположное (см. рис. 7.4) и про знак «минус» забываем.Проверка опорных реакций Сумма проекций всех сил на ось y должна быть равна нулю:  .Силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются на нее со знаком «плюс»:    (верно).Нахождение опорных реакций в жесткой заделке Найдем реакции опор в жесткой заделке. Для определения опорных реакций составляются уравнения статики:  Из первого уравнения определяется реакция (обычно равна нулю), из второго – и из третьего – момент в жесткой заделке .Проверка, как правило, не производится. Лекция Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов сопромат Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов нужны для наглядного представления о характере изменения внутренних силовых факторов по длине балки. Также эпюры поперечных сил и изгибающих моментов строят с целью определения опасных сечений, в которых возникают наибольшие касательные и нормальные напряжения. Поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении численно равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть балки при использовании метода сечений. Изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех усилий, приложенных к отбрасываемой части балки относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения. Лекция Правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента Правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента Правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента сопромат Правила знаков для поперечных сил Внешняя сила, действующая на отбрасываемую часть балки и стремящаяся повернуть ее относительно сечения по ходу часовой стрелки, входит в алгебраическую сумму для определения поперечной силы ( ) со знаком плюс (рис. 7.5, а). Заметим, что положительная поперечная сила ( ) «стремится вращать» любую из частей балки также по ходу часовой стрелки.Говоря простым языком: в сечении балки возникает поперечная сила, которую нужно определить и изобразить на эпюре поперечных сил. Чтобы правило знаков для поперечных сил выполнялось, нужно запомнить: Если поперечная сила возникает справа от сечения, она направлена вниз, а если поперечная сила возникает слева от сечения – вверх (рис. 7.5, а). Поперечная сила является внутренней силой, поэтому поперечная сила противоположна равнодействующей внешних сил, действующих на рассматриваемую часть балки. Поэтому если внешняя сила P (рис. 7.5, а) направлена вниз, то интересующая поперечная сила, возникающая от действия силы P, направлена вверх (и наоборот). Значит, внутренняя сила положительна, если внешняя сила, породившая ее, направлена противоположно направлению поперечной силы по правилу знаков. Допустим, рассматривается правая часть балки (рис.7.5, а). Действует сила P, направленная вверх. По правилу, поперечная сила положительна, если направлена вниз (или внешняя сила P, породившая ее, направлена вверх). Правила знаков для изгибающих моментов П  равила знаков для изгибающих моментов: внешняя нагрузка, приложенная к отбрасываемой части балки, создает момент относительно рассматриваемого сечения, стремящийся изогнуть отбрасываемую часть балки выпуклостью вниз, то этот момент входит в алгебраическую сумму для определения изгибающего момента ( ) со знаком «плюс» (рис. 7.5, б). По правилу знаков для изгибающих моментов, положительный изгибающий момент ( ) «стремится изогнуть» любую из рассматриваемых частей балки тоже выпуклостью вниз. Кавычки использованы потому, что внутренние силовые факторы не являются активными силами и не могут вызывать деформацию балки. Для удобства определения знака изгибающего момента рекомендуется поперечное сечение балки мысленно представлять в виде неподвижной жесткой заделки. Иными словами: по правилу знаков изгибающий момент положителен, если «гнет балку» вверх, независимо от исследуемой части балки. Если в выбранном сечении результирующий момент всех внешних сил, порождающих изгибающий момент (является внутренней силой), направлен противоположно направлению изгибающего момента по правилу знаков, то изгибающий момент будет положительным. Допустим, рассматривается левая часть балки (рис. 7.5, б). Момент силы P относительно сечения направлен по часовой стрелке. По правилу знаков для изгибающих моментов для левой части балки изгибающий момент положителен, если направлен против часовой стрелки («гнет балку» вверх). Значит, изгибающий момент будет положительным (сумма моментов внешних сил и изгибающий момент по правилу знаков противоположно направлены). Лекция Правила построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Правила построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Правила построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов сопромат Озвучим правила построения эпюр, вытекающие из метода сечений, и являющиеся следствием дифференциальных и интегральных зависимостей, некоторые из которых справедливы при обходе эпюр и слева направо. Зная правила построения эпюр, можно быстро найти грубую ошибку только по внешнему виду эпюр. Правило построения эпюр – отсутствующая распределенная нагрузка Если на участке балки отсутствует распределенная нагрузка (  ), то эпюра поперечных сил на этом участке представляет собой прямую, параллельную оси балки (рис. 7.6). По дифференциальной зависимости распределенной нагрузки и поперечной силы: поскольку , то и  . Следовательно,  .Эпюра изгибающих моментов на участке, где , – прямая линия. Причем, если  , то прямая идет вверх, а если  , прямая идет вниз. Если  , то изгибающий момент постоянен, поскольку  .Правило построение эпюр – скачки и изломы Под сосредоточенной силой (P) на эпюре поперечных сил (рис. 7.6, а) имеется скачок на величину этой силы и по ее направлению, а на эпюре изгибающих моментов – излом, угол которого направлен навстречу нагрузке.Правило построение эпюр – присутствует распределенная нагрузка Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка: эпюра поперечных сил представляет собой наклонную прямую (рис. 7.6, б), идущую вниз, если нагрузка  направлена вниз (и наоборот). Эпюра на этом участке, согласно третьей формуле дифференциальных зависимостей, изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке.Правило построение эпюр – экстремум Если эпюра поперечной силы проходит через нулевое значение, то в этом сечении балки на эпюре изгибающих моментов имеется экстремум (последнее вытекает из дифференциальной зависимости  ). В точках, соответствующих началу и концу участка, в пределах которого действует распределенная нагрузка, параболическая и прямолинейная части эпюры переходят одна в другую плавно (без излома).Правило построение эпюр – внешний момент Сосредоточенный внешний момент M (рис. 7.6, в) никак не отражается на эпюре . На эпюре в месте приложения этого момента имеется скачок на его величину.Заметим, что построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов ввел в практику расчета балок на изгиб французский ученый Жан Антуан Шарль Бресс (1822 – 1883 гг.) в 1859 г. Лекция Проверка прочности балки и подбор поперечных сечений Проверка прочности балки и подбор поперечных сечений Проверка прочности балки и подбор поперечных сечений сопромат Балка проверяется на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающие в поперечном сечении балки, где на эпюре наибольший по абсолютному значению изгибающий момент. При поперечном изгибе в балке возникают и касательные напряжения, но они невелики, и при расчете на прочность учитываются только для двутавровых балок.Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям:  ,где допускаемое напряжение  принимается, как и при растяжении (сжатии) стержня из такого же материала.Формула условия прочности при изгибе по нормальным напряжениям позволяет осуществить подбор сечения балки при заданном материале и максимальном абсолютном значении изгибающего момента. Требуемый момент сопротивления балки при изгибе определяется из условия:  .При изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения и остается неизменной. Например, для балки прямоугольного поперечного сечения с отношением сторон  , расположенной таким образом, что высота прямоугольника h перпендикулярна нейтральной оси x, прочнее той же самой балки повернутой на  , в три раза, так как  . В выражении для осевого момента сопротивления балки прямоугольного поперечного сечения при изгибе в квадрате стоит тот ее размер, который перпендикулярен нейтральной оси. Следовательно, сечение балки необходимо располагать таким образом, чтобы силовая плоскость совпадала с той из главных центральных осей, относительно которой момент инерции минимален ( ось, относительно которой главный момент инерции поперечного сечения максимален, является нейтральной осью). Это обстоятельство лишний раз подчеркивает важность темы «Определение положения главных центральных осей инерции поперечного сечения стержня».Проверка прочности двутавров Для тонкостенных балок, например балок двутаврового профиля, проверка прочности производится следующим образом: в наиболее удаленных от нейтральной оси точках прочность проверяется по формуле ;в точках, где полка соединяется со стенкой прочность определяется по главным напряжениям.  в точках, расположенных на нейтральной оси, прочность определяется по наибольшим касательным напряжениям:  |
