Основные понятия математической логики
 Скачать 2.32 Mb.
|
|
© К. Поляков, 2009-2021 15 (повышенный уровень, время – 3 мин)Тема: Основные понятия математической логики. Что проверяется: Знание основных понятий и законов математической логики 1.5.1. Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания. 1.1.7. Умение вычислять логическое значение сложного высказывания по известным значениям элементарных высказываний. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (,,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает и . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение). В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (, ,¬), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи. Что нужно знать: условные обозначения логических операций ¬ A,  не A (отрицание, инверсия)A B,  A и B (логическое умножение, конъюнкция)A B,  A или B (логическое сложение, дизъюнкция)A → B импликация (следование) таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика») операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»: A → B = ¬ A B или в других обозначениях A → B =  если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация» иногда полезны формулы де Моргана1: ¬ (A B) = ¬ A ¬ B  ¬ (A B) = ¬ A ¬ B  для упрощения выражений можно использовать формулы  (т.к.  ) (т.к.  )некоторые свойства импликации   Связь логики и теории множеств: пересечение множеств соответствует умножению логических величин, а объединение – логическому сложению; пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, оно играет роль нуля в теории множеств; универсальное множество – это множество, содержащее все возможные элементы заданного типа (например, все целые числа), оно играет роль логической единицы: для любого множества целых чисел X справедливы равенства X + I = I и X · I = X (для простоты мы используем знаки сложения и умножения вместо знаков пересечения и объединения множеств) дополнение  множества X – это разность между универсальным множеством I и множеством X (например, для целых чисел – все целые числа, не входящие в X)пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A + X = I; в этом случае множество A должно включать дополнение , то есть  (или «по-простому» можно записать  ), то есть  пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство  , в этом случае множество  должно включать дополнение , то есть  ; отсюда  , то есть  |