отчет. Отчет о практической работе Математическая обработка результатов наблюдений при экспоненциальном законе распределения
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет» Кафедра «Технологические машины и оборудование» Отчет о практической работе «Математическая обработка результатов наблюдений при экспоненциальном законе распределения» Студент гр. БМР 19-01 А.А. Петров Доцент каф. ТМО А.Х. Габбасова Уфа 2021 Цель. Для возможности прогнозирования надежности объекта выбрать закон распределения при заданных значениях наработки до отказа ряда аналогичных объектов. Покажем обработку результатов наблюдений для определения оценок числовых характеристик и вида закона распределения случайных величин хi на примере наработки на отказ насоса, перекачивающего горячую кислоту. В результате наблюдений получено сто случайных значений (n = 100) времени безотказной работы насоса хi = ti(ч), которые приведены таблице 1. Таблица 1 - Случайные значения времени безотказной работы насоса t, ч
Приведенный в таблице 1 экспериментальный статистический материал для придания ему наглядности и компактности целесообразно представить в виде статистического (вариационного) ряда – по возрастанию. В множестве данных находится минимальный член ряда - 1 ч и максимальный - 370 ч. Размах ряда составляет, ч tmax - tmin = 370 – 1 = 369. Весь диапазон значений случайной величины ti (n = 100) разбивается на интервалы. Для удобства расчетов интервалы целесообразно принимать равными. Примерная величина интервала tопределяется по формуле t =  . (1) .Если при выбранных по формуле (1) равных интервалах количество значений случайной величины в интервале оказывается меньше 10 (таблица 2, столбец 4), то принимаются интервалы различной длины (таблица 2, столбец 2, столбец 3). Количество интервалов рекомендуется брать от 7 до 15. Большое число интервалов принимается для весьма обширного и довольно однородного статистического материала. Число интервалов статистического распределения в примереk = 10. Для каждого интервала проведем подсчеты и представим их в таблице 2. Таблица 2 - Обработка статистического ряда
В таблице 2 приведены следующие результаты расчетов: В колонке 1 даны номера разрядов разбивки интервала варьирования. В колонке 2 - границы каждого интервала, причем условимся, что каждый предыдущий интервал содержит конечную точку, а каждый последующий не содержит точки начала. В колонке 3 показана числовая величина размаха интервала t. В колонке 4 - количество значений случайной величины (из таблицы 1), попавших в интервал, т. е. абсолютная частота ni . В колонке 5 подсчитана относительная частота (частность), или эмпирическая вероятность Рi = ni / n, (2) где ni / n - накопленная относительная частота всех интервалов должна быть равна единице, что служит проверкой правильности вычисления частоты для каждого интервала. В примере n = 100. В колонке 6 отмечены координаты ti (серед.) - середины каждого интервала из колонки 2. В колонке 7 приведены произведения значений из колонок 5 и 6 (Pi · ti), которые в сумме дают координату центра распределения, т.е. статистическое среднее (математическое ожидание) M(t) (Pi · ti) = M(t) = 75 (ч). В колонке 8 дана накопленная частота (ni / n), или функция распределенияF*(t). Определяется по данным колонки 5 (складываются значения текущего и предыдущих интервалов). В колонке 9 - эмпирическая плотность вероятности ni / (nt), или ƒ*(t). Определяется по данным колонки 3 и колонки 5. В колонке 10 указано произведение Pi [ti – M(t)]2, служащее для определения статистической дисперсии D(t) D(t) = (Pi[ti – M(t)]2) = (Pi[ti – 75]2) = 6456 (ч2). Среднеквадратическим отклонением (t) будет положительное значение корня квадратного из дисперсии (t) =  =  = 80 (ч). (3)Коэффициент вариации определяется как V (t) =  . (4)Часто в статистических исследованиях используют следующие характеристики: - среднеквадратическая ошибка определения среднего арифметического (среднеквадратическая ошибка определения математического ожидания) M(t) =  ; (5)- среднеквадратическая ошибка определения среднеквадратического отклонения (t) =  (6)Тогда, округляя значения отклонений, получим M(t) = 75 ± 8 (ч). На рисунке 1 для построения гистограммы по оси абсцисс t откладываются интервалы ti (см. таблицу 2, колонка 2) случайной величины ti и на каждом из интервалов строится прямоугольник с площадью, равной частоте появления случайной величины в данном интервале. Высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам и равны эмпирической плотности вероятности [ni/ (nti)] (см. таблицу 2, данные колонки 9) для каждого интервала. На рисунке 1 представлена точечная гистограмма распределения, где значения статистической вероятности отложены от середины каждого интервала. Исходя из характера гистограммы, можно предположить, что исследуемая случайная величина распределена по экспоненциальному закону. Об этом свидетельствует также почти полное совпадение по величине математического ожидания M(t) = 75 ч и среднеквадратического отклонения (t) = 80 ч случайной величины t(коэффициент вариации V 1). Выравнивающий график функции ƒ(t) строим по данным таблицы 3 (колонка 5).  Рисунок 1 – Гистограмма наработки на отказ и выравнивающая кривая Приняв в качестве математического ожидания наработки на отказ его оценку (статистическое среднее) M(t) = 75 ч, можно записать ƒ(t) = ·  , или ƒ(t) = ·exp(-·ti). (7)Поскольку при экспоненциальном законе распределения = 1 / M(t) = const, то ƒ(t) = ·exp(-·ti) = 0,013·е-0,013·t , (8) где = 1 / M(t) = 1 / 75 = 0,013. В таблице 3 приведены следующие результаты расчетов: В колонке 2 значение ti (гран.)границы интервалов из колонки 2 таблицы 2. В колонке 3 значения ·ti . В колонке 4 функции (е - · t) можно определить, используя таблицу е -х приложения А. Та6лица 3 - Теоретические значения вероятностей
В колонке 5 приведены результаты расчета значений плотности вероятности ƒ(t)на границах интервалов, полученные по формуле (8) с использованием функции (е - · t)i(таблица 3, колонка 4). На гистограмме (рисунок 1) построена выравнивающая кривая распределения, представляющая собой график функции ƒ(t), которая, сохраняя в основном существенные особенности статистического распределения, свободна от случайных неправильностей хода гистограммы. При подборе теоретической кривой распределения между ней и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Они могут объясняться случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом опытных данных, или являться существенными - связанными с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данные распределения. Установить это можно с помощью критерия согласия Пирсона 2 2 =  , (9)гдеk- число интервалов статистического распределения, в примереk = 10; ni - количество значений случайной величины в каждом интервале (см. таблицу 2, колонка 4); п - общее число наблюдаемых значений случайной величины, в примере п = 100;  - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал (таблица 3, колонка 6). В колонке 6 таблицы 3 приведены значения вероятностей попадания случайной величины в i-й интервал . Они численно равны приращению функции распределения на интервале (от предыдущих значений колонки 4 вычитаем текущее значение) ) (10)или = [(е - · t)i – 1] – [(е - · t)i ].В колонке 7 рассчитаны значения п∙ , где n = 100.В колонке 8 - количество значений случайной величины, попавших в интервал, т. е. абсолютная частота ni (из колонки 4 таблицы 2). В колонке 9, так как для интервала 0-10 абсолютная частота ni= 15 (см. таблицу 3, колонка 4), а значение nP´(ti)=12,2 (см. таблицу 3, колонка 7), то распределение 2= [ni – nP´(ti)]2/ nP´(ti) = (15 - 12,2)2 / 12,2 = 0,643. и так далее проводим расчет в колонке 9. Распределение 2зависит от параметра R, называемого числом «степеней свободы». Число «степеней свободы» R равно числу интервалов kза вычетом числа независимых условий (связей) S, наложенных на частоты ni / n R = k - S.(11) Число связей S для экспоненциального закона распределения случайной величины S = 2, для нормального S = 3. По специальной таблице (приложение Б), можно для полученного значения 2и определенного числа «степеней свободы» Rнайти Р - вероятность того, что величина, распределенная по закону 2, превзойдет это значение. При этом, если получаемая вероятность Р больше 0,3 - 0,4, обычно признают, что экспериментальные данные не противоречат принятому теоретическому закону распределения случайной величины. В примере 2 = 6,463 (колонка 9 таблицы 3) и число степеней свободы R= 10 - 2 = 8. По таблице в приложении Б для значений 2 = 6,463 и R = 8 находим P=0,6. К наиболее часто употребляемым критериям согласия наряду с критерием «хи-квадрат» относится также критерий Колмогорова D. B качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями Колмогоров рассматривает максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(t) и соответствующей теоретической функцией распределения F(t) D = max| F*(t) – F(t)|. (12) Величина Dнаходится из графиков F*(t) и F(t). На рисунке 2 приведены графики статистической и теоретической (экспоненциальной) функций распределения для рассматриваемого примера. Для построения интегральной статистической функции распределения F*(t) используется накопленная частота ni / n(cм. таблицу 2, колонка 8). В колонке 10 таблицы 3 для построения теоретической функции распределения F(t) (экспоненциальной) воспользуемся выражением для этой функции по данным таблицы 3, колонки4 F(t) = 1 – е - ·t = 1 – e - 0,013·t.  Рисунок 2 - Графики статистической F*(t) и теоретической F(t) функций распределения Из рисунка 2 и из сравнения данных колонки 8 таблицы 2 и колонки 10 таблицы 3: D = | F*(10) – F(10)| = |0,15 – 0,122| = 0,028; D = | F*(20) – F(20)| = |0,29 – 0,230| = 0,060; D = | F*(30) – F(30)| = |0,40 – 0,323| = 0,077 = Dmax; D = | F*(50) – F(50)| = |0,55 – 0,478| = 0,072; D = | F*(80) – F(80)| = |0,69 – 0,647| = 0,043; D = | F*(110) – F(110)| = |0,76 – 0,761| = 0,001; D = | F*(150) – F(150)| = |0,84 – 0,858| = 0,018; D = | F*(190) – F(190)| = |0,89 – 0,915| = 0,025; D = | F*(250) – F(250)| = |0,95 – 0,961| = 0,011; D = | F*(370) – F(370)| = |1,00 – 0,992| = 0,008, – видно, что максимальная разница значений F*(ti) иF(ti) наблюдается при ti =30 ч. При этом критерий Колмагорова Dmax составляет 0,077. Далее определяется величина *=D  ,* = 0,077·  = 0,77.По приложению В находится вероятность Р(*) Р(*) = Р(0,77) = 0,544. Вывод. Вероятность Р(*) = 0,544не является малой, таким образом, гипотеза об экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы насоса подтверждается также и критерием Колмогорова. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
