туынды. ТУЫНДЫ ҰҒЫМЫ. Математика пніні жаа бадарламасында кез келген адам з мірінде кездесетін крделі есептерді орындау кесте, диаграмма, график тріндегі апаратты ои алуы ажет делінген
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
Кіріспе Қазіргі қоғамдағы ғылым мен техниканың, әсіресе, компьютерлік техника мен технологиялардың даму деңгейі «біліммен қаруланған адам» даярлау қағидасынан «іс-әрекет жасауға үйретілген маман» даярлау қағидасына көшуді қажет етуде. Осы қажеттіліктің іс жүзіне ауысуы қазіргі педагогика ғылымы саласындағы кейбір мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Математика пәнінің жаңа бағдарламасында «кез келген адам өз өмірінде кездесетін күрделі есептерді орындау: кесте, диаграмма, график түріндегі ақпаратты оқи алуы қажет» делінген. Математикалық ұғымдардың ішіндегі ең іргелі де, негізгілерінің бірі функционалдық (функция) тәуелділік ұғымы. Бұл ұғымның басқа ұғымдардан басты ерекшелігі ― ол басқа оқу пәндерінде де жиі қолданылады. Функционалдық тәуелділік ― қоршаған ортаны оқып үйренуге негізделген математикалық модель. Осы модель арқылы дүниенің біртұтас ғылыми бейнесі оқып-игеріледі. Функционалдық тәуелділікті оқып-үйрену кезінде зерттелетін құбылыстардың мәні көрнекі түрде айқындалады, ұғымды оқушылардың меңгеруі басқа ұғымдардың дұрыс қалыптасуына тікелей әсерін тигізеді. Функциялық тәуелділіктің дербес жағдайы, яғни функцияның дербес жағдайы ― сандық тізбек. Туынды ұғымы математикалық анализдің негізгі ұғымдарының бірі және математикалық анализдің негізгі тұжырымдарының барлығы дерлік осы ұғым арқылы анықталатынын ескерсек, бұл ұғымның математикалық талдауға арналған кез келген оқулықтан ойып тұрып орын алатынына оңай көз жеткізуге болады. Ана тілімізде жарық көрген және өз мезгілінде университеттер мен педагогикалық институттардың физика, математика, механика факультеттері, жоғары білімді техникалық мамандар және экономика саласының мамандарын даярлайтын жоғары оқу орындарының студенттерінің математикалық анализ бен жоғары математика саласынан сапалы білім алуына үлкен жағдай жасаған О.Ә.Жәутіков /1/, Х.И.Ибрашев пен Ш.Т.Еркеғұлов /2/, Б.Т.Төлегенов /3/, Н.Темірғалиев /4/ сияқты математик-ғалымдардың еңбектерінде туынды тақырыбы терең қарастырылған. Жалпы орта білім беретін мектептерге арналған математика оқулықтарының ішінен Кеңес Одағы кезінен бері пайдаланылып келе жатқан А.Н.Колмогоровтың /5/, ал отандық соңғы буын оқулықтардың ішінен Ә.Н.Шыныбековтың /6/ және Қ.Д.Шойынбеков бастаған авторлық ұжымның еңбектерін /7/ атауға болады. 1935 жылы қазақтың тұңғыш жоғары математика оқулығын жазып шығарған Әлімхан Әбеуұлы Ермековтің еңбегінің «Сызықтық функция» тарауының «Түзу сызықтың бұрыштық коэффициентті теңдеуі. Сызықтық функцияның негізгі қасиеттері» параграфында сызықтық функцияның туындысы мен дифференциалы және туынды арқылы бұрыштық коэффициентті табу қарастырылған /8/. Туындыға қатысты теориялық материалдар мен есептерді қамтитын және сәйкесінше жоғары оқу орындарында /9-15/ және жалпы орта білім беретін мектептерде қосымша ретінде және факультативтік сабақтар мен түрлі деңгейлердегі математикалық сайыс, конкурс, олимпиадаларға дайындық кезінде қолданылып жүрген /16-25/ оқулықтар мен оқу құралдарын атауға болады. Функцияның туындысы ұғымына қатысты және оның қолданылуларына байланысты ғылыми және ғылыми-әдістемелік журналдар мен газет беттерінде жарияланған /26-29/ мақалаларды атап кетеміз. Біз олардың барлығын дипломдық жұмысты орындау барысында жан-жақты талқылап, қажет материалдарды қолданып отырдық. Кез келген ғылымның негізін үйрену танымның нәтижелері жинақтаған ғылыми ұғымдар мен категориялардың жүйесін меңгеру болып табылады. Педагогика ғылыми ұғымдарды олардың таным үрдісіндегі гнесеологиялық және психологиялық маңызына сүйене отырып, білім мазмұнының басты құрылымдық бірлігі ретінде анықтайды. Ғылыми ұғымдарды саналы да, терең меңгергенде ғана оқушылардың қоршаған дүниені толық, бүтін қабылдауларына жағдай туғызуға болады, жан-жақты өз бетінше және белсенді ойлайтын адам етіп қалыптастыруға болады. Дүние таным өкілдері ұғым-мидың, материяның жоғарғы жемісі деп атап көрсеткен. Әр ғылым саласы бойынша пайда болған ұғым өзінің даму кезеңдерінде өзгеріссіз қалып қоймайды. Заттар мен құбылыстардың жаңа қасиеттер мен белгілерге ие болуы нәтижесінде ұғым мазмұны қоюланып, молая түседі, көлемі кеңиді, олардың қатыстары мен байланыстары толығырақ айқындалады. Жұмыстың өзектілігі: математика оқыту барысында оқушылардың қай тақырыпты меңгеруге қиналатындығын анықтаудың маңызы зор. Оқушы қандай да бір тақырыпты өз дәрежесіне меңгере алмаса, соның салдарынан келесі өтілетін материалды түсінбей қалуы мүмкін. Туынды тақырыбын меңгеру және оны басқа ғылымдармен байланысын көре алудың маңызы зор. Жалпы туынды ұғымына мына түрде анықтама беріледі: өсімшесінің өсімшесіне қатынасының, осы нольге ұмтылғандағы, шегі берілген функциясының х нүктесіндегі туындысы деп аталады. Жұмыстың мақсаты: 1) математикалық анализдің, жалпы математиканың іргелі ұғымдарының бірі болып табылатын шек ұғымының нақты қолданылуының ең негізгілерінің бірі болып табылатын функцияның туындысы ұғымын оқушылардың меңгеруін жетілдірудің шарттарын анықтау; 2) туындыны қолдануды меңгеру жолдарын, оны жүргізудің әдістемесін жасау. 3) туынды және оның қолданылу әдістері мен идеяларын толық және терең түсінетін, оқушылардың қиындықтары әртүрлі есептерді шығару қабілеттерін дамытуға кепілдік беретін білімдер, іскерліктер мен дағдылардың жоғары деңгейіне қамтамасыз ету; Жұмыстың міндеті: 1) оқушыларда функцияның туындысы ұғымын қалыптастыру мен меңгертуді жүйелеу; 2) функцияның туындысының бар болуының қажетті шартын талдау; 3) функцияның туындысын оқып-үйренудің жалпы математиканы оқып-үйренгенде алатын орнын көрсету; 4) функцияның туындысын есептеудің тәсілдерін көрсету. Жұмыстың зерттеу нысаны: «Алгебра және анализ бастамалары» пәнін оқып-үйренгенде оқушыларға функцияның туындысы ұғымын және туындыны қолдануды үйрету. Ғылыми ізденіс әдісі: Педагогикалық, математикалық және басқа да әдістемелік әдебиеттерге, тақырыпқа байланысты ғылыми мақалаларға талдау жасау. Педагогикалық озық іс-тәжірибелерді жинақтау, талдау. Педагогикалық озық технология әдістерімен танысып, оның элементтерін пайдалану. Ғылыми жаңалығы және алынған нәтижелер: Функцияның нүктедегі туындысы және аралықтағы туындысы ұғымдары тыңғылықты және тиянақты талданды; туындыға қатысты негізгі теоремалар мен қағидалардың тұжырымдамаларында берілген шарттардың әрқайсысының алатын орны талқыланды. Функцияның туындысы ұғымының мектеп математика курсында алатын орны және туындының мектеп математика курсы көлемінде негізгі қолданылулары толық талданды. Дипломдық жұмыс кіріспеден, үш тараудан, қорытындыдан және 29 аталымды қамтитын қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады; көлемі 48 бет.
Туындыларды және олардың функцияларды зерттеуде қолданылуы қарастырылатын математиканың бөлімі дифференциал деп аталады. Айырманы көрсететін түріндегі өсімше туындылармен жұмысістегенде елеулі орын алады. Сондықтан да жаңа есептеу calculis differentialis (қазақшаға аударғанда айырымды есептеу деп аударылады) атауында латынша differentia (айырма) түбірінің көрініс табуы орынды, бұл атау XVII ғасырдың аяғында, яғни жаңа әдіс дүниеге кенлгенде пайда болды. «Туынды» термині deriveе деген француз тілінен аударғанда сөзбе-сөз деген мағынаны береді. Оны ең алғаш 1797 ж. Ж.Лагранж (1736-1813) енгізген, қазіргі кезде белілеулерін де сол енгізген – ді. Бұл атау мынадай ұғымның маағынасын ашады: функциясы - тен шығады, - тің туындысы болып табылады. И. Ньютон функцияың туындысын флюкция деп, ал функцияның өзін флюента деп атаған. Г.Лейбницдифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі кездегі әдебиеттерде де жиі кездеседі. Лейбниц символын функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. функциясының дифференциалы - туындысының өсімшесіне көбейтіндісі, яғни ; белгілеуін -пен алмастырып, оны былайда жазуға болады: , осыдан . Дифференциалдық есептеуде қабылданған терминология туралы әңгімені шек және шексіз аз ұғымдары толықтыра түседі. Шек туралы төменде егжей-тегжейлі айтылады, әзірге мынаны ескереміз,Мысалы: туынды барлық нұсқауларда шек ретінде анықталады жоғарыда қабылданған жағдайда деп жазудың орнына lim түрінде жазады lim белгілеуі – латынша limes (меже , шекара) деген сөзінің қысқарған түрі; Мысалы: -ті кеміте келіп біз мәнін «шекарасына» ұмтылтамыз. «Шек» терминін Ньютон енгізген. - тен функциясы шексіз аз шаманың мысалы бола алады , өйткені жағдайда . Жалпы егер болса, -ны шексіз аз шама деп айтады. Математикалық анализде шексіз аздар маңызды орынға ие, сондықтан да оны көбінесе шексіз аздар анализі деп атайды. Ақырында «экстремум» сөзі латынша extremum (шекті) сөзінен шыққанын айта кетейік. Қазақша maximum ең үлкен, ал minimum ең кіші деп аударылады. Дифференциалдық есептеуді Ньютон мен Леибниц бір шама беріректе, XVII- соңында құрды. Таң қаларлық бір нәрсе, бұдан көп жылдар бұрын Архимед аса күрделі спираль сияқты қисыққа жанама жүргізу есебін шығарған (ол мұнда шекке көшуді қолданған), сонымен бірге функциясының max таба білген. Жанама ұғымы (ол өзіміз білеміз туынды ұғымымен байланысты) Итолиан математигі Н.Тартальи (1500-1557) ж. шамасында еңбектерінде ауық-ауық ұшырасып қалады, мұнда жанама зеңбіректің оқты барынша алысқа атуға көмектесетін көлбеулік бұрышы жөніндегі мәселені оқып-үйрену барысында айтылады. И.Кеплер радиусыберілгеншарға іштей сызылғанпараллелепипеттің ең үлкен көлемі туралы есепті шығару барысында жанаманы қарастырған. XVII- ғасырда Г.Галилейдің қозғалыс туралы ілімі негізінде туындының кинематикалық концепциясы қарыштап өркендеді Әр түрлі есептерді шығаруға қолданылған алуан түрлі варианттардың баяндалуы Р.Декартта, француз математигі Робельвальде (1602-1675) ағылшын ғалымы Д.Грегориде (1638-1675) , И.Барроу (1630-1677) мен И.ньютон еңбектерінде кездеседі. Жанама мен нормальды (жанамаға перпендикуляр және жанасу нүктесінде жүргізілген түзу осылай аталады) қарастыруға Декарт линзалардың оптикалық қасиеттерін зерттеу барысында келеді. Ол аналитикалық геометрия әдістерінің және өзі ойлап тапқан анықталмаған коэфиценттер әдісінің көмегімен бір қатар қисықтарға, соның ішінде элипске нормальдар салу туралы есепті шығара білді. 1629 ж. Т.Ферма көпмүшелердің экстримумдарын табу ережелерін ұсынды. Айта кететін елеулі нәрсе, Ферма осы ережелерді қортып шығарғанда max мен min дифференциалдық шартын біле отырып шекке көшуді қиуырт қолданды. Туындылар туралы ғылымды жүйелі дамытқан Лейбниц пен Ньютон болды олар анализдіңнегізгі екі проблемасын тұжырымдады : Жүретін жолдың тұрақты (яғни кез – келген уақыт) мезетіндегі ұзындығы берілген ; көрсетілген уақыт ішіндегі қозғалыс жылдамдығын табу керек. Қозғалыс жылдамдығы тұрақты берілген; көрсетілген уақыт ішінде жүрілген жолдың ұзындығын табу керек Бірінші проблемма дифференциалдық есептеудің даму бағдарламасын береді . Екінші интегралдық есептеуге жатады . XVIII – ғасырдағы және одан кейінгі жасалған жаңалықтар туралы қысқа мақалада әңгімелеп шығу мүмкін емес. Шығарылатын есептер шеңберін кеңейтуге мүмкіндік қуатты жаңа әдістердің пайда болуынан туған ынта XVIII- ғасырда анализдің қардықынды дамуына себепші болды. Алайда осы ғасырдың соңында дифференциалдық және интегралдық есептеулерді жасаушыларда аса өткір проблеммалар пайда болды. Негізгі қиыншылық мынада еді: шек, үздіксіздік, нақты сан сияқты негізгі терминдердің дәл анықтамалары болмады. Бұған тән мысал- үздіксіздік анықтамасы. Эйлер, Лагранж тіпті анықталу облысында бір ғана өрнекпен берілген функцияны үздіксіз деп атады. Ньютон, Лейбниц, Эйлер сияқты алыптардың данышпандық интуициясы оларды қателесуден сақтап қалды. Бірақ қалайда берік логикалық негіз қажет болды. Математикалық ұғымдарды дамыту мен оларды оқушылардың меңгеруін қамтамасыз ету мектеп математикасын оқытудың басты міндеттерінің бірі болып саналады. Ал бұл міндет мектеп математика курсының басты ұғымдарын саналы және баянды түрде таразылауды, соның негізінде көптеген дидактикалық міндеттерді шешуге болатын математикалық ұғымдарды меңгеруді қамтамасыз етуді, оларды оқушыларға оқытып- үйретудің тиімді жолдарын анықтауды қажет етеді. Білімді меңгеру – ұғымдарды бүтін, тұтас күйінде меңгеру, ал ойлау ұғымдармен, пікірлермен жасалатын әрекет болып табылады. Орта мектеп математикасы бағдарламасының түсініктеме сөздігінде: “...түсінікті де, мазмұнды мысалдар арқылы оқушыларға математикалық ұғымдардың дамуын көрсету керек, оларды ғылыми зерттеулердің кезеңдері және әдістерімен таныстыру керек” екендігіне баса назар аударылған. “Оқушыларға жалпылау мен ұғымдарды қалыптастыру мектептегі оқытудың ең басты мақсаттарының бірі”, - деп атап көрсеткен В. В. Давыдов. Осыған орай математикалық ұғымдарды дамытудың тиімді жолдарын іздестіру – оқыту мен тәрбиелеудің сапасын көтеруге бірден – бір құрал болып табылады. Философтар мен қоғамдық ғылым өкілдері де ұғымдардың дамуында тәжірибенің ролін зор екендігіне баса назар аударған. Өздеріңмұң - мұқтаждарын, қажеттіліктерін қанағаттандыру қызметтерінің нәтижесінде ғана, адамдар санасында алғашқы ұғымдар пайда болған. Адамдардың тәжірибелік қызметіне қажет болған шындық дүниесінің сандық қатыстары мен кеңістіктегі формаларын бейнелеу үшін алғашқы математикалық абстракциялық ұғымдар туындалады. Бұған күні бүгінге дейін қолданылып жүрген математикалық терминдердің өзі дәлел бола алады. Мысалы, “трапеция” – гректің сөзі: ”тамақтанатын үстел” дегенді білдіреді, ”симметрия ” – грек сөзі: “біркелкілік, өлшемділік; ”хорда” – грек сөзі: ”шек”; ”цилиндр” – грек сөзі: ”айналдырамын”, “домалатамын”; ”вектор” – латынша: ”апарушы” немесе ”сілтеуші” т.с.с. Математикалық ұғымдардың ең алғашқысы және түп қазығы – сан ұғымы. Сан ұғымы өте ертеде адамзат жазу – сызу білмеген заманда пайда болған А. Көбесов сан ұғымының қалыптасуына алдымен санау амалы себепші болғандығын көрсетеді. Адам саннан бұрын “санауды”, ”түгендеуді” білген. Санау, түгендеу әрекеті негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай-ақ түгендеуі – осының нақты мысалы. Біздің ата – бабаларымыз бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп, әрбір төлді түстеп түгендейтін болған. Сырттай үстірт қарағанда математикалық ұғымдар тым абстрактілі, жасанды, тәжірибемен еш байланысы жоқ, қоғамдық үрдіске тигізетін әсері жоқ секілді болып көрінуі мүмкін. Ал математикалық ұғымдарға тарих көзімен қарасақ, олардың пайда болуы мен дамуына терең талдау жасасақ, жағдай күрт өзгереді. Ұғымдар терең мәнге, бай мазмұнға толықтырылады, математикалық ұғымдардың жалпылығына, логикалық жинақтылығына, өмірде және тәжірибеде кеңінен қолданылатындығына оның нәтижелерінің өзі – ақ куә болады. Танымның диалектикалық заңдылықтарына сүйене отырып, математикалық ұғымдарды меңгеруде, ұғымға сәйкес термин сөздермен, символдармен жүйелі түрде мақсатқа бағытталған жұмыс жүргізу керектігін, оқушылардың математикалық ұғым мен білімдерді саналы және белсенді меңгерулерін басқару мүмкіндігін ескеріп, ғылыми - әдістемелік деңгейін ашып көрсетелік. Оқушыларға жаңа енгізілген термин және символдың тарихи – генетикалық құрылымымен таныстыру. Бұл оқу мазмұны адамгершілікке, оқушылардың "Неге бұл ұғым осындай атпен аталады, неге басқаша аталмайды?” деген сияқты сұрақтарына жауап берудің тәрбиелік және ғылыми мәні бар. Мәселен, ( ) таңбасы латынша "radix" сөзінің бірінші әрпі негізінде алынған. Сол сияқты процент белгісі латынша "procentum" сөзін итальяндар "pro cento" түрінде қабылдаған, біртіндеп тез жазу және қысқарту нәтижесінде cto болып, кейін % символы пайда болған. Пирамида латын сөзі, қазақша жалын деген мағынаны береді. Шындығында да, пирамида жанып тұрған жалын формасы сияқты. Медицинада қолданылатын пирамидон дәрісі, сонымен қатар күнделікті өмірде қолданылатын примус та сол мағынаны береді. Оқу материалының мазмұнын әртүрлі мүмкіндіктер арқылы орындау үшін, мұғалімге ең алдымен оны меңгеріп қана қоймай, сонымен қатар оның негізгі тарихи этаптарын білген жөн. Математикалық ұғымдарды енгізудегі тарихи мағлұматтарды тиімді пайдалану үшін: Ұғымның шығу тарихы туралы жалпы түсінік болу қажет. Ұғымды нақты анықтап, қажет кезде пайдалана білу керек. Әрбір ұғымның анықтамасын біле отырып, оның жеке қасиеттерін, түрлерін ажырату, яғни елеулі белгілерін айқын нақты анықтау. Тарихи деректермен таныстыру сабақ түсіндіру басында 1-2 минуттан аспауы керек. Сабақты қалыпты емес, тың әдістерді қолданып, тарихи деректермен толықтырып отырса, оның нәтижелілігі жоғары болмақ. Оқушыларға тарихи деректер арқылы түсіндіру, олардың осы ұғымға деген зейінін аударып қана қоймай, сол ұғымға деген қызығушылығын арттырады. Туындылар және олардың функцияларды зерттеуде қолданылуы қарастырылатын математиканың бөлімі дифференциалдық есептеу деп аталады. Айырманы көрсететін түріндегі өсімше туындылармен жұмыс істегенде елеулі орын алады. «Туынды» термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы, оны 1797 ж. Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) енгізген, қазіргі кездегі , белгілеулерін де сол енгізген-ді. Бұл атау мынадай ұғымның мағынасын ашады: функциясы -тен шығады, -тің туындысы болып табылады. И. Ньютон функцияның туындысын флюксия деп, ал функцияның өзін флюента деп атаған. Г. Лейбниц дифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиі кездеседі. Лейбниц символын функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. функциясының дифференциалы - туындысының өсімшесіне көбейтіндісі,яғни белгілеуін -пен алмастырып, оны былай да жазуға болады: осыдан . Дифференциалдық есептеуді Ньютон мен Лейбниц біршама беріректе, XVII ғасырдың соңында құрды. Туынды туралы ғылымды жүйелі дамытып, олар анализдің екі проблемасын тұжырымдады: Жүретін жолдың тұрақты (яғни кез келген уақыт мезетіндегі) ұзындығы берілген; көрсетілген уақыт ішіндегі қозғалыс жылдамдығын табу керек. Қозғалыс жылдамдығы тұрақты берілген; көрсетілген уақыт ішінде жүрілген жолдың ұзындығын табу керек. Бірінші ахуал дифференциалдық есептеудің даму бағдарламасына береді. Ньютон механика есептерін негізге алса (ньютондық анализ ньютондық классикалық механикамен қатар жасалған-ды), Лейбництің артықшылығы ол геометрия есептерін негіз етіп алды. Анализ идеяларының одан кейінгі дамулары туралы айтқанда (ол идеялар өте тез тарап кетті және өзіне көптеген ізбасарлар тапты) Лейбництің шәкірттері – ағайынды Я. Бернулли және И. Бернуллилердің есімдерін алдымен атаған жөн. Негізі де, көрсеткіші функция болып келетін дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы Ньютонда да, Яков Берниллида да жоқ. Оны Лейбниц пен Иоганн Бернулли тағайындаған. Дифференциалдық есептемедегі анықталмаған өрнектерді шын мәндерін Иоганн Бернулли көрсеткен. Дифференциалдық теңдеулер теориясында теңдеуі Бернулли теңдеуі деп аталады. Оны 1695 жылы Яков Бернилли ұсынған. Иоганн Бернуллидың ғалымдарға жазған хаттарында да құнды мағлұматтар кездеседі. Оларда бір тектес дифференциалдық теңдеулердің ауыстырмасы арқылы айнымалылары айырылатын теңдеулерге келтірілетіндігі, осы күні Лагранж теңдеуі деп аталатын теңдеуінің шешілетіндігі, көптеген шектеусіз қатарлар айтылады. А. Лопиталь (1661 - 1704) И. Бернуллиден дәріс алған, ол 1696 жылдың өзінде дифференциалдық есептеудің алғашқы курсы «Қисық сызықтарды зерттеуге арналған шексіз аздар анализін» баспадан шығарып үлгерді, бұл жаңа әдістердің таралуына септігін тигізді. Бұл салада ірі нәтижелерге жеткен Лагранж еді, оның еңбектері анализ негіздерінің мән-мағынасын түсінуде зор роль атқарды. Лейбниц пен Ньютон қалдырған математикалық анализ Лагранжды қанағаттандырмаған, ол анализді қайта құруды көздеген. Анализдің ең негізгі ұғымдарының бірі – туынды ұғымы. Туынды ұғымы түсінікті түрде, айқын, тұжырымдалса, интеграл да, басқа ұғымдар да оңай тұжырымдалады. Туындыны штрих арқылы белгілеуші Лагранж болған Туындылар таблицасы бойынша дифференциалдар таблицасын жасауға болады. Мысалы, т.с.с. Дифференциалдың да геометриялық мағынасын (1 сурет) анықтауға болады. Координаталар системасына функциясының графигін салайық, оның бойынан және нүктелерін алайық. болады. нүктесінен жанама жүргізсек, ол түзуін бір нүктесінде қиып өтеді. Туындының геометриялық мағынасы бойынша бұрышының тангенсі туындыға тең. үшбұрышынан яғни M1 Н M Р y 0 x x=dx 1 сурет Сөйтіп, функцияның дифференциалы жанау нүктесінің х абциссасы есептеудің өсімше қабылдағанда жанаманың оған сәйкес нүктесінің ординатасы қабылдайтын өсімше болып табылады. кесіндісі функция өсімшесінің екінші бөлігі, яғни жоғары ретті шектеусіз шама болады. Сонымен, дифференциалдың геометриялық мағынасы – қисыққа жүргізілетін жанаманың бұрыштық коэффициенті. функциясынын дифференциалданғанда туындысы шығады. Оны бірінші ретті туынды деп атайды. Бірінші ретті туындыны тағы да дифференциалдасақ, бірінші ретті туындының туындысын табамыз. Ол екінші ретті туынды деп аталып, екі штрих арқылы белгіленеді: . Үшінші, төртінші т.с.с. ретті туындылар да бола береді. Үшінші ретті туынды. Төртінші, бесінші т.с.с.ретті туындыларда штрих орнына рим цифлары немесе жақшаға алынған үнді цифлары жазылады. Мәселен: yVI – алтыншы ретті туынды, y(38) – 38-нші ретті туынды, yn – n-нші ретті туынды. Бұлар кейде былай да белгіленеді: оқылуы "дэ екінші игрек бөлінген дэ икс квадрат" т.с.с. Туындының ретін функцияның дәрежесімен шатастырмау керек. Олар екі түрлі ұғымға жатады. Екінші, үшінші ретті т.с.с. ретті туындылар жоғары ретті туындылар деп аталады. Жалпы түрде: Мысал 1. -тің жоғары ретті туындыларын табыңыз. yIV=0. Бұдан кейінгі туындылардың бәрі де нольге тең болады. Екінші ретті туындының механикалық мағынасы бар: егер функциясы қозғалыстың математикалық заңы болса, жолдың екінші ретті туындысы үдеуді өрнектейді. Сондықтан үдеу жылдамдықтың туындысы болып табылады. Мысал 2. , жол берілген. болғанда үдеуді табыңыз. Шешуі: -ке тең болады. болса, онда Жауабы: 2.2 Туындыны оқыту әдістемесі Қазіргі қазақ тіліндегі «жылдамдық», орыс тіліндегі «скорость», француз тіліндегі «витессе», ағылшын тіліндегі «спид», неміс тіліндегі «гешвиндигкайт» сөздері «тау», «тас», «су» сияқты ертеден келе жатқан ескі сөздер емес, бертін жасалған туынды сөздер. Итальян, поляк, үнді,араб, монғол т.б. тілдерде де солай. Дүниеде жылдамдық мағынасында қолданылатын термині жоқ тілдерде кездеседі. Жылдамдық – техниканың даму дәрежесінің ең негізгі көрсеткіштерінің бірі. Тоқу фабрикасындағы ұршық секундына 45 рет айналады. Реактивті ұшақ сағатына 2500 километр жер «қусырады». Жасанды спутник Жер шарын 88 минутта айналып шығады.... Жылдамдықты анықтайтын сандар фабриканы, ұшақты, спутникті, т.с.с. сипаттаумен қатар, соларды жасап шығарған елдер мен халықтардың ғылыми мен мәдениетін де сипаттайды. Ежелгі заман орта ғасырларда жылдамдық жөнінде айқын ұғым болмаған, жылдамдық көбінесе жол ұзындығымен, үдеумен шатастырылған. Мәселен,ғасырда жазылған кітаптардың бірінде: «Керуен Дунай өзенінен Сырдарияға дейін төрт ай жүреді» делінген. Мұнда тіпті жолдың ұзындығы да белгісіз. Дунай еуропаның жартысын шарлап келіп, Қара теңізге құяды. Орта Азия жерінің біразын суарып, Аралға құятын Сырдария да сондай. Қай қаладан қай қалаға шейін? Неше шақырым немесе фарсаң? Ол кезде уақытты өлшейтін маятникті немесе серіппелі сағаттар да болмаған. «Жылдамдық» термині Аристотель мен Архимедтің шығармаларында да кездеспейді. Бұл ұғым Винчи еңбектерінен басталды деуге болады. ұлы итальян ғалымы Леонардо да Винчи (1452-1519) әр түрлі машиналардың қозғалыстарын және құстардың ұшу мүмкіндіктерін зерттеген, ұшақ алғашқы проектісін жасаған. Алайда жылдамдықты механиканың негізгі ұғымдарының бірі ретінде ғылыми тұрғыдан алғанда алғаш рет тұжырымдаушы Галилей боды. Жылдамдық туралы есеп, жанама есебімен қатар, туынды ұғымын қалыптастырды. Дене бір қалыпты v жылдамдықпен қозғалса, t уақыт ішінде түзу сызықтың бойымен s=vt жол жүретіндігі мәлім. Бірақ дүниеде бір қалыпты түзу сызықты қозғалыс болмайды. Бір қалыпты түзу сызықты қозғалыс – есептерді оңайлату үшін қолданылатын шартты түрдегі теориялық ұғым. Кейде жылдамдығының өзгерісі өте аз шама болатын немесе өте аз уақыт ішінде болған қозғалысты, жуық түрде, бір қалыпты деп ұйғарып, есепті қарапайым жағдайға келтіруге болады. Көп жағдайда v орнына қозғалыстың орташа жылдамдығы алынады. 120 километр жолды 2 сағатта жүріп өткен машинаның орташа жылдамдығын «сағатына 60 километр» дейді. Орташа жылдамдық 60 км/сағ болғанымен, машина жолдың кейбір жерлерін сағатына 10, 30, 50, 80 километр жылдамдықпен жүріп өтуі мүмкін. Орташа жылдамдық механикалық қозғалыстар теориясында елеулі роль атқарады. Бірталай есептер сол арқылы шешіледі. Алайда оның қажетті мағлұматтарды бере алмайтын кезі де болады. Машина көпір үстінен құйғытып өтіп, қозғалыстың жол полициясы тағайындаған ережесін бұзды, көпірге зақым келді. Мектеп жанынан тежеусіз өтіп балаларды қағып кетті... Осындайда машинаның дәл көпірден өткен кездегі, мектеп жанынан өткен кездегі жылдамдықтарын білу қажет. Математика тілінен айтқанда уақыттың кез келген t кезіндегі жылдамдықты анықтау керек. Дененің жүріп өтетін s жолы қозғалыс болатын t уақытқа тәуелді келеді. Сондықтан жол уақыттың функцциясы болады: s=f(t). Бұл теңдік әдетте қозғалыстың математика заңы деп аталады. Дене әуелі t уақыт, содан кейін уақыт қозғалған болсын. Берілген математикалық заң бойынша ол t уақытта s, уақытта s жүреді. Сонда: , . Соңғы теңдікті өсімшесіне бөлеміз: Осы қатынастың болғандағы шегі қозғалыстың уақыт t болған кездегі жылдамдығы деп аталады. Ол v әрпімен белгіленеді (v – французша « » - «жылдамдық» деген сөздің бірінші әрпі). Егер айтылып отырған қатынастың тиянақты шегі болмаса, жылдамдық та болмайды. Сөйтіп, Мысал үшін, жоғарыдан құлаған дененің жылдамдығын қарастырайық. Бұл қозғалыстың Галилей тағайындаған заңы формуламен өрнектеледі, - ауырлық күшінің тұрақты үдеуі, s функциясы s(t) жолдың қысқаша жазылған түрі. Сонда: Демек, жоғарыдан құлаған дененің жылдамдығы уақытқа пропорционал болады. Бұл заңды да Галилей тағайындаған. Жанама мен жылдамдық жөніндегі есептер туынды ұғымына алып келді. Кейін бұлардан басқа да көптеген есептердің туынды арқылы шешілетіндігі анықталды. Мәселен, өткізгіштің көлденең қимасынан өтетін электр шамасының уақыт бойынша алынатын туындысы ток болады, жылу шамасының температура бойынша алынатын туындысы жылу сыйымдылық болады т.с.с. зерттей келгенде сан алуан мәселелердің кілті туындыда болып шықты. Сондықтан есептерді жеке-жеке қарастырмай, жанама есебі, жылдамдық есебі, ток есебі т.с.с. деп бөліп-жармай, туындыны жалпы түрде зерттеу қажет болды. Алдымен туындының жалпы анықтамасын тұжырымдап алайық. өсімшесінің өсімшесіне қатынасының, осы нольге ұмтылғандағы, шегі берілген функциясының х нүктесіндегі туындысы деп аталады. Анықтама бойынша: Әдетте бұл туындының немесе немесе деп белгіленетіндігі алдыңғы тақырыпта айтылған. Келтірілген анықтамадан туындыны табу үшін төмендегідей «төрт сатыға көтерілу» қажеттігі көрінеді. Бірінші саты. Тәуелсіз айнымалыға өсімше беріп, функцияның өскен мәнін табу керек: . Екінші саты. Функцияның өсімшесін табу керек: Үшінші саты. Функцияның өсімшесін тәуелсіз айнымалының өсімшесіне бөлу керек: Төртінші саты. өсімшесін нольге ұмтылтып, соңғы қатынастың шегін есептеу шығару керек, сол шек туынды болады. Әр түрлі функциялардың туындыларын есептеп шығарғанда, яғни функцияларды дифференциалдағанда, төмендегі алты ереже жиі қолданылады. Алты ереже мынандай түрде беріледі: I. Тұрақты шаманың туындысы нольге тең болады. Бір С тұрақты шаманы, жалпылық үшін, функция ретінде қарастырып, десек, оның «өскен» мәні бәрі бір болады. Бұдан . Сондықтан, қандай болса да, болғандықтан, мұны кейде былай жазады: II. Тұрақты көбейткішті туындының алдына шығарып жазуға болады. ал болса ( - тұрақты көбейткіш), болады. Шынында да: III. Алгебралық қосындының туындысы сол функциялардың туындыларының сәйкес алгебралық қосындысына тең болады. ал өздері х-ке тәуелді функциялары болсын. Сонда: IV. Екі функцияның көбейтіндісінің туындысын табу үшін бірінші функцияның туындысын екінші функцияның өзіне көбейтіп, содан соң екінші функцияның туындысын бірінші функцияның өзіне көбейтіп, шыққан екі көбейтіндінің қосындысын алу керек. ал болсын. Сонда: Енді теңдіктің екі жақ бөлігінен де шек аламыз. Соңғы мүшеден, болғанда, және демек, болады. Сондықтан Мұны былай да жазады: Көбейткіш функциялардың саны бірнешеу болғанда да осы ереже қолданылады: V. Екі функциядан құралған бөлшектің туындысын табу үшін алымындағы функцияның туындысын бөліміндегі функцияның өзіне көбейтіп, содан соң бөліміндегі функцияның туындысын алымындағы функцияның өзіне көбейтіп, алдыңғы көбейтіндіден соңғы көбейтіндіні шегеру керек, одан әрі осыдан шыққан айырманы бөліміндегі функцияның квадратына бөлу керек. болсын. Тәуелсіз айнымалыны өсімше қабылдағанда u мен v функциялары сәйкес және өсімшесін қабылдайды. Сонда: Теңдіктің екі жақ бөлігін де өсімшеге де бөлеміз: Шекке көшкенде бөліміндегі болады да, шығады. VI. Күрделі функцияларсының х бойынша туындысын табу үшін функциясының бойынша туындысын тауып, содан кейін функциясының х бойынша туындысын тауып, шыққан екі туындының көбейтіндісін алу керек. Мынадай теңбе-теңдік жазуға болады: Мұның оң жақ бөлігіндегі алымдарға пен мәндерін қойсақ, шығады. Шекке көшкенде: Соңғы формуланы кейде былай да жазады: онда төменгі көрсеткіштер туындының қай айнымалы бойынша шығаралатындығын аңғартады. Аралық функция бірнешеу болса да, осы тәсілмен табылады. Мәселен, , , болса, . Келтірілген алты ережені алғаш рет Ньютон мен Лейбниц тағайындаған. Ньютон – ғылым алыбы. Физика математикалық ғылымдарды жаңа сатыға көтерген адам. Ньютон заңдары, Ньютон теоремалары, Ньютон формулалары, Ньютон әдістері... Өлмес мұра, өшпес із қалдырған данышпан. Лейбниц дифференциалдық және интегралдық есептемелерді 1684 – 1686 жылдары жариялаған. Мысалдар қарастырайық. - кез келген нақты тұрақты сан . Мұны былай жазуға болады: . . деп белгісек, болғанда болып, соңғы шек болады. Сондықтан: . Дербес жағдайларда: , , , Егер болса, алтыншы ереже бойынша: . күрделі функция . Синустардың айырмасын көбейтінді түріне келтіріп аламыз: . Алтыншы ереже бойынша: . Мұнда бірінші көбейткіштің шегі , екінші көбейткіштің шегі 1, үшінші көбейткіштің шегі болады. Сондықтан: . болса, болады. Дәл осылай, болса, болса, болатындығы дәлелденеді. болса, . Бұл формуланы да жоғарыдай, «төрт саты» арқылы қорытып шығаруға болады. Бірақ тангенсті синустың косинусқа қатынасы ретінде қарастырып, бесінші ереже бойынша дифференциалдау оңай болады. . болатындықтан, соңғы теңдіктегі екінші көбейткіштің шегі болады ( екеуі де нольге ұмтылады). Сондықтан: . Соңғы функцияның туындысы өзіне тең болып шықты. Одан басқа, туындысы өзіне тең болатын функция кездеспейді. деп белгілесек, болғанда болады, формуласы бойынша болады. Сондықтан: Шектер теориясында дәлелденген сегіз формуланы еске ала отырып, «төрт саты» мен негізгі алты ереже бойынша көптеген функциялардың туындыларының формулаларын қорытып шығаруға болады. Олардың жиі қолданылатындары мыналар. , , , Бұл тізім туындылар таблицасы деп аталады. Ондағы алдыңғы 16 формуланы алғаш рет Лейбниц пен Ньютон, 17-формуланы Лейбниц пен Иоганн Бернилли қорытып шығарған. Тәжірибеде көптеген функциалардың туындыларын есептеп шығаруға тура келеді. Әдетте оларды өсімшелер мен шек арқылы, яғни «төрт саты» арқылы шығармайды, негізгі ережелер мен туындылар таблицасысы бойынша шығарады. Шек таблицадағы формулаларды тағайындау үшін қажет болған. Арифметикада көбейту таблицасы қандай роль атқаратын болса, дифференциалдық есептемеде туындылар таблицасы да сондай роль атқарады. Сондықтан оқушылар дифференциалдаудың алты ережесі мен туындылар таблицасын жатқа білулері керек. Мысал 3. функциясын дифференциалдап көрсетейік. Шешуі: үшінші ереже бойынша берілген функцияны құрастыратын төрт мүшенің әрқайсысының туындысын тауып, сол туындыларды тиісті таңбаларымен алып қосу керек. Бірінші ереже бойынша жалғыз тұрған тұрақты 11-дің туындысы нольге тең болады, қалған үшеуінікі нольден өзгеше. Екінші ереже бойынша – 5 -тің туындысын табу үшін, -тің туындысын тауып, оны – 5-ке көбейту керек. -тің туындысы таблицада жоқ. оны тапқанда ойлануға тура келеді. Егер болса, және деп жазуға болады. Сонда 4-формула бойынша және 7-формула бойынша ал алтыншы ереже бойынша яғни болады. Сөйтіп, . мүше – екі функцияның көбейтіндісі, . 2-формула бойынша , 6-формула бойынша . Сонда төртінші ереже бойынша: -ті деуге болады. 5-формула бойынша , 3-формула бойынша , ал алтыншы ереже бойынша , яғни болады. Демек, . Ақыры: шығады. Жауабы: 2.3 Туындыға қолданылатын теоремалар және туындының тәжірибеде қолданылуы Есептер шығарғанда екі функцияның көбейтіндісінің n-ші ретті туындысын табуға тура келеді. болса, болады. Бұл теңдік Лейбниц формуласы деп аталады, ол көбінесе математикалық индукция әдісімен дәлелденеді. Формуладағы коэффициенттері – Ньютон биномындағы терулер. Есте сақтау үшін бином жіктелуінің формуласын жазып, дәреже көрсеткіштерін туындының реті етіп, жақшаға алу керек және бірінші мүшеге ақырғы мүшеге қоса жазу керек. функциясының дифференциалы болатын мәлм. әдетте оны бірінші ретті дифференциал деп атайды. дифференциалын өзінен дифференциалын шығаруға болады. Бұл – екінші ретті дифференциал. Екінші ретті дифференциал деп белгіленеді, яғни: өрнек «дэ екі игрек» деп оқылады. Сол сияқты: . Бұлар – екінші ретті дифференциалдар. көбейтіндісін х бойынша дифференциалдағанда шама тұрақты көбейткіш ролінде болады, өйткені ол х-ке тәуелсіз. Сондықтан болады. Жалпы түрде: Әдетте орнына деп жазады. Бұл арада n – дәреже көрсеткіш. Графикте (2 сурет) функцияның ең үлкен мәнін кескіндейтін нүктенің көрші нүктелерінен жоғары («төбешікте») тұратыны, ал ең кіші мәнін кескіндейтін нүктенің көрші нүктелерінен төмен («шұқырда») тұратыны мәлім. Ондай нүктелерден өтетін жанамалар абсциссалар осіне параллель болады, яғни сондықтан айтылып отырған нүктелерде туынды нольге тең болады. Туындының бұл қасиеті былай айтылады: Егер интервалында үздіксіз функциясы осы интервалдың бір ішкі с нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса және функцияның с нүктесінде тиянақты туындысы болса, ол туынды нольге тең болады. (Ферма теоремасы). y 0 a c1 c2 b 2 сурет Егер дифференциалданатын функцияның графигі а мен b нүктелерінде абсциссалар осін қиып өтетін болса, осы аралықта оның ең кемінде бір жанамасы абсциссалар осіне параллель болады. Бұдан мынадай қорытынды шығады: сегментінде дифференциалданатын функциясы сегменттің ұштарында нольге айналатын болса, (3 сурет) яғни болса, берілген функцияның туындысы сегменттің ішкі нүктелерінде ең кемінде бір рет нольге айналады (Ролль теоремасы). a 0 bx (3 сурет) болмай, болса да ( - нольден өзгеше) теорема күшінде қалады. Мұны дәлелдеу үшін координаталар осьтерін параллель жылжытып, координаталар басын (0, ) нүктесіне көшіру керек. Аса маңызды теоремалардың бірі – Коши теоремасы. Ол былай тұжырымдалады: Егер және функциялары сегментінде үздіксіз болса және сегменттің ішкі нүктелерінің бәрінде де олардың сәйкес және туындылары болса, туындысы сегменттің ішкі нүктелерінің ещқайсысында нольге айналмаса, теңсіздіктерін қанағаттандыратын с нүктесі табылады, теңдігі орындалады. Теореманы дәлелдеу үшін берілген және функциялары арқылы төмендегідей көмекші функциясын құрастырамыз: . х орнына b мен а сандарын қойып есептесек, болып шығады (көмекші функция әдейі, осылай болатындай етіліп алынған). Сондықтан функциясына Ролль теоремасын қолдануға болады. функциясының туындысын табамыз: Ролль теоремасы бойынша интервалында бұл туындыны нольге айналдыратын ең кемінде бір с нүктесі болады, яғни . Сонда: . Бұдан: Теорема дәлелденді. Соңғы теңдік Коши формуласы деп аталады. Ол тәжірибеде жиі қолданылады. деп алсақ, болады да, Коши формуласы мына түрге келеді: Бұл теңдік Лагранж формуласы деп аталады. Формуланың мазмұны төмендегідей: Егер функциясы сегментінде үздіксіз болса және сегменттің ішкі нүктелерінің бәрінде де оның туындысы болса, теңсіздіктерін қанағаттандыратын бір с нүктесі табылады да, теңдігі орындалады (Лагранж теоремасы). Ағылшын математигі Брук Тейлор (1685 - 1731) мынадай формула қорытып шығарған: . Мұнда , болғанда Тейлор формуласы Лагранж формуласына айналады. Тейлор формуласы математиканың көптеген салаларында қолданылады. Берілген функцияны дифференциалдап, туындылары бойынша, оның экстремумы бар немесе жоқ екендігін, егер болса, қандай екендігін анықтауға болады. Ол жөнінде әр түрлі ережелер бар. Жиі қолданылатын ереже төмендегідей: нүктесінде функцияның бірінші ретті туындысы нольге тең, екінші ретті туындысы нольден өзгеше, яғни , болса, а нүктесінде функциясының экстремумы болады және екінші ретті туынды теріс сан болса, а нүктесіндегі экстремум максимум, оң сан болса, - минимум болады. Мысал 4. . Бірінші ретті туындыны нольге тең етіп жазғанда теңдеуі шығады. Одан: . Функцияда экстремум болса, тек осы нүктелерде ғана болады, басқа нүктелерден іздеудің қажеті жоқ. х- тің табылған мәндерін қойып, екінші ретті туындының мәнін есептеп шығарам . Сонда ереже бойынша, және нүктелерінде минимум, нүктесінде максимум болады. нүктесінде функцияның ..., туындыларының бәрі де нольге тең болып, туындысы нольден өзгеше болуы мүмкін. Мұндайда эксвтремум жөніндегі мәселе соңғы туынды бойынша шешіледі: нольден өзгеше - нші ретті туындыда тақ сан болса, яғни болса, нүктесінде экстремум мүлде болмайды, ал жұп сан болса, яғни болса, нүктесінде функцияның экстремумы болады және болғанда максимум, болғанда минимум болады. Бірнеше аргументі бар функциялардың да туындылары мен дифференциалдарын есептеп шығаруға болады. Мысалы, функциясын х бойынша бойыншы және бойынша жеке-жеке дифференциалдауға болады. Бұдан шығатын туындылар дербес туындылар деп аталады да, түрінде белгіленеді. тәуелсіз айнымалылардың дифференциалдары, функцияның дербес дифференциалдары болады. Бұлардың қосындысы бірінші ретті толық дифференциал деп аталады. Ол деп белгіленеді. Мұндай функцияларды дифференциалдағанда да туындылардың жоғарыда келтірілген таблицасы қолданылады, тек х бойынша дифференциалдағанда пен -ті тұрақты ролінде алу керек, өйткені пен -ке жөнінде де солай. Мысал 5. болса, , , , Туынды арқылы алгебралық және тригонометриялық теңдеулерді түрлендіруге, яғни өрнектерді көбейткіштерге жіктеуге болады. Мысалдар қарастырайық. Мысал 6. өрнегін көбейткіштерге жіктеңіз. Шешуі: с-ны айнымалы деп туындыны табамыз. Онда , деп алсақ , онда өрнегі берілген функцияның шешімі болады. Мысал 7. Теңсіздікті дәлелдеңдер: егер егер Дәлелдеуі: функциясын қарастырайық та бұл функцияның жағдайда өспелі болатындығын көрсетейік. Ол үшін функцияның туындысын тауып, оны түрлендірейік: себебі, функциясының туындысы оң болғандықтан, өспелі функция болады да, қарастырылатын теңсіздік ақиқат болады. |