Математическая статистика. Определитель 2 (1 1(2) 5)1 (3 1(2) 4)3 (3 51 4) 44 Заменим 1ый столбец матрицы а на вектор результата В
 Скачать 1.06 Mb.
|
|
Задачи №1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений одним из трех способов: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.  А) Запишем систему в виде: BT = (15,16,1) Определитель: ∆ = 2 • (1 • 1-(-2) • 5)-1 • (3 • 1-(-2) • 4)+3 • (3 • 5-1 • 4) = 44 Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 15 • (1 • 1-(-2) • 5)-16 • (3 • 1-(-2) • 4)+1 • (3 • 5-1 • 4) = 0 Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • (16 • 1-1 • 5)-1 • (15 • 1-1 • 4)+3 • (15 • 5-16 • 4) = 44 Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • (1 • 1-(-2) • 16)-1 • (3 • 1-(-2) • 15)+3 • (3 • 16-1 • 15) = 132 Выпишем отдельно найденные переменные Х Проверка. 2•0+3•1+4•3 = 15 1•0+1•1+5•3 = 16 3•0-2•1+1•3 = 1 Б) метод обратной матрицы Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(15,16,1) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=2•(1•1-(-2•5))-1•(3•1-(-2•4))+3•(3•5-1•4)=44 Итак, определитель 44 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: Тогда: где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=(1•1-5•(-2))=11 ∆1,2=-(3•1-4•(-2))=-11 ∆1,3=(3•5-4•1)=11 ∆2,1=-(1•1-5•3)=14 ∆2,2=(2•1-4•3)=-10 ∆2,3=-(2•5-4•1)=-6 ∆3,1=(1•(-2)-1•3)=-5 ∆3,2=-(2•(-2)-3•3)=13 ∆3,3=(2•1-3•1)=-1 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B XT=(0,1,3) x1=0 / 44=0 x2=44 / 44=1 x3=132 / 44=3 Проверка. 2•0+3•1+4•3=15 1•0+1•1+5•3=16 3•0+-2•1+1•3=1 В) Гаусса Запишем систему в виде расширенной матрицы: Для удобства вычислений поменяем строки местами: Работаем со столбцом №1 Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 2 = -1/2) и добавим к 3-ой:
Умножим 1-ую строку на (k = -2 / 3 = -2/3) и добавим к 2-ой:
Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ую строку на (k = 1/2 / 13/3 = 3/26) и добавим к 3-ой:
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали: Теперь исходную систему можно записать как: x1 = 1/3 - ( - 2/3x2 + 1/3x3) x2 = 43/13 - (10/13x3) x3 = 3 Из 3-ой строки выражаем x3 Из 2-ой строки выражаем x2 Из 1-ой строки выражаем x1 14. Построить прямую  . Определить ее угловой коэффициент. Составить уравнения нескольких прямых, параллельных ей. Записать уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат. Коэффициенты А, В, С заданы в таблице:
12х-3y+9=0  3Y=12x+9 Y=4x+3 -A/B=-12/(-3)=4 угловой коэффициент
Прямые параллельные y=4x-5, y=4x Прямые перпендикулярные данной y=-1/4x 25 Вычислить пределы: а)  |