Задание по питону. ЗАДАНИЕ2. Общие категории чисел Натуральные числа
 Скачать 155.58 Kb.
|
|
Общие категории чисел 1. Натуральные числа N . Это числа 1, 2, 3, 4, ... . 2. Целые числа Z . Это числа 0,±1,±2,±3,... . То есть это натуральные числа, им противоположные числа и ноль. 3. Рациональные числа Q . Это числа, которые можно представить в виде дроби mn , где m - целое число, n - натуральное. Например, 3 , 23 , − 52 4. Действительные числа R . Например, 3 , 6–√ , 0 , −2–√ , 34 5. Иррациональные числа. Действительные числа, которые не являются рациональными. Например, 5–√ 6. Комплексные числа C . Могут быть записаны в виде a+i⋅b , где i - мнимая единица и i 2 =−1 . Любое действительное число является комплексным. 7. Положительные числа. Числа, которые больше нуля. Например, 4 , 5–√ , 213 . Но не 0 и не −5 8. Неотрицательные числа. Числа, которые не меньше нуля. Например, 6 , 0 , 32 . Но не −3 9. Отрицательные числа. Числа, которые меньше нуля. Например, −4 , −5–√ . Но не 0 и не 5 10. Неположительные числа. Числа, которые не больше нуля. Например, 0 , −3–√ . Но не 6 , не 7–√ Виды натуральных чисел 1. Четные числа. Натуральные числа, которые делятся на 2. Например, 2, 4, 6, 8, ... 2. Нечетные числа. Натуральные числа, которые не являются четными. Например, 1, 3, 5, 7, ... 3. Простые числа P . Натуральные числа, которые имеют ровно два различных делителя. Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, .... ( еще простые числа ). Число 1 не является простым. Простых чисел бесконечно много. 4. Составные числа. Натуральные числа, большие единицы, которые не являются простыми числами. Первые составные числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26. Признаки делимости 1. На 2: последняя цифра числа четная. Например, 2098 делится на 2, так как 8 делится на 2. Число 1993 не делится на 2, так как 3 не делится на 2. 2. На 3: сумма цифр числа делится на 3. Например, 123 делится на 3, так как 1+2+3=6 и 6 делится на 3. Число 451 не делится на 3, так как 4+5+1=10 и 10 не делится на 3. 3. На 4: две последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 4. Например, 123416 делится на 4, так как 16 делится на 4. 4. На 5: последняя цифра числа 0 или 5. 5. На 6: число должно делиться на 3 и на 2, а это можно проверить с помощью признаков делимости на 2 и на 3. Например, 11142 делится на 6, так как 1+1+1+4+2=9 и последняя цифра, равная 2, четная. 6. На 8: три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8. Например, 12345112 делится на 8, так как 112 делится на 8. 7. На 9: сумма цифр числа делится на 9. Например, 5517 делится на 9, так как 5+5+1+7=18 и 18 делится на 9. 8. На 11: сумма цифр, стоящих на четных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на нечетных местах, на число, которое делится на 11. Например, 72457 делится на 11, так как 2+5=7, 7+4+7=18 и разность 18-7=11 делится на 11. Число 284857 не делится на 11, так как 8+8+7=23, 2+4+5=11 и разность 23-11=12 не делится на 11. 9. На 25: число оканчивается на 00, 25, 50 или 75. ВАРИАНТЫ 1. Факториалом числа натурального числа n называется произведение чисел от 1 до n включительно. Факториалом нуля называют единицу. Написать программу нахождения факториала данного числа. Реализовать через рекурсию и без рекурсии. Вывести на экран факториалы от десяти первых чисел. 2. Написать программу нахождения факториала данного числа с проверкой на максимально возможное значение, которое может быть найдено. В случае переполнения памяти выдавать сообщение о невозможности нахождения факториала. 3. Число размещений без повторений A kn и число сочетаний без повторений C kn могут быть найдены соответственно по формулам A kn =n!(n−k)! и C kn =n!k!(n−k)! Напишите программу для нахождения данных величин при известных n и k 4. Последовательность 1,1,2,3,5,8,... состоит из чисел Фибоначчи. Каждый элемент, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Найдите n -е число Фибоначчи. Реализовать вариант с рекурсией и вариант без рекурсии. Вывести на экран n строк из символов "*". Количество символов в строке с номером k равно k -ому числу Фибоначчи. Вывести на экран все числа Фибоначчи, меньшие данного числа. 5. Найти приблизительное значения чисел e и π с помощью формул e=1+11!+12!+13!+... и π4=1−13+15−17+19−... 6. Найти квадрат данного натурального числа, если квадрат любого натурального числа n равен сумме n первых нечетных чисел. Составить таблицу квадратов натуральных чисел от 1 до 10000 Куб любого натурального числа n равен сумме n нечетных чисел, следующих по порядку за числами, сумма которых составила куб числа n−1 . С помощью этого факта составьте таблицу кубов натуральных чисел от 1 до 100 7. Найдите y=x−−√ m , где m - натуральное число, x≥0 методом итерации y n =1m((m−1)y n−1 +xy m−1n−1 ) Проверить результат вторым способом нахождения x−−√ m =elnxm 8. Написать программу нахождения целой части и остатка кубического корня из натурального числа (целочисленное извлечение кубического корня). Обобщить на корень произвольной натуральной степени, большей двух. 9. Написать несколько вариантов целочисленного извлечения квадратного корня из натурального числа. Сравнить способы по времени выполнения, количеству выполненных операций и диапазону применения. 10. Арифметический квадрат. Заполнить квадратную матрицу n x n так, чтобы все числа первого столбца и первой строки равны 1, а каждое из оставшихся чисел равно сумме верхнего и левого соседей. Вывести на экран матрицу данного размера. 11. Треугольник Паскаля. Вывести на экран треугольник Паскаля из n строк. Придумать структуру данных для хранения треугольника Паскаля (например, стандартная матрица, что, однако, не экономно). Реализовать показ треугольника по данным из этой структуры. 12. Даны три числа. Определите, можно ли из отрезков с такими длинами составить треугольник. Определите вид треугольника (прямоугольный, тупоугольный, остроугольный), если он существует. Даны числа min и max Найдите все треугольники с целочисленными длинами сторон от min до max включительно. Напишите программу, которая определяет, можно ли из четырех отрезков с данными длинами a , b , c и d составить прямоугольник. 13. Пифагоровы числа. Три натуральных числа a , b и c образуют пифагорову тройку, если c 2 =a 2 +b 2 Пифагорова тройка называется основной, если наибольший общий делитель ее чисел равен единице. Например, 3, 4, 5 - основная тройка, 6, 8, 10 - производная тройка. Найдите все основные пифагоровы тройки, числа в которых не превышают данное число max . Напишите программу нахождения всех решений на отрезке [2;100] уравнения x 2 +y 2 =z n , n - известное натуральное число. Треугольники, у которых длины сторон и площадь являются натуральными числами, называются треугольниками Герона. Например, площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15 равна 84. Найдите n треугольников Герона. Найдите n треугольников Герона, длины сторон каждого из которых являются последовательными числами (например, 13, 14, 15). Найдите n треугольников Герона, у которых площадь равна периметру. 14. Дан прямоугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами. Найдите количество квадратов (длины сторон каждого квадрата целые), на которые можно разрезать данный прямоугольник при условии, что при разрезании каждый раз отрезается квадрат наибольшей площади со стороной, общей стороне текущего прямоугольника. 15. Найти все прямоугольники с целыми длинами сторон данной целочисленной площади. Например, для площади, равной 12, подходят три прямоугольника 1 х 12, 2 х 6, 3 х 4. Напишите программу для нахождения всех различных прямоугольных параллелепипедов, объем которых равен V , а ребра выражены натуральными числами. Параллелепипеды, получающиеся один из другого, если поменять ребра местами, считаются одинаковыми. ВАРИАНТЫ 1. Л. Кэрролл в своем дневнике писал, что он тщетно трудился, пытаясь найти хотя бы три прямоугольных треугольника равной площади, у которых длины сторон были бы выражены натуральными числами. Составьте программу для решения этой задачи, если известно, что такие треугольники существуют. Напишите программу, которая находит все прямоугольные треугольники (длины стороны выражаются натуральными числами), площадь которых не превышает данного числа S 2. Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел не единственным способом. 3. Напишите программу, которая определяет, сколько можно купить быков, коров и телят, платя за быка 10 рублей, за корову - 5 рублей, а за теленка - 50 копеек, если на 100 рублей надо купить 100 голов скота? 4. Коту снится, что его окружили тринадцать мышей. Двенадцать из них серые, а одна белая. С какой мыши ему начать счет, если он съедает каждую тринадцатую, а белую мышь должен съесть последней? Обобщить задачу на случай n мышей, и счет ведется до m мыши. 5. Аня нарвала яблок и поровну раздала своим сестрам Оле, Маше и Тане, а что осталось, съела. Оля свои яблоки поделила между тремя сестрами, а что осталось, съела. То же самое сделали Маша и Таня. Сколько яблок оказалось у каждой сестры? Составьте программу для решения задачи о дележе в общем случае, то есть для дележа яблок между n лицами ( n — входное данное). Дележ осуществляется в соответствии с теми же правилами, что и дележ между четырьмя лицами. Укажите число лиц (максимальное число лиц определите при помощи константы), а количество яблок у каждого из них сохраните в массиве. 6. Найдите наибольший общий делитель двух натуральных чисел. Реализуйте два варианта: рекурсивный и без рекурсии. Обобщите задачу для n натуральных чисел. 7. Определите, являются ли данные два натуральных числа взаимно простыми. Составьте функцию, которая проверяла бы, являются ли три числа взаимно простыми. 8. Найдите наименьшее общее кратное данных двух натуральных чисел. Исходные данные — последовательность натуральных чисел. В конце последовательности — нуль. Составьте программу для нахождения наименьшего общего кратного всех членов ряда. Кратным ряда считается наименьшее натуральное число, которое делится без остатка на все члены ряда. 9. Составьте функцию, значением которой было бы наименьшее общее кратное всех натуральных чисел от 1 до n включительно ( n — параметр функции). 10. Составьте программу для нахождения максимального вмещающегося в память числа (если такого ограничения нет, то наибольшего числа, которое меньше 1 000 000 000), которое без остатка делится на как можно большее количество следующих друг за другом натуральных чисел. 11. Дан прямоугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами a и b Из одной вершины прямоугольника проводится прямая, которая составляет угол в 45 градусов со сторонами прямоугольника. Дойдя до стороны прямоугольника, прямая, не пересекая ее, изламывается под углом 90 градусов. Дойдя до другой стороны, она снова изламывается под углом 90 градусов и так далее, пока не дойдет до какой-либо из вершин прямоугольника. Определите, из скольких отрезков будет состоят такая ломаная. 12. Найдите все делители данного натурального числа, а также их количество и сумму. 13. Определить, является ли данное натуральное число простым. Дано простое число. Составьте функцию, которая будет находить следующее за ним простое число (то есть ближайшее простое число, большее данного,— параметр функции). Например, если дано число 11, то значение функции должно быть 13, если дано 23, то значение 29. Если входное данное не является простым числом, то есть не выполняется условие, то значение функции считайте равным нулю. 14. Найдите первые n чисел Мерсенна. 15. Найдите каноническое разложение данного натурального числа. Составьте программу для проверки, можно ли заданное натуральное число представить в виде: а) произведения двух простых чисел; б) произведения трех простых чисел; в) квадрата какого-либо простого числа; г) куба какого-либо простого числа. ВАРИАНТЫ 1. Напишите программу, которая генерируется множество первых n случайных чисел с помощью решета Эратосфена. 2. Два нечетных простых числа, отличающиеся на 2, называются близнецами. Например, числа 5 и 7. Напишите программу, которая будет находить все числа-близнецы на отрезке [2; 1000]. 3. Однажды математик С. Улам разделил лист бумаги на клетки и, написав в центре 1, начал писать по спирали против часовой стрелки все натуральные числа подряд, выделяя простые числа. Скоро простые числа выстроились в довольно-таки закономерном порядке, образуя интересный узор. Этот узор позже стал объектом исследования и получил название скатерть Улама. Составьте программу, демонстрирующую скатерть Улама размером 100 х 100 клеток (вместо простых чисел выводите звездочку "*"). 4. Совершенным числом называется число, равное сумме своих делителей, меньших его самого. Например, 28=1+2+4+7+14 Определите, является ли данное натуральное число совершенным. Найдите все совершенные числа на данном отрезке (возможно, стоит применить идею решета Эратосфена). 5. Дружественными числами называются два натуральных числа, таких, что каждое из них равно сумме всех делителей другого числа, меньших этого другого числа. Например, 220 и 284. Найдите на данном отрезке все дружественные числа. Напишите программу, находящую на данном отрезке число с наибольшим количеством делителей. 6. Найдите количество и сумму цифр в данном натуральном числе. Дано натуральное число. Поменяйте в нем порядок цифр на обратный. Числа, одинаково читающиеся слева направо и справа налево, называются палиндромами. Например, 1223221. Напишите программу нахождения всех палиндромов на данном отрезке. Числа, запись которых состоит из двух одинаковых последовательностей цифр, называются симметричными. Например, 357357 или 17421742. Определите, является ли данное натуральное число симметричным. Если сложить все цифры какого-либо натурального числа, затем — все цифры найденной суммы и так далее, то в результате получим однозначное число (цифру), которое называется цифровым корнем данного числа. Например, цифровой корень числа 561 равен 3 (5 + 6+1 — 12, 1+2 = 3). Найдите числовой корень данного натурального числа. 7. Автоморфным называется натуральное число, которое равно числу, которое образуют последние цифры его квадрата. Например, 5 , так как 5 2 =25 , или 25 , так как 25 2 =625 . Найдите все автоморфные числа на данном отрезке. Решите аналогичную задачу для третьей степени числа. 8. В книге n страниц. Найдите количество цифр, необходимое для нумерации всех страниц такой книге. Решите обратную задачу: зная количество понадобившихся для нумерации цифр, определить количество страниц в книге. 9. Номера троллейбусных билетов представляют собой шестизначные числа. Счастливым считается тот билет, у которого сумма первых цифр равна сумме трех последних цифр. Например, билет 627 294 считается счастливым, так как 6 + 2 + 7 = 2 + 9 + 4=15. Найдите все номера счастливых билетов, такие, что из них можно извлечь натуральный корень какой-либо (превышающей 1) степени. Например, 720801−−−−−−√=849 . Составьте программу для нахождения всех, номеров счастливых билетов, у которых сумма первых (последних) трех цифр, будучи возведенной в какую-либо степень, равна номеру счастливого билета. 10. Существуют натуральные числа, равные сумме кубов своих цифр. Таково, например, число 370, ибо 3 3 +7 3 +0 3 =370 Найдите все такие чисел. Составьте программу, которая будет находить все натуральные числа, равные кубу суммы своих Цифр. 11. Число, состоящее из n ( n>1 ) цифр, называется числом Армстронга, если сумма его цифр, возведенных в n -ю степень, равна самому этому числу. Например, числами Армстронга являются 153 и 1634, так как 153=1 3 +5 3 +3 3 и 1634=1 4 +6 4 +3 4 +4 4 Составим программу, которая будет находить все n -значные числа Армстронга ( n < 10). 12. Найдите все n -значные ( 2 13. Б. Кордемский указывает одно интересное число 145, которое равно сумме факториалов своих цифр: 145=1!+4!+5! Он пишет, что неизвестно, есть ли еще такие числа, удовлетворяющие названному условию. Помогите найти все такие числа. 14. Найдите наименьшее число, оканчивающееся на 5, такое, что, если перенести его последнюю цифру в начало, то число увеличится в пять раз. Составьте программу, в которой входное данное — натуральное число n из отрезка [2; 9], а результат — наименьшее число, у которого первая цифра — n и из которого, перенеся первую цифру в конец, получается новое число, в n раз меньшее, нежели искомое. 15. Дано число в двоичной системе. Определите это число в десятичной системе. Составьте программу, которая получает два целых числа, записанных в двоичной системе, складывает их и результат показывает также в двоичной системе. |