Практика №1 1 курс 2 семестр БК. Методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш. Указание
![]()
|
Основы электростатики. Теорема Гаусса Цели работы: закрепить умения и навыки решения задач с использованием основного закона электростатики. Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, методические рекомендации по выполнению работы, линейка, карандаш. Указание: Практическая работа состоит из двух частей – теоритической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из двух и более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения. На выполнение практической работы отводится два академических часа. 1. Ознакомьтесь и повторите теоритические сведения, изученные на лекциях а так же материал, размещённый в ЭОС по ссылкам: https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301748 https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301864 https://edu.stankin.ru/mod/resource/view.php?id=301867 1. Теория. Основные понятия и формулы 3.1 Электростатика По закону Кулона сила электростатического взаимодействия между двумя заряженными телами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними, определяется формулой ![]() ![]() где q1 и q2 – электрические заряды тел, ![]() ![]() ![]() Напряженность электрического поля определяется формулой ![]() Где F – сила, действующая на заряд q. Напряженность поля точечного заряда ![]() Напряженность электрического поля нескольких зарядов (например, поле диполя) находится по правилу векторного сложения. ![]() По теореме Гаусса поток напряженности сквозь любую замкнутую поверхность ![]() где ![]() При помощи теоремы Гаусса можно найти напряженность электрического поля, образованного различными заряженными телами: А) напряженность поля, образованного бесконечно длинной нитью ![]() где τ – линейная плотность заряда на нити, r – расстояние от нити. Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии r от неё ![]() где α - угол между направлением нормали к нити и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концу нити. Б) напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной плоскостью ![]() где ![]() В) напряженность поля, образованного разноименно заряженными параллельными бесконечными плоскостями (поле плоского конденсатора) ![]() Г) напряженность поля, образованного заряженным шаром ![]() где q- заряд шара радиусом R, г – расстояние от центра шара до точки. Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единичный положительный заряд перенести из одной точки в другую: ![]() Потенциал поля точечного заряда ![]() где r – расстояние от заряда. Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением ![]() В случае однородного поля плоского конденсатора напряженность ![]() где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора, d – расстояние между ними. Потенциал уединенного проводника и его заряд связаны соотношением ![]() где С – емкость уединенного проводника. Емкость плоского конденсатора ![]() где S – площадь каждой пластины конденсатора. Емкость сферического конденсатора ![]() где r и R – радиусы внутренней и внешней сферы. В частном случае, когда R = ∞, ![]() - емкость уединенного шара. Емкость цилиндрического конденсатора ![]() где L – высота коаксиальных цилиндров, r и R – радиусы внутреннего и внешнего цилиндров. Емкость системы конденсаторов: - при параллельном соединении конденсаторов C = С1 + С2 + С3 + … - при последовательном соединении ![]() Энергия заряженного конденсатора может быть найдена по одной из следующих формул: ![]() ![]() ![]() В случае плоского конденсатора энергия ![]() где S – площадь каждой пластины конденсатора, ![]() Объемная плотность энергии электростатического поля: ![]() где D – электрическое смещение (D = ![]() Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора: ![]() 2 Примеры решения задач Задача на теорему Гаусса №1: напряженность поля плоскости УсловиеОпределите напряженность поля бесконечной заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда сигма. РешениеЛинии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены в обе стороны от неё. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр с основанием, параллельным плоскости: ![]() По теореме Гаусса: ![]() Поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь боковую поверхность цилиндра и потокам сквозь оба его основания. Поток сквозь боковую поверхность равен нулю, так как линии напряженности параллельны ей: ![]() Согласно теореме Гаусса: ![]() Отсюда: ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() Задача на теорему Гаусса №3: напряженность электрического поля бесконечной нити Условие Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда лямбда. ![]() ![]() Ознакомьтесь с разбором и ходом решения задач. Решите подобную задачу для своего варианта. Пример 1. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью δ = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см. Р е ш е н и е. Значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле F =qЕ, (1) где Е - напряженность поля. Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра ![]() где τ – линейная плотность заряда. Выразим линейную платность τ через поверхностную плотность δ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: q = δS = δ2πRl. Приравняв правые части этих формул и сократив полученное равенство на l, найдем τ = 2πRδ. С учетом этого (2) примет вид Е=Rδ/(εо r). Подставив выражение Е в (1), получим F = qδR/εо r. Произведем вычисления: ![]() Сила F сонаправлена с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) перпендикулярна поверхности цилиндра. Таблица 1 – Варианты заданий для решения Пример№1
Пример 2. По тонкому кольцу размещён равномерно заряд q =40 нКл с линейной плотностью τ = 50нКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей да оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса. Р е ш е н и е. Совместим координатную. плоскость х0у с плоскостью кольца, а ось 0z - с осью кольца (рис. 4). Н ![]() ![]() где к - радиус-вектор, направленный от элемента dl к т. А. Рис. 4 Разложим вектор dE на две составляющие: dЕ1 , перпендикулярную плоскости кольца (сонаправленную с осью 0z), и Е2 , параллельную плоскости кольца (плоскости х0у), т.е. dE = dE1 + dE2. Напряженность электрического поля в т. А найдем интегрированием. ![]() где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dq и dq’(dq = dq’), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы dE2 и dE2’ в точке А равны по и противоположны по направлений: dE2= - dE2’. Поэтому векторная (интеграл) ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() Из соотношения q=2πRτ определим радиус кольца: R = q/ (2πτ). Тогда ![]() Модуль напряженности |E| = 4 πτ2 / ![]() Проворим, дает ли правая часть полученного равенства единицу напряженности (В/м): ![]() Выразим физические величины, входящие в (1), в единицах СИ (τ = 5 · 10-8 Кл/м, q = 4 · 10 -8 Кл, εо = 8,84 · 10 -12 Ф/м) и произведем вычисления: ![]() Таблица 2 – Варианты заданий для решения Пример№2
Пример 3. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным. Р е ш е н и е. Заряд q пластины находится - в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 7) F ![]() Так как Е=δ/(2εо) = q / (2εoS), где δ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид F = q2 / (2εoS). Рис. 7 Произведем вычисления: ![]() Таблица 3 – Варианты заданий для решения Пример№3
Вопросы к практическому занятию: Напишите конспективно ответы на вопросы: Вопрос 1. Сформулируйте теорему Гаусса. Вопрос 2. Что такое поток вектора напряженности? Вопрос 3. Что такое силовые линии напряженности? Вопрос 4. Где начинаются и где заканчиваются силовые линии электростатического поля? Вопрос 5. Верно ли утверждение: теорема Гаусса справедлива только для неподвижных зарядов. |