туынды. ТУЫНДЫ ҰҒЫМЫ. Математика пніні жаа бадарламасында кез келген адам з мірінде кездесетін крделі есептерді орындау кесте, диаграмма, график тріндегі апаратты ои алуы ажет делінген
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
1.2 Функцияның туындысы Функцияның туындысы деген не? Шек ұғымы функциялық тәуелділік ұғымы сияқты математикалық талдаудың маңызды концепцияларының бірі. Математикалық талдауда негізгі үш амал бар, олар: қосу, көбейту және шекке көшу. Басқа амалдардың барлығы осы амалдарға туынды амалдар болып табылады. Қосу мен көбейту мектеп математика курсының негізгі амалдары болып табылатыны баршаға аян. Шек ұғымының негізгі қолдануларының бірі – туынды, дәлірек айтқанда, функцияның туындысы шекке көшу амалы арқылы анықталады. Дифференциалдау мен интегралдау ілімдері математикалық талдаудың негізгі (орталық) бөлімдері болып табылады. Туынды туралы көптеген тұжырымдарды білеміз, соған қарамастан біз, біріншіден, оны тереңірек түсіну үшін, екіншіден, өзіміз үйренген туынды концепциясын толықтырып, тереңдетіп және кеңейту үшін бұл ұғыммен тыңғылықты және тиянақты айналысуымыз керек. тәуелсіз айнымалысының нүктесінің қандай да бір маңайында анықталған функция болсын. Егер біз нүктесінен осы маңайға тиісті нүктесіне көшетін болсақ, онда функциясы өсімшесіне ие болады, ал аргументтің өсімшесі деп аталады; оң да, теріс те бола алатынын атап кетеміз, яғни нүктесі нүктесінің оң жағында да, сол жағында да жата алады. Егер біздің тәуелсіз айнымалысы өзгергенде шамасы (функциясы) қаншалықты тез өзгеретіндігі жөнінде мәлімет алғымыз келсе, яғни функциясы аргументтің осындай өзгерісіне қаншалықты сезімтал екендігін білгіміз келсе, онда біз, әрине, қандай да бір тәсілмен тәуелсіз айнымалысының өзгеруі мен функциясының оның ( тәуелсіз айнымалысының) өзгерісі салдарынан пайда болған өсімшесін сәйкестендіріп салыстыруымыз керек. Бұл мақсатта функциясының тәуелсіз айнымалысының өсімшесінің бірлігіне есептелген орташа өсімшесін беретін (1) қарастырады. Бірақ бұл есептеу -тың нақты мәні арқылы жүргізілген болғандықтан, жалпы алғанда, -тың әртүрлі мәндерінде әртүрлі нәтиже беретін болады. Қойылған мәселе бірмәнді шешілуі үшін шамасын қандай да бір бірыңғай принципке негіздеп таңдап алуымыз қажет. Егер мақсатымыз ретінде функциясының нүктесіне жақын жердегі мінезін зерттеу болатын болса, онда шамасын неғұрлым кішкентай етіп алсақ, функциясының «өзгергіштік» мөлшері ретінде алған (1) шамасы біздің талабымызды соғұрлым көбірек қанағаттандыратын болады. Шын мәнінде, (1) шамасы функцияның кесіндісіндегі «орташа өзгергіштігін» көрсетеді, ал ол кесінді шамасы неғұрлым кіші болған сайын нүктесіне соғұрлым жақындай түседі. Осы пайымдаулардан кейін, шекке көшу ұғымымен таныс бізге, қойылған мәселені неғұрлым қанағаттанарлықтай етіп шешу үшін функциясының нүктесіне жақын жердегі өзгеруінің сипаттамасы ретінде (1) шамасының жағдайындағы шегін (бұл шек бар деп есептей отырып) қарастыру керек екендігін, яғни (2) шамасын қарастыру керек екендігін түсінуімізге болады. Өзге де жалпы қабылданған белгілеулер бар: , , . Соңғы шаманы функциясының нүктесіндегі (немесе « жағдайындағы») туындысы деп атайды. Сонымен, берілген функцияның берілген нүктедегі туындысы бұл функцияның берілген нүктенің оған өте жақын маңайындағы салыстырмалы өзгергіштігін сипаттайды; неғұрлым үлкен болған сайын шамасы шамасының бастапқы мәнінен өте аз ауытқуының өзіне өте сезімтал болады; шамасының таңбасы осы өзгергіштіктің бағытын сипаттайды: шамасының бастапқы мәнінен өте аз ауытқуының салдарынан функциясының өсуі немесе кемуіне байланысты, сәйкесінше, шамасы оң немесе теріс болады. Егер функциясын графиктік түрде бейнелейтін болсақ, яғни аталған функцияның графигін тұрғызатын болсақ, онда бізді қызықтырып отырған өзгергіштік шамасы өзінің мәнінен өткенде сызылған қисық қаншалықты тік көтерілетіндігін немесе түсетіндігін бейнелейді. Дәл терминдерде туынды функциясының графигіне аргументі нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті арқылы бейнеленеді; бұл қасиетті математикада туындының геометриялық мағынасы деп атайды. Туындының ең нақты және қарапайым түсіндірілуі тәуелсіз айнымалысы уақытты білдірген жағдайда мүмкін болады. Бұл жағдайда (1) шамасы шамасының уақыт аралығындағы өзгеруінің орташа жылдамдығын білдіреді, ал туындысы бұл өзгерістің уақыт мезетіндегі «нақты жылдамдығын» білдіреді. Дербес жағдайда, егер функциясы қозғалыстағы нүктенің (материалдық нүктенің) тұрақты уақыт мезетінен уақыт мезетіне дейін жүрген жолын білдіретін болса, онда туынды ұғымы механикадағы лездік жылдамдық ұғымымен дәл келеді, яғни бұл жағдайды функцияның нүктедегі туындысы қозғалып келе жатқан нүктенің осы нүктедегі (уақыт мезетіндегі) лездік жылдамдығына тең болады; бұл қасиетті ғылымда туындының механикалық мағынасы деп атайды. Зерттеліп отырған құбылыстың локальдік (жергілікті) сипаттамасын нағыз маңызды қатынаста – өзара байланыстағы екі айнымалы шаманың бірінің өзгерісі салдарынан екіншісінің өзгеруін сандық қатынаста бағалауы туындының математикалық талдаудың қолдану өрісінде: механика, астрономия, химия, биология және де жаратылыстану ғылымдарының басқа салаларында маңызды рөлге ие болуына мол мүмкіндік ашады. Адам (оқушы) туынды ұғымын бірінші рет естігенде «неге туынды деп аталады? Әңгіме шек, сан, өсімше туралы болып отырған жоқ па?» деген сұрақтарды қоюы әбден мүмкін. «Туынды» деген сөз «функцияның туындысы» дегеннің қысқаша түрі. Барлық пайымдаулар мен есептеулер кесіндісінің (тұйық аралығының) ерікті түрде алынған (бір ғана) нүктесінде жүргізілгендіктен, біз осы пайымдаулар мен есептеулерді осы аралықтың кез келген нүктесі үшін (әр жолы есептегелі отырған шек бар деп санай отырып) жүргізе аламыз. Осы тәсілмен алынған функциясы функциясының туындысы деп аталады. Бұл барлық ойқорытулар туынды функцияның тұтас кесіндісіндегі емес, ал оның жекелеген нүктелерінің нақты өте кішкене маңайындағы мінезін сипаттауға бағытталған және берілген аралықтың әр нүктесінде ерекше есептелінетін берілген функцияның локальді (жергілікті) сипаттамасы деген негізгі фактіде ештеңе өзгертпейді. Егер нүктесінде функциясының туындысы бар болса, онда функциясы нүктесінде дифференциалданады деп аталады немесе дифферециалданатын функция деп аталады. Егер де кесіндісінің әрбір ішкі нүктесінде функциясының туындысы бар болса, онда функциясы кесіндісінің ішінде дифференциалданады деп аталады немесе дифферециалданатын функция деп аталады. Функцияның дифференциалдануы, оның үзіліссіздігі сияқты, локальді қасиет екендігі түсінікті. нүктесінде үзіліссіз функция ғана осы нүктеде дифференциалдануы мүмкін; бұл (1) өрнектегі бөлшектің бөлімі нольге ұмтылғанда шектің бар болуы үшін осы бөлшектің алымының да нольге ұмтылуы қажеттігінен көрініп тұр, ал бұл өз кезегінде функциясының нүктесінде үзіліссіздігін білдіреді. Кері тұжырым, жалпы жағдайда, дұрыс емес; үзіліссіз функция дифференциалданбайтын болуы да мүмкін. Осындай ең қарапайым мысалдардың бірі ретінде (1.1-сурет) функциясын келтіруге болады; бұл функцияның бүкіл сан түзуінде үзіліссіз екендігін дәлелдеу қиын емес. Нақты санның модулінің (абсолют шамасының) анықтамасын қолданып функциясын ашып жазамыз: Сондықтан , яғни . Демек , және және болады. Сонымен, оң жақты және сол жақты туындылар бар болып, олар нүктесінде өзара тең емес, демек, нүктесінде функциясының жай (екі жақты) туындысы жоқ. Егер нүктесінде функциясының оң жақты және сол жақты туындылары бар болып, бірақ жай туындысы болмаса, онда нүктесі функцияның сыну нүктесі деп аталады. нүктесі функциясының сыну нүктесі болады. Екінші мысал ретінде графигі 1.2-суретте келтірілген функцияны қарастыруға болады, бұл функцияның аналитикалық өрнегін келтіріп жатудың қажеті жоқ, функция үзіліссіз, бірақ нүктесінде (1) өрнектің және болғандағы шектері бар бола тұрып, өзара тең болмайды, бұны геометриялық тұрғыдан нүктесінде берілген қисықтың анықталған нақты жанамасы болмайды деп түсіндіруге болады. Жоғарыдағы екі мысал үзіліссіз функцияның жеке алынған нүктеде туындысы болмайтындығының мысалдары, дей тұрғанмен олардың осы туындысы жоқ нүктелерде сол жақты және оң жақты туындылары бар. Туындысы жоқ функциялар қарастырылғанда жағдай ылғи да осылай бола ма? Үзіліссіз функция бұдан да тереңірек мағынада дифференциалданбайтын жағдайлар бар екенін көрсетелік. функциясын қарастырайық. Графигі 1.3-суретте бейнеленген. Осы функцияның нүктесінің маңайындағы мінезін анықтайық. Кез келген үшін және болғандықтан , біз, берілген функцияның нүктесінде үзіліссіз екендігін көреміз. Бірақ нольге ұмтылғанда, мысалы, оң жағынан ұмтылғанда , ал 1 мен аралығында шексіз рет тербеледі; тізбегін алатын болсақ, онда , және жұп (яғни ) болғанда , ал тақ (яғни ) болғанда . Сондықтан және түзулері арасында шексіз рет тербеледі де, (1) өрнек түріне келтіріліп, өзінің дербес шектері ретінде кесіндісінің кез келген мәнін қабылдай алады; оның жоғарғы шегі -ге тең, ал төменгі шегі -ге тең. нольге сол жағынан ұмтылған жағдайда да тап осылай болады; сонымен нүктесінде берілген функцияның сол жақты туындысы да, оң жақты туындысы да жоқ. Жалпы жағдайда (1) өрнектің болғанда да, болғанда да жоғарғы және төменгі шектері бар болады; бұл төрт шекті берілген функцияның берілген нүктедегі туынды сандары деп атайды; олардың әрқайсысы сан да бола алады, және символдарының бірі де бола алады. Сонымен, кез келген функцияның кез келген нүктеде (нүктенің қандай да бір маңайында анықталған болған жағдайында) төрт туынды саны бар болады: оң жақты жоғарғы, оң жақты төменгі, сол жақты жоғарғы, сол жақты төменгі. Егер оң жақты екі туынды сандар тең болса, онда берілген функцияның берілген нүктеде оң жақты туындысы бар болады және ол туынды туынды сандарға тең болады. Дәл осылай, егер сол жақты екі туынды сандар тең болса, онда берілген функцияның берілген нүктеде сол жақты туындысы бар болады және ол туынды туынды сандарға тең болады. Төрт туынды сан да ақырлы болып, өзара тең болса (және тек осы жағдайда ғана) функция берілген нүктеде дифференциалданады. Қандай да бір нүктеде төрт туынды сандардың барлығы да шексіз болатын жағдайлар бар. Мысал ретінде функциясын келтіруге болады. Бұл функцияның нүктесіндегі төрт туынды сандарының барлығы да шексіз екенін көрсетуге болады. Егер жоғарыдағы суреттегі функция бейнесі әртүрлі нүктеде әрқилы екенін ескерсек, онда бір ғана функцияны дифференциалдауға қатысты қарастырғанда оның қандай күрделі құбылыс болатынын аңғаруға болады. 1.3-ші суретте бейнеленген құбылыс тек қана оқшауланған нүктелерге ғана тән деп айтуға болмайды. Әр нүктеге қатысты құрылымы өте күрделі болатын және тұтас бір аралықта немесе бүкіл сан түзуінің бір де бір нүктесінде дифференциалданбайтын функциялар бар. Бүкіл сан түзуінде үзіліссіз, бірақ ешбір нүктеде дифференциалданбайтын функция мысалы ретінде Вандер-варден алғаш қарастырған қатар мен тригонометриялық функциялар арқылы өрнектелетін функцияны атап кетуге болады. Туынды сандарды қолдану мысалын қарастырайық. Дифференциалданатын функциялар үшін олардың өсу мен кемуге қатысты сипаттамасы функцияның туындысының таңбасымен тығыз байланысты. Егер кесіндісінің барлық нүктелерінде болса, онда – осы кесіндіде (сегментте) кемімейтін функция, ал егер кесіндісінің барлық нүктелерінде болса, онда – осы кесіндіде (сегментте) өспейтін функция. Функцияның өсуі мен кемуінің бұл белгілері олардың қолдану аясы көлемінде, яғни берілген функция дифференциалданатын болған жағдайда артық ештеңені қолданбай-ақ қою мүмкіндігін қамтамасыз етеді; бірақ функция дифференциалданбайтын болған жағдайда бұлар тәріздес белгілер ештеңе бермейді; соған қарамастан онша терең емес зерттеулердің өздері функцияның өсуі мен кемуінің оларға ұқсас белгілері барлығын және ол белгілердің функцияның дифференциалданатын-дифференциалданбайтындығына тәуелсіз екендігін көрсетеді. Бұған көз жеткізу үшін келесі тұжырымды дәлелдейміз. Теорема. функиясы кесіндісінде үзіліссіз болсын және осы функцияның төрт туынды санының біреуі – оны арқылы белгілейік – барлық үшін теріс емес болсын, онда . Әрине, белгінің бұл түрдегі тұжырымдалуы әдеттегі тұжырымдалуынан едәуір күштірек, себебі мұнда мәселе кез келген үзіліссіз функция (ол дифференциалданбайтын болуы да мүмкін) туралы болып тұр. Дәлелдеу. Теорема тұжырымына кері жорып, делік. шарттарын қанағаттандыратындай санын алайық. Анықтық үшін – функциясының оң жақты жоғарғы туынды саны болсын. функциясын қарастырайық; сонда және , яғни . (3) – кесіндісінің болатындай барлық нүктелерінің жиыны болсын, және – осы жиынның ең жоғарғы шекарасы болсын. Егер (немесе ) болса, онда функциясы үзіліссіз болуы себепті нүктесін кез келген нүктесінде (немесе сәйкесінше ) болатындай етіп маңайымен қоршай алған болар едік. Екінші жағынан, жоғарғы шекараның анықтамасына сәйкес нүктесінің кез келген маңайы болатындай нүктелерді қамтуы керек. Бұл қарама-қайшылық екендігін көрсетеді. болғандықтан үшін ; мұндай кез келген үшін , және сол себепті . Бірақ , бұдан , бұл теореманың шартына қайшы келеді. Сонымен, теорема дәлелденді. Функцияның туындысы ұғымына алып келетін есептер Туынды ұғымына алып келетін есептер ішінде мектеп оқушыларына таныс және олардың түсінулеріне еш қиындығы жоқ есептер бар, олардың қатарына 1.1-параграфта келтірілген және туындының механикалық мағынасы деп аталған жылдамдық туралы есепті, сол параграфта келтірілген және туындының геометриялық мағынасы деп аталған функция графигіне белгілі бір нүктеде жүргізілген жанама туралы есепті, сонымен қатар химиялық реакцияның жылдамдығы туралы есепті және тағы басқаларын жатқызуға болады. Дифференциалдау ережелері Жалпы жағдайда функцияның туындысын белгілі бір ережелерге сүйене отырып табу қажет. Берілген функциясының туындысын туындының анықтамасын қолдана отырып табу үшін келесі алгоритмді қолдану керек: 1) аргументіне өсімшесін бере отырып функцияның өсірілген мәні табу керек: ; 2) функцияның сәйкес өсімшесін табу керек: ; 3) функцияның өсімшесінің аргументтің өсімшесіне қатынасын құру керек: ; 4) қатынастың жағдайындағы шегін табу керек: . Негізгі элементар функциялардың туындыларын осы алгоритмді ұстана отырып есептеп алғаннан кейін «дифференциалдау ережелері» деп аталатын ережелерді енгізіп, содан кейін дифференциалданатын функциялардың туындыларын соңғы ережелерге сүйене отырып есептеген жөн; себебі ылғи да берілген функция туындысын жоғарыда келтірілген алгоритм арқылы тауып отыру өте қолайсыз және көп уақыт талап етеді. Жоғарыда аталған алгоритмді қолданып туындыны есептеуге мысалдар келтірейік. 1-мысал. натурал сан болғанда функциясының туындысы -не тең, яғни егер , онда . (1) Дәлелдеуі. Берілген функция . 1) Егер аргументіне өсімшесін берсек, онда : . 2) Ньютон биномының формуласын қолдана отырып функцияның сәйкес өсімшесін табамыз: немесе . 3) қатынасын табамыз: . 4) Қатынастың жағдайындағы шегін табамыз: , сонымен, . Теорема дәлелденді. 2-мысал. функциясының туындысы болады, яғни егер , онда . (2) Дәлелдеуі. Берілген функция . 1) Егер аргументіне өсімшесін берсек, онда : . 2) Ньютон биномының формуласын қолдана отырып функцияның сәйкес өсімшесін табамыз: . 3) қатынасын табамыз: . 4) Қатынастың жағдайындағы шегін табамыз: , себебі (бірінші тамаша шекті еске түсірелік) және функциясы анықталу облысында үзіліссіз функция болуы себепті , сонымен, . Теорема дәлелденді. Әр функция үшін оның туындысын туындының анықтамасын қолдана отырып есептеу өте күрделі және өте тиімсіз тәсіл, сондықтан дифференциалдау ережелері деп аталатын ережелер мен негізгі элементар функциялардың туындыларының кестесін қолданады. Негізгі элементар функциялардың туындылары 1. - тұрақты. . 2. . . . 3. . . 4. . . 5. . . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . Дифференциалдау ережелері
Функцияның дифференциалы Функцияның туындысын есептеу, яғни функцияны дифференциалдау туралы ілімнің келесі негізгі ұғымы – дифференциал ұғымы. Қазіргі мезгілде, біз, дифференциалды туынды ұғымы арқылы анықталатын екінші дәрежедегі (рөлдегі) ұғым деп есептеп жүрміз; шын мәнінде ақырсыз кішкене шамалардың талдауы алғаш дүниеге келгенде және одан кейін біраз уақыт бойы туынды ұғымы емес, дифференциал ұғымы алғашқы ұғым деп есептелді; ал туындыны дифференциалдардың қатынасы деп санады, яғни екінші рөлдегі ұғым деп есептеді. Айта кету керек, ол заманда дифференциал ұғымы әлі де болса нақты да дәл анықтамаға ие емес еді және ол ұғымға байланысты қарама-қайшылықтар да жоқ емес еді, себебі ол заманда математикалық ойқорытуда тәуелсіз айнымалы мен тәуелді айнымалылырдың өзгерістерін тұтас нысан түрінде қарастыру әлі де болса жетіліп болмаған еді. Функцияның дифференциалының формальді түрдегі анықтамасы әрине белгілі: функциясының дифференциалы деп біз (1) шамасын атаймыз, мұндағы – тәуелсіз айнымалының өсімшесі; сонымен, функциясының дифференциалы өзара тәуелсіз екі айнымалының – шамасы мен оның өсімшесіне – тәуелді функция, бұл екі айнымалылардың мәндері өзара ешқандай байланыста емес және олардың кез келген біреуін екіншісіне тәуелсіз таңдап алуға болады. Дербес жағдайда функциясын қарастыра отырып, біз теңдігіне келеміз, яғни тәуелсіз айнымалы үшін дифференциал мен өсімше әрқашан бірдей болады. (1) формулада өсімшесінің орнына -ті қоя отырып, біз, келесі теңдікке келеміз: , (2) яғни функцияның дифференциалының өзіміз әдетте қолданып жүрген анықтамасын аламыз: функцияның дифференциалы оның туындысы мен тәуелсіз айнымалының дифференциалының көбейтіндісіне тең. (2) теңдіктен , (3) яғни функцияның туындысы функцияның дифференциалының тәуелсіз айнымалының дифференциалына қатынасына тең. Бұл, соңғы (3)-ші өрнек немесе формальді түрдегі анықтама дифференциал ұғымының математикалық талдау мен оның қолданылуларындағы өте маңыздылығын аша алмайды. Бұл мәселені терең талдау үшін дифференциал ұғымына және дифференциал идеясына тиянақты көңіл бөлу керек. Түсінуге жеңіл және сенімдірек болу үшін тәуелсіз айнымалы уақытты білдіретін, ал функциясы қозғалыстағы материалдық нүктенің 0-ден -ке дейінгі уақыт аралығында жүрген жолын білдіретін дербес жағдайды қарастырған дұрыс сияқты. Бұл жағдайда туындысы қозғалыстағы нүктенің уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығын бейнелейтінін білеміз; сондықтан – қозғалыстағы нүктенің уақыт аралығында, егер нүкте осы аралықта аралықтың бастапқы нүктесіндегі жылдамдықпен бірқалыпты қозғалатын болса, жүретін жолының шамасы. Шындығында осы уақыт аралығында нүктенің жүрген жолы, жалпы жағдайда, басқа болады, себебі қозғалыстағы нүктенің жылдамдығы тұрақты болып қала бермейді. Ж алпы жағдайда, біз білетініміздей, туындысын және шамаларының -тің берілген мәніндегі салыстырмалы өзгергіштіктерінің өлшемі ретінде қарастыруға болады. Сондықтан дифференциалын шамасының оның мәніне дейін өзгергендегі, кесіндісінің барлық нүктелерінде осы өлшем осы аралықтың басындағыдай болып қала бергенде функциясы алатын өсімше ретінде қарастыруға болады. Бұл концепция 2.1-суретте көрнекі бейнеленген: – қисығының ординатасы абсцисса -тен мәніне дейін жүрген жолда қисыққа жүргізілген жанама осы аралықтың барлық нүктелерінде нүктесіндегі мәнімен бірдей болғандағы, яғни біз осы қисықты оған абсциссасы нүктесінде жүргізілген жанамамен алмастырғанда алатын өсімшесі. Бізге қолданбалы ғылымдарда өсімшесінің кішкене мәндерінде көбінесе функциясының өсімшесі мен дифференциалы арасында айырмашылық жоқ деп есептейтіндері белгілі; бұл өз кезегінде дифференциалды «ақырсыз аз өсімше» деп қате және зиянды түсінуге себеп болады, шындығында, жалпы жағдайда дифференциал өсімше емес. Осындай алмастыруға байланысты туындайтын екі сұраққа жауап беруге тырысып көрейік: 1) бұл алмастыру қандай дәрежеде негізделген? және 2) ол қандай пайда әкелуі мүмкін? Бірінші сұраққа жауап беру үшін қатынасын негізге аламыз. Осы қатынас негізінде ақырсыз аз шама болатын айырмасын арқылы белгілейміз, нәтижесінде (1´) қатынасына келеміз. болғанда болғандықтан, көбейтіндісі -пен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болып табылады; бірақ қатынасы тұрақты шама, ал болғанда қатынасының шегі осы тұрақты шамаға тең болады, сондықтан, егер болса, онда , және шамаларының үшеуі де бір реттегі ақырсыз аз шамалар болады; сол себепті шамасы -пен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама бола отырып, және шамаларының әрқайсысымен салыстырғанда да жоғары ретті ақырсыз аз шама болады. Сонымен, соңғы (1´) қатынас, егер болса, онда болғанда функцияның өсімшесі мен дифференциалының айырмасы , және шамаларының әрқайсысымен салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болатынын көрсетеді; басқаша айтқанда, функцияның өсімшесін дифференциалмен немесе дифференциалды өсімшемен алмастырғанда салыстырмалы қателік өте кішкене (дәлірек айтқанда ақырсыз аз) болады. болғанда алынған қатынас келесі қатынасымен мәндес, ал соңғы қатынас болғанда және эквивалентті ақырсыз аз шамалар екенін көрсетеді. Осы нәтижелерге сүйене отырып кішкене болғанда жуықтап есептеулерде функцияның өсімшесін оның дифференциалымен алмастыруға болады. Қойылған екінші сұраққа – функцияның өсімшесін оның дифференциалымен алмастыру қандай пайда әкелуі мүмкін? – жауап беру үшін өсімшенің құрылымынан гөрі дифференциалдың құрылымы теориялық жағынан ықшам және практикалық тұрғыдан ыңғайлырақ екенін байқаймыз. Дифференциал шамасының сызықтық функциясы болып табылады, өзгергенде дифференциалдың өзгеру сипаттамасы өте қарапайым, және оны оқып-үйрену үшін мәнін бір ғана нүктеде есептеуден басқа ештеңе талап етілмейді; ал шамасын есептеуде біз мұндай қарапайымдылықты көрмейміз. Мысалы, -тің -қа өте жақын мәндері үшін, мысалы, , және т. с. с. мәндері үшін функциясының мәндерінің кестесін құру керек болсын. Қолымызда олардың мәндерін дәл есептейтін құралдар мен құрылғылар жоқ делік. болғанда екендігін білеміз, бірақ -тің -қа жақын мәндеріне көшкенде шамасының сәйкес өсімшелерін есептейтін тәсілдерді білмейміз. Есебімізде өсімшелерінің кішкенелігін ескере отырып функцияның өсімшелерін дифференциалдарымен алмастырып көруге батыл шешім қабылдап көрелік. және болғандықтан болады, мұндағы радиандық өлшемде өрнектелген ( ), сондықтан біз келесі жуық мәндерді бірден аламыз: , , , ............................................... Сонымен, біз, дифференциалдың келесі екі қасиетке ие екенін көріп отырмыз: 1) ол шамасының сызықтық функциясы, және 2) ол шамасынан -ке қатысты салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз аз шамаға өзгешелігі бар. Енді осы екі қасиет арқылы дифференциалдың толық анықталатынын көрсетелік, олай болса дифференциал туралы білімді дәл осы анықтамадан бастауға болар еді деген қорытынды жасауға болар еді (дегенмен, кез келген дифференциалданатын, яғни туындысы бар функция үшін оның дифференциалы бар екендігін дәлелдеу үшін бәрібір туынды ұғымын айналып кету мүмкін емес еді). Мысалдар. 1) |