биби. Определение интегралов зависящих от параметра
 Скачать 206.9 Kb.
|
|
Определение интегралов зависящих от параметра Пусть функция  определена в прямоугольнике  Пусть при каждом закрепленном  из  существует  . Ясно, что каждому значению из будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке .Введем обозначение  (1)Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции  . Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообразные применения в особенности при вычислении интегралов. Допустим еще, что при каждом закрепленном  из  существует  . Тогда этот интервал будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначим ее через  , так что ( )О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция  и пусть  - любое из . Тогда.  (1)Отметим, что существует для каждого значения из , так как  при любом закрепленном   . В частности существует  .Возьмем  - любое. Выберем и закрепим любое  .По условию , поэтому равномерно непрерывна в  , и, следовательно, взятому отвечает  , зависящее только от , такое, что для любых двух точек  из , для которых  , оказывается  .Положим  , где - любое, но такое, что  , ,  , где - любое из  . Тогда  для любого  , если  Имеем:  Итак, любому отвечает такое, что как только , , так сейчас же  . Последнее означает, что  .Совершенно аналогично доказывается утверждение: Если  и если  - любое из , то  Несобственные интегралы зависящие от параметра Определение равномерной сходимости несобственных интегралов Пусть функция задана в области  . Пусть при каждом закрепленном из несобственный интеграл  сходится. Тогда будет представлять собою функцию переменной (параметра)  , определенную в промежутке (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через ).Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее: при каждом закрепленном из   Следовательно,  А это означает, что для каждого из по любому можно указать число  такое, что как только  , так же  .Важно заметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, то есть  зависит от и от ( .Если для любого можно указать число , зависящее только от (то есть одно и то же для всех из ), такое что как только , то  для всех из , то несобственный интеграл  называется равномерно сходящимся относительно параметра на .Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция определена в области  (  конечные числа).Пусть при каждом из несобственный интеграл сходится. Ясно, что тогда будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке .Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее. При каждом закрепленном из  (  ). То есть для каждого из по любому можно указать число такое, что как только  , так сейчас же  .И здесь важно отметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, т.е.  зависит и от , и от  .Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что как только то сейчас же сразу для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на .О непрерывности интеграла как функции параметра Теорема: Пусть 1) функция непрерывна в области  ,2)  сходится равномерно относительно на .Тогда функция непрерывна на .Доказательство. Возьмем любое из и запишем его. Возьмем любое .По условию сходится равномерно относительно на , поэтому отвечает число , зависящее только от , такое, что при всяком  , удовлетворяющем условию , сразу для всех  будет  Выберем и закрепим какое-нибудь , удовлетворяющем условию .Положив  , неравенство (1) сразу для всех можно записать в виде:  Но  - собственный интеграл, зависящий от параметра . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что  , а значит, по теореме Кантора, будет равномерно непрерывна на .Следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек и  из , для которых  , будет  .Для разности значений функции в точках  и имеем: В частности, полагая  ,  , где - любое, и , будем иметь  . Последнее означает, что функция  непрерывна в точке . Так как точка - любая из , то заключаем, что  . |