биби. Определение интегралов зависящих от параметра
 Скачать 206.9 Kb.
|
|
Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция) Так называется интеграл вида  Этот интеграл собственный, если одновременно  . Если же хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то интеграл (3) – несобственный.Покажем, что интеграл (3) сходится, если одновременно  и  .Подинтегральная функция (3) имеет две особые точки:  и  . Поэтому, представляем (3) в виде: Рассмотрим интеграл  . Он – несобственный при  . Особая точка . Запишем подынтегральную функцию в виде  и введем функцию  . Так как   при любом  , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно. Но  сходится лишь тогда, когда  , то есть когда  . Следовательно,  сходится при любом  и лишь при . Рассмотрим  . Он – несобственный при . Особая точка . Подынтегральная функция  .Положим  . Имеем  при любом . Значит  и  сходятся или расходятся одновременно. Но  сходится лишь тогда, когда  , то есть когда . Следовательно,  сходится при любом  и лишь при .Вывод:  сходится, если одновременно и . Значит,  - область определения функции  .Установим некоторые свойства Бета-функции .Положим в (1)  . Тогда  Видим, что Бета-функция – симметричная функция. Пусть  . Применяя формулу интегрирования по частям, находим  Так как  , то будем иметь откуда  Так как функция - симметричная, то при  будет справедлива формула  Формулы (5) и (6) можно применить для «уменьшения» аргументов, чтобы сделать их, например, меньше единицы. Если  , где  - натуральное, больше единицы, то применяя формулу (5) повторно, получим:  Но  . Поэтому Если еще и  , где  - натуральное, то будем иметь Получим для функции другое аналитическое выражение. Для этого в (2) сделаем замену, положив  и  . Тогда  ,  и, следовательно,  Отметим без доказательства, что если  и если еще  ( ), то  Соотношение (8) будет установлено позже (в теории комплексного переменного). Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция) Так называется интеграл вида  Покажем, что интервал (9) сходится при . Для этого представим его в виде Рассмотрим  . Отметим, что - собственный интеграл, если  , и несобственный, если  (особая точка ). Подынтегральная функция  . Положим  . Имеем  (конечный, не равный 0). Значит,  и  сходятся или расходятся одновременно. Но  сходится лишь тогда, когда  , то есть когда .Рассмотрим  Так при любом  , то существует число  такое, что как только  , так же будет, например,  . Но тогда при будет  при любом . Известно, что  сходится. Значит, и  сходится при любом и несобственный интеграл .Общий вывод: интеграл (1) сходится, если , и расходится, если  . Областью определения функции  является промежуток  .Установим некоторые свойства функции  .1.  Это следует из выражения (1) для .2. Рассмотрим произведение  . Имеем: Применяя формулу интегрирования по частям, получим:  откуда  Равенство (10) выражает так называемое основное свойство Гамма-функции. Пользуясь (10), получим при натуральном и положительном   Таким образом, значение Гама-функции от аргумента  , большего единицы, можно выразить через значение Гамма-функции от аргумента , меньшего единицы. Поэтому таблица значений Гамма-функции обычно дается лишь для значений аргумента между нулем и единицей.В частности, если в формуле (11) взять  и принять во внимание, что  то получим  Таким образом, на Гамма-функции можно смотреть как на обобщение понятия факториала натурального числа: Гамма-функция является продолжением функции  , определенной только для целых положительных  , на всю полуось вещественных чисел.Покажем, что между Бета-функцией и Гамма-функцией существует следующая связь:  Для этого рассмотрим  Сделаем в интеграле замену переменной, положив  , где  - произвольное положительное число. Тогда  , откуда  Умножим обе части последнего равенства на  и проигнорируем по  : Но  . Следовательно, предыдущее соотношение может быть записано в виде В повторном интеграле, стоящем в первой части, переменим порядок интегрирования. Здесь следует отметить, что (при определенных условиях) имеет смысл перестановка двух интегралов, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток. Проверять истинность такой перестановки в случае, когда оба интеграла берутся по бесконечному промежутку, значительно сложнее. Поменяв порядок интегрирования получим:  Во внутреннем интеграле делаем замену  : откуда  В частности,  . Если  , то получаем  Формула (13) носит название формулы дополнения. Пусть  . Из формулы (13) находим  , следовательно, Пользуясь соотношениями (10) и (13), получаем для любого   Функция имеет в интервале  производные всех порядков, причем  Установим существование первой производной функции и равенство Возьмем любую точкуa  . Всегда можно указать промежуток   такой, что будет  . Имеем:1)  и  непрерывны в области  .2)  сходится в промежутке  .3) Покажем, что  сходится равномерно относительно  на промежутке .Имеем  .Рассмотрим  .Так как  ,  , то   , ибо  для |