Нелинейные регрессии, Эксперт построения моделей. Модель Нелинейные модели Нелинейный мнк
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
Многие связи по своей природе либо являются строго линейными, либо их можно привести к линейным. Связи, которые при помощи соответствующих преобразований могут быть переведены в линейную связь, называются линейными по существу. Возможность перевода в линейную модель нужно использовать всегда, так как в этом случае параметры регрессии вычисляются непосредственно, а не определяются с помощью итераций. Пусть, например, функция потребления описывается следующей формулой:  ,где C – совокупное потребление, Y – совокупный доход, , , - параметры модели. Эту связь нельзя перевести в линейную форму. Воспользуемся пакетом Gretl, в котором реализован метод непосредственного определения параметров нелинейной регрессии. Пример. Рассмотрим годовые данные о совокупном доходе и потреблении в США, 1950-1985 годы. ▼ Откроем в Gretl файл greene11_3 по вкладке Greene. Для удобства переменным дадим русские комментарии и сохраним созданный набор данных под тем же именем (рис. 13.1).  Рис. 13.1. Набор данных greene11_3.gdt Оценим параметры модели нелинейной регрессии, воспользовавшись командой Модель – Нелинейные модели – Нелинейный МНК. В открывшемся окне «нелинейный МНК» введите строки, как показано на рис.  Рис. Заполненное диалоговое окно: нелинейный МНК Здесь в первых трех строках «genr» указаны начальные значения параметров модели: alpha, beta и gamma. Следующая строка определяет функцию регрессии, а последние три строки «deriv» предоставляют производные этой функции относительно каждого из параметров по очереди. Результаты оценки уравнения регрессии методом нелинейного МНК представлены на рис.  Рис. Результаты оценивания параметров модели Получили следующую функцию потребления:  Стандартная ошибка модели 15,98 ▲ Пример. В качестве примера нелинейной по существу связи можно привести динамику роста населения США:
В таблице приведена численность населения y (миллионах) и дополнительно количество декад t(десятилетий), прошедших с 1790 года. Зависимость численности населения y от времени t часто описывается при помощи следующей формулы:  Эту связь нельзя перевести в линейную форму. Она включает три параметра: а, b и с, которые должны быть определены при помощи подходящего метода.  Эту связь нельзя перевести в линейную форму. Она включает три параметра: , и , которые должны быть определены при помощи подходящего метода. 1-ый способ. Воспользуемся статистическим пакетом SPSS, в котором реализован метод непосредственного определения параметров нелинейной регрессии. ▼ После запуска программы SPSS в редакторе данных вставляем исходные данные, скопированные из Excel. Присваиваем имя переменным, указываем тип, ширину, и метки  Выберем в верхней строке меню Анализ →Регрессия →Нелинейная. Поместим переменную «численность населения» в поле для зависимых переменных и введем выражение, задающую модель  Щелкнем по кнопке Параметры в левой части окна. Получим диалоговое окно, в котором можно задавать начальные значения параметров модели  Щёлкнем на кнопке Сохранить и отметим нужные типы сохраняемых факторов (Предсказанные значения). При этом в исходных данных появится новая переменная PRED, которая содержит вычисленные (предсказанные) значения численности населения каждого года.  В следующей таблице приводятся оценки параметров модели вместе с соответствующей стандартной ошибкой и доверительным интервалом
Получили следующую функцию численности населения y от времени t  .На рис. показаны предсказанные и наблюдаемые значения численности населения США от времени  Рис. Предсказанные и наблюдаемые значения ▲ 2-ый способ. Воспользуемся пакетом Gretl, в котором реализован метод непосредственного определения параметров нелинейной регрессии. ▼ Импортируя исходные данные из Excel в Gretl, получим отредактированный файл, который сохраним как examyt.gdt (рис. ХХ)  Рис. хх. Основное окно с переменными Оценим параметры модели нелинейной регрессии, воспользовавшись командой Модель – Нелинейные модели – Нелинейный МНК. В открывшемся окне «нелинейный МНК» введите строки, как показано на рис.  Рис. Заполненное диалоговое окно: нелинейный МНК Здесь в первых трех строках «genr» указаны начальные значения параметров модели: alpha, beta и gamma. Следующая строка определяет функцию регрессии, а последние три строки «deriv» предоставляют производные этой функции относительно каждого из параметров по очереди. Результаты оценки уравнения регрессии методом нелинейного МНК представлены на рис.  Рис. Результаты оценивания параметров модели Получили следующую функцию численности населения y от времени t  .Стандартная ошибка модели 4,733. Расчетные и наблюдаемые значения для данной зависимости представлены в табл. и на графике рис. . Табл. 7.1   Рис. График наблюдаемых и расчетных значений ▲ Производственная функция Кобба-Дугласа Макроэкономическая производственная функция – это статистически значимая связь между объемом выпуска Y, капитальными затратами K и затратами труда L. Для моделирования и решения задач как на макро-, так и на микроэкономическом уровне часто используют производственную функцию Кобба – Дугласа (КД):  , где A, , - параметры модели, причем A > 0, 0 < < 1, 0 < < 1. Свойства производственной функции Кобба – Дугласа: 1) эластичность выпуска продукции. Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно α и β:  ,  .Это означает, что увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на α %, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на β%; 2) эффект от масштаба производства. При росте затрат каждого из факторов K, L в  раз выпуск возрастает в  раз. Это означает следующее:• если α + β > 1, то функция КД имеет возрастающую отдачу от масштаба производства; • если α + β < 1, то функция КД имеет убывающую отдачу от масштаба производства; • если α + β = 1, то функция КД имеет постоянную отдачу от масштаба производства; 3) прогнозируемые доли производственных факторов. В рыночной экономике оценки α и β интерпретируются как прогнозируемые доли дохода, полученные соответственно за счет капитала и труда. Производственная функция КД нелинейно относительно параметров , . Для оценки параметров производственной функции КД с помощью МНК необходимо прологарифмировать уравнение : По рядам данных Y, K, Lрассчитываются ряды их логарифмов lnY, lnK, lnL, и для них оценивается уравнение регрессии. Пример. Известны данные (усл. ед.) об объеме производства Y, капитальных затрат K и затрат труда L некоторой страны за 12 лет. По выборочным данным оценим параметры , производственной функции КД и сделаем вывод. ▼ Рассмотрим два способа решения примера. Способ 1. Использование замены переменной. Представим исходные и преобразованные данные в виде таблицы:
Оцененное преобразованное уравнение регрессии есть  , R2 = 0,969.Переходя к исходным переменным, получим следующую производственную функцию  .Оценки α = 0,149; β = 0,922. Это означает, что увеличение затрат капитала на 1% приводит к росту выпуска продукции на 0,15%, а увеличение затрат труда на 1% - к росту выпуска на 0,92%. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||