ТПР. макаров_дз_3. Отчет по домашней работе No 3 дисциплины Системный анализ и теория принятия решений

• Название: Отчет по домашней работе No 3 дисциплины Системный анализ и теория принятия решений
• Дата: 29.11.2022
• Размер: 1.91 Mb.
• Имя файла: макаров_дз_3.pdf
• Тип: Отчет; #818750

Министерство образования и науки Российской Федерации
Российский государственный университет нефти и газа
(национальный исследовательский университет) имени И.М. Губкина
Кафедра Автоматизированных систем управления
Отчет по домашней работе No 3 дисциплины
Системный анализ и теория принятия решений
Моделирование функционирования производственной системы
на базе Марковских случайных процессов
Выполнил: студент группы АС-19-05 _________ Макаров А. В.
Проверил(а): д.т.н., Профессор ___________ Степин Ю.П.
2022 г.

Постановка задачи:
1. Самостоятельно (под контролем преподавателя) содержательно определить моделируемый бизнес-процесс.
2. Для утвержденного бизнес-процесса:
- составить граф состояний;
- матрицы: вероятностей переходов и интенсивностей переходов (для однородного и неоднородного процессов; численные значения матриц задать самостоятельно)
3. Составить соответствующие системы уравнений Колмогорова-Чепмена
(для дискретного и непрерывного времени).
4. Рассчитать вероятности пребывания моделируемой системы в своих состояниях (считая процесс однородным) как для дискретного, так и непрерывного времени; в нестационарном и стационарном режимах функционирования.
Для полученных решений построить графики.

Выполнение работы:
Сформулируем бизнес-модель:
Программный комплекс по на предприятие состоит из множества программных модулей. Раз в день производится тестирование каждого из модулей.
Модуль может находиться в следующих состояниях:
1. Модуль исправен
2. В модуле обнаружен баг, модуль вышел из строя
3. Программный модуль отправлен на доработку
4. В модуле обнаружена критическая ошибка, модуль подлежит замене
5. Исправленный модуль проходит процесс тестирования
6. Модуль исправлен и ожидает ввода в программный комплекс
Граф состояний для дискретной модели
Граф состояний для непрерывной модели

Составим матрицы вероятностей и интенсивностей переходов для
однородного процесса
Матрица вероятностей
Вершины
1 2
3 4
5 6
1
0,83 0,17 0
0 0
0
2
0 0,10 0,80 0,1 0
0
3
0 0
0,3 0,05 0,65 0
4
0 0
0 0,2 0,8 0
5
0 0
0 0
0,7 0,3
6
0,9 0
0 0
0 0,1
Матрица интенсивностей переходов
Вершины
1
2
3
4
5
6
1 0
0,5 0
0 0
0 2
0 0
1 3
0 0
3 0
0 0
2 1
0 4
0 0
0 0
5 0
5 0
0 0
0 0
1 6
3 0
0 0
0 0
Составим матрицу вероятностей перехода для неоднородного процесса
В
1
2
3
4
5
6
В
1
2
3
4
5
6
1
0,83 0,17 0
0 0
0
1
0,78 0,22 0
0 0
0
2
0 0,10 0,80 0,10 0
0
2
0 0,14 0,77 0,09 0
0
3
0 0
0,30 0,05 0,65 0
3
0 0
0,27 0,13 0,60 0
4
0 0
0 0,2 0,80 0
4
0 0
0 0,25 0,75 0
5
0 0
0 0
0,70 0,30
5
0 0
0 0
0,65 0,35
6
0,90 0
0 0
0 0,10
6
0,85 0
0 0
0 0,15
В
1
2
3
4
5
6
В
1
2
3
4
5
6
1
0,73 0,27 0
0 0
0
1
0,68 0,32 0
0 0
0
2
0 0,06 0,74 0,20 0
0
2
0 0,04 0,91 0,01 0
0
3
0 0
0,24 0,21 0,55 0
3
0 0
0,21 0,09 0,70 0
4
0 0
0 0,30 0,70 0
4
0 0
0 0,35 0,65 0
5
0 0
0 0
0,60 0,40
5
0 0
0 0
0,55 0,45
6
0,80 0
0 0
0 0,20
6
0,75 0
0 0
0 0,25

Составим систему уравнений Колмогорова-Чепмена для дискретного
времени:
𝑑𝑃1
𝑑𝑡
= 𝑝11 ∗ 𝑃1 + 𝑝61 ∗ 𝑃6 − 𝑝12 ∗ 𝑃1
𝑑𝑃2
𝑑𝑡
= 𝑝22 ∗ 𝑃2 + 𝑝12 ∗ 𝑃1 − 𝑝23 ∗ 𝑃2 − 𝑝24 ∗ 𝑃2
𝑑𝑃3
𝑑𝑡
= 𝑝33 ∗ 𝑃3 + 𝑝23 ∗ 𝑃2 − 𝑝34 ∗ 𝑃3 − 𝑝35 ∗ 𝑃3
𝑑𝑃4
𝑑𝑡
= 𝑝44 ∗ 𝑃4 − 𝑝45 ∗ 𝑃4 + 𝑝24 ∗ 𝑃2 + 𝑝34 ∗ 𝑃3
𝑑𝑃5
𝑑𝑡
= 𝑝55 ∗ 𝑃5 − 𝑝56 ∗ 𝑃5 + 𝑝45 ∗ 𝑃4 + 𝑝35 ∗ 𝑃3
𝑑𝑃6
𝑑𝑡
= 𝑝66 ∗ 𝑃6 − 𝑝61 ∗ 𝑃6 + 𝑝56 ∗ 𝑃5
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1
Составим систему уравнений Колмогорова-Чепмена для непрерывного
времени:
!"#
!$
= −𝜆12 ∗ 𝑃1 + 𝜆61 ∗ 𝑃6
𝑑𝑃2
𝑑𝑡
= 𝜆12 ∗ 𝑃1 − 𝜆23 ∗ 𝑃2 − 𝜆24 ∗ 𝑃2
𝑑𝑃3
𝑑𝑡
= −𝜆34 ∗ 𝑃3 + 𝜆23 ∗ 𝑃2 − 𝜆35 ∗ 𝑃3
𝑑𝑃4
𝑑𝑡
= 𝜆24 ∗ 𝑃2 + 𝜆34 ∗ 𝑃3 − 𝜆45 ∗ 𝑃4
𝑑𝑃5
𝑑𝑡
= 𝜆45 ∗ 𝑃4 + 𝜆35 ∗ 𝑃3 − 𝜆56 ∗ 𝑃5
𝑑𝑃6
𝑑𝑡
= 𝜆56 ∗ 𝑃5 − 𝜆61 ∗ 𝑃6
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1
На основе данных систем уравнений мы можем перейти к расчёту вероятности пребывания моделируемой системы в своих состояниях для дискретного однородного процесса
В нулевой момент система находится в первом состоянии. Формула для расчета состояния:
𝑃𝑛
= 𝑃𝑜 ∗ 𝑃𝑛.

Расчет вероятностей пребывания для дискретной системы
Код программы на Python3 для выполнения вычисления
Результат выполнения кода (расчет вероятностей пребывания для дискретной системы)
Как видно из выполненных расчётов вероятности стремятся к вектору значений (0.455,
0.085, 0.098, 0.0169, 0.258, 0.0860)P33
График динамики вероятностей для дискретной системы

Расчет вероятностей пребывания для непрерывного однородного процесса
Рассчитаем вероятности пребывания моделируемой системы в своих состояниях для непрерывного однородного процесса. Построим график.
Расчет вероятности производится по системе Колмогорова-Чепмена с помощью функции rkfixed, позволяющей найти решение дифференциальных уравнений методом
Рунге-Кутта 4-го порядка.
Расчет вероятностей пребывания для непрерывной системы
График динамики вероятностей для непрерывной системы

Расчет вероятностей пребывания для неоднородного процесса
Формула для расчета вероятностей пребывания на шаге k:
𝑃
(𝑘) = ∑𝑛 𝑃 (𝑘 − 1)𝑃 (𝑘)
Расчет вероятностей пребывания системы в неоднородном состоянии

График динамики вероятностей для неоднородной системы