Экономические задачи. Общая схема решения экономических задач
 Скачать 490.58 Kb.
|
|
Секция: Математика Краснодарский край, г. Сочи МОБУ СОШ № 13, ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Научный руководитель: Ильина Зоя Николаевна, учитель математики МОБУ СОШ №13 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………….….3 ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА.…… …………… …..….…….…5 ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ…………………..……….………..……………6 2.1.Определение процента …………………………………………….......…………6 2.2.Проценты и дроби..…………………………………………………….…….……6 2.3.Три основные задачи на дроби..…………………………………….……………8 ГЛАВА 3.СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ. …………………………….…….…9 3.1.Задача на смеси…………………………………………………..……………… 9 3.2.Задача на работу………………………………………………………..…………9 3.3.Задача на движение……………………………………………………....………10 ГЛАВА 4. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ……………………12 Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат.………………12 Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого……………....18 Общая схема решения задач……………………………………………………..25 ГЛАВА 5: ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ…….…………………….28 ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………...…………….31 ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………….…34 ВВЕДЕНИЕ В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений. Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни. Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость. . Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. На данный момент я являюсь ученицей 11 класса. Как и многим другим учащимся, мне предстоит сдать ЕГЭ. Ещё с 10 класса я была ознакомлена с заданиями данного экзамена. Среди них оказались задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос: каким образом подойти к решению таких задач? Проблема: практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы. Гипотеза: существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала. Работа посвящена исследованию экономических задач и выводу единой схемы для их решения. Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях. Цель: научиться понимать и использовать информацию, представленную в процентах; обобщить методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности; сформировать навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели; облегчить работу по подбору задач экономического содержания Задачи: изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач; познакомиться с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике; углубить знания по теме проценты; рассмотреть различные способы решения задач; выявить структуру экономических задач на проценты; провести анализ решений; обобщить и систематизировать способы решения задач. Объект исследования: «Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности. Предмет исследования: Методы решения задач на проценты повышенного уровня сложности. Методы: поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета; исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами; практический метод решения задач; анализ полученных в ходе исследования данных. ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА Процент[1] (лат. per cent «на сотню; сотая») – сотая часть числа, обозначаемся знаком «%». Используют как обозначение соотношения доли чего-либо к целому. В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе - особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх, которое широко применялось индийскими математиками. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях. В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек Наибольшую популярность проценты приобрели в банковской сфере. Прообразом современных банковских учреждений стали банки, которые основались в Венеции с 1171 года. В России такие банки появились в 1774 году. Эти банки давали деньги в долг королям, купцам, ремесленникам, они финансировали дальние путешествия, строительство крупных сооружений и т.п. Как и менялы в древности, банки брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата традиционно выражается в виде процентов к величине, выданной в долг сумме денег. ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ 2.1.Определение процента Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом “%”. В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые “промилле” ( от латинского pro mille – “с тысячи” ), обозначаемые ‰, по аналогии процентов. Проценты -это “международный язык”: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту. В школьном курсе математики мы знакомимся с процентами в 5 классе, и уже практически с ними не расстаемся. 2.2.Проценты и дроби С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, надо разделить число на 100. Например: 2% = 2:100 = 0,02. Чтобы перевести дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,14 = 0,14*100% = 14%. Итак, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, а три пятых — 60%. Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит решение многих задач.  Действия с процентами. Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами. Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа. Например: 1% + 37% − 25% = 38% − 25% = 13% 70% − (42% + 3%) = 70% − 45% = 25% В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов. Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.
Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот. Рассуждая таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза. Уменьшение числа также может быть выражено в процентах. Пусть x — 100%. Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x. Вначале найдём, сколько процентов от x осталось. 100% − 80% = 20% 20% осталось от x. Обозначим остаток x за y. Составим пропорцию. По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x. x / y = 100% / 20% x / y = 5 x = 5y Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз. Поняв связь между процентами и “разами”, без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать, о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже. Значение фраз “увеличить и уменьшить на ... процентов”
2.3.Три основные задачи на проценты. Различают три типа задач на проценты:
ГЛАВА 3. СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ. Не случайно были упомянуты текстовые задачи ЕГЭ по математике под № 11, т.к. решая их, я имею уже сформировавшуюся схему и алгоритм решения. Рассмотрим следующие задачи. 3.1.Задача на смеси. [2] Смешали 4 л 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение:
Концентрация(3р-ра) =  = 0, 21 *100% = 21%Ответ: 21% Заметим. Что при решении задачи мы не вышли за пределы таблицы. 3.2.Задача на работу. [2] Первая труба пропускает на 5 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объёмом 500 л она заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба? Решение: Пусть х л/мин пропускает первая труба, тогда занесем данные в таблицу:
Так как первая труба, бак объёмом 500 л заполняет на 5 мин дольше, чем вторая труба составим и решим уравнение.  -  = 5 500(х+5) – 500х = 5х(х+5) 500х + 2500 – 500х = 5х2 + 25х - 5х2 – 25х + 2500 = 0 х2 + 5х – 500 = 0 По теореме Виета: х1 = 20 х2 = -25 – не удовлетворяет условию задачи Ответ: 20 л/мин 3.3.Задача на движение. [2] Из двух городов, расстояние между которыми равно 390 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Найдите скорость первого автомобиля, если скорость второго равна 60 км/ч и автомобили встретились через 3 ч после выезда. Решение: Пусть х км/ч-скорость первого автомобиля, тогда занесем данные в таблицу
U сближения = 60+х км/ч, Так как автомобили встретились через 3 часа, составим и решим уравнение.  = 3180+3х = 390 3х = 210 х = 70 Ответ: 70 км/ч Проанализируем решения задач. Все таблицы составлены таким образом, что элементы третьего столбика мы получаем умножением элементов первого и второго столбиков. Элементы первого столбика путем деления элементов третьего столбика на второй, а элементы второго столбика путем деления элементов первого столбика на первый. При этом в третьем столбике записываем в задачах на смеси и сплавы « m вещества», в задачах на движение «S (путь)», в задачах на работу «А (работа)». Именно так записываем по той причине, что элементы трех столбиков во всех задачах связаны между собой формулами. В задачах на смеси:    В задачах на работу:  В задачах на движение:  Все три типа задач решаем по одной схеме. |
(попало в цель) 