метод. постр. графиков. Методические указания по выполнению расчетнографической работы раздела высшей математики Математический анализ
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РЫБНОГО ХОЗЯЙСТВА УКРАИНЫ Керченский государственный морской технологический университет Кафедра высшей математики и физики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания по выполнению расчетно-графической работы раздела высшей математики «Математический анализ» ( исследование функций и построение графиков, построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов) для студентов дневной формы обучения специальности «Эксплуатация судовых энергетических установок» направления 6.070104 «Морской и речной транспорт» Керчь, 2009 Автор: Драчева И.А., ассистент кафедры высшей математики и физики КГМТУ Рецензент: Моисеенко С.С., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики и физики КГМТУ, протокол № от 2009 г. Методические указания рассмотрены и рекомендованы к утверждению на заседании методической комиссии технологического факультета КГМТУ протокол № от2009 г. Методические указания утверждены на заседании методического совета КГМТУ, протокол №___ от _________2009 г. © Керченский государственный морской технологический университет, 2009 Содержание
Введение Расчетно-графическая работа для студентов 1-го курса (I семестр 2-я четверть) специальности «Судовые энергетические установки» выполняется по следующим разделам математического анализа: - приложение производной, исследование функций и построение графиков; - функции нескольких переменных, построение эмпирической формулы методом наименьших квадратов. В первом задании надо с помощью производной исследовать функции и поострить их графики, во втором задании методом наименьших квадратов составить эмпирическую формулу, выражающую зависимость между двумя величинами х и y . В данных методических указаниях в краткой форме изложен теоретический материал по данным темам, разбираются решения подобных задач РГР. Методические указания должны помочь студентам в самостоятельном выполнении расчетно-графической работы, а также в подготовке к модульному и семестровому контролю. Задания по РГР выдаются преподавателем, ведущим практические занятия по высшей математике. Расчетно-графическая работа должна быть выполнена студентом в отдельной тетради и сдана преподавателю на проверку. Работа выполняется аккуратно с подробным объяснением решения задачи. Студент должен защитить свою работу, решив подобную задачу или ответив на вопросы преподавателя по РГР. Методические указания могут использоваться студентами других специальностей, как морского факультета, так и технологического. 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ. Определение функции. Основные характеристики функций. Если каждому значению переменной хиз множества Х по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное вполне определенное значение y, то переменную y называют функцией от х. Записывают  или  . Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y. Множество Х называется областью определения функции и обозначается  . Множество всех  называется множеством значений функции и обозначается  . х – независимая переменная величина или аргумент, y – функция или зависимая переменная.Функция  , определенная на множестве  называется четной, если для любого  выполняется условие  и  ; нечетной, если для любого выполняется условие и  . График четной функции симметричен относительно оси Оy, нечетной – относительно начала координат. Например:  - четные функции; а  - нечетные функции;  - функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.Функция называется периодической на множестве D, если существует такое число Т>0, что при каждом значении  и  . При этом число Т называется периодом функции. Функция  называется возрастающей в интервале  , если для любых двух точек  и  из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  , если  , функция называется неубывающей.Иными словами – значения возрастающей функции увеличиваются одновременно со значением аргумента. Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек и из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство  , если  , функция называется невозрастающей.Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции называются монотонными. А возрастающие и убывающие – строго монотонными. Функция, заданная графиком на рис. 1, убывает на интервале (-2; 1), не убывает на интервале (1; 3), возрастает на интервале (3; 5).  Признаки монотонности функции. Если функция дифференцируема на интервале и  во всех точках интервала, то функция возрастает на этом интервале.Если функция дифференцируема на интервале и  во всех точках интервала, то функция убывает на этом интервале.Если  ( ) для всех точек интервала , то функция не убывает (соответственно, не возрастает) на этом интервале, т.е. для любых двух точек из интервала из неравенства  следует  (соответственно,  ). 1.3 Экстремумы функции. Точка  называется точкой максимума функции , если значение  является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.Точка называется точкой минимума функции , если значение  является наименьшим в некоторой окрестности этой точки.Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (рис. 2).  Теорема (Ферма – необходимое условие экстремума). Если - точка экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю  , либо не существует. Точки области определения функции  , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек. Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная  меняет знак с (+) на (-), то точка является точкой максимума; если с (-) на (+), то точкой минимума; если знака не меняет, то экстремума нет.Второе достаточное условие экстремума. Пусть в точке производная равна нулю  , а вторая производная  . Тогда, если  , то - точка минимума; если  , то - точка максимума.1.4 Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.3).График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4).  Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Пусть функция имеет вторую производную на интервале . Тогда, если  на этом интервале, то функция выпукла, если  , то график функции вогнутый на этом интервале.Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба (рис. 5).Необходимое условие точки перегиба. Если – точка перегиба функции , то в этой точке вторая производная функции либо равна нулю ( ), либо не существует.Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 –го рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек 2- го рода. Первое достаточное условие точки перегиба. Пусть функция имеет первую производную в точке и вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может самой точки). Тогда если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то - точка перегиба.  Второе достаточное условие точки перегиба. Пусть в точке функция имеет производные до третьего порядка включительно. Тогда если , а , то – точка перегиба этой функции. |