Определение интегралов зависящих от параметра
Пусть функция определена в прямоугольнике Пусть при каждом закрепленном из существует . Ясно, что каждому значению из будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке .
Введем обозначение
(1)
Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообразные применения в особенности при вычислении интегралов.
Допустим еще, что при каждом закрепленном из существует . Тогда этот интервал будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначим ее через , так что
( )
О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла
Теорема. Пусть функция и пусть - любое из . Тогда.
(1)
Отметим, что существует для каждого значения из , так как при любом закрепленном . В частности существует .
Возьмем - любое. Выберем и закрепим любое .
По условию , поэтому равномерно непрерывна в , и, следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек из , для которых , оказывается .
Положим , где - любое, но такое, что , , , где - любое из . Тогда для любого , если
Имеем:
Итак, любому отвечает такое, что как только , , так сейчас же . Последнее означает, что .
Совершенно аналогично доказывается утверждение: Если и если - любое из , то
Несобственные интегралы зависящие от параметра
Определение равномерной сходимости несобственных интегралов
Пусть функция задана в области . Пусть при каждом закрепленном из несобственный интеграл сходится. Тогда будет представлять собою функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через ).
Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее: при каждом закрепленном из
Следовательно,
А это означает, что для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так же .
Важно заметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, то есть зависит от и от ( .
Если для любого можно указать число , зависящее только от (то есть одно и то же для всех из ), такое что как только , то для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на .
Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция определена в области ( конечные числа).
Пусть при каждом из несобственный интеграл сходится. Ясно, что тогда будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке .
Утверждение, что несобственный интеграл сходится при каждом из , означает следующее. При каждом закрепленном из
( ). То есть для каждого из по любому можно указать число такое, что как только , так сейчас же .
И здесь важно отметить, что число выбирается по , и для каждого из оно будет своим, т.е. зависит и от , и от .
Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что как только то сейчас же сразу для всех из , то несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра на .
О непрерывности интеграла как функции параметра
Теорема: Пусть
1) функция непрерывна в области ,
2) сходится равномерно относительно на .
Тогда функция непрерывна на .
Доказательство. Возьмем любое из и запишем его. Возьмем любое .
По условию сходится равномерно относительно на , поэтому отвечает число , зависящее только от , такое, что при всяком , удовлетворяющем условию , сразу для всех будет
Выберем и закрепим какое-нибудь , удовлетворяющем условию .
Положив , неравенство (1) сразу для всех можно записать в виде:
Но - собственный интеграл, зависящий от параметра . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что , а значит, по теореме Кантора, будет равномерно непрерывна на .
Следовательно, взятому отвечает , зависящее только от , такое, что для любых двух точек и из , для которых , будет .
Для разности значений функции в точках и имеем:
В частности, полагая , , где - любое, и , будем иметь . Последнее означает, что функция непрерывна в точке . Так как точка - любая из , то заключаем, что .
|