Матлаб 10. Отчёт по лабораторной работе 3 по матанализу Числовые ряды Упражнение 1

• Название: Отчёт по лабораторной работе 3 по матанализу Числовые ряды Упражнение 1
• Анкор: Матлаб 10
• Дата: 25.04.2021
• Размер: 224.97 Kb.
• Имя файла: 10_ZamyakinNA_03_s_2.docx
• Тип: Отчет; #198398

Отчёт по лабораторной работе №3 по матанализу

Числовые ряды

Упражнение 1. Создайте M-функцию, которая строит график последовательности частичных сумм ряда. В качестве входных параметров M-функции использовать формулу общего члена последовательности и число рассматриваемых членов.

m-file summa

function [ ] = grafan( an,n0)

hold on,grid on;

s = 0;

for k=1:n0;

s=s+an(k);

plot(k,s,'.')

end

xlabel('n')

ylabel('s')

title('График последовательности частичных сумм ряда')

S=s

end
summa(@(n)sin(n)./(n.^2),50)

S =
1.0136

m-file grafan

function [ ] = grafan( an,n0)

% функция строит график членов последовательности ряда

% @an - формула общего члена ряда

% n0 - число членов ряда

k=1:n0;

plot(k,an(k),'.')

xlabel('n')

ylabel('an')

title('График последовательности членов ряда')

grid on

end



Упражнение 2.

а) Используя определение, установить сходимость иди расходимость рядов для нескольких значений , , . В случае сходимости ряда найти его сумму.

б) Используя созданную в Упр. 1 М-функцию, геометрически проиллюстрировать факт сходимости или расходимости рядов вида при выбранных в п. a) значениях .

% % Упражнение 2

, q=1/2
clc

clear

% a)

syms alfa;

q=1/2;

limit(q.^alfa,alfa,inf)

% ans =

%

% 0

% ряд сходится

summa(@(alfa) (q.^alfa),50)
S =

1.0000



, q =1

clc

clear

syms alfa;

q=1;

limit(q^alfa,alfa,inf)

% ans =

%

% 1

% ряд расходится

summa(@(alfa) (q.^alfa),50)

S =
50


,q=2

clc,clear;

syms alfa;

q=2;

limit(q^alfa,alfa,inf)

% ans =
% Inf

% ряд расходится

summa(@(alfa) (q.^alfa),50)
S =

2.2518e+015



Упражнение 3. а) Используя определение, установить сходимость иди расходимость рядов для значений , , .

б) Используя созданную в Упр. 1 М-функцию, геометрически проиллюстрировать факт сходимости или расходимости рядов вида для значений , , .
% Упражнение 3

clc

clear

syms n;

alfa=1/2;

limit(1./n.^alfa,n,inf)

summa(@(n) (1./n.^alfa),50)

ans =

0
alfa=0.5;

Ряд расходится, так как по интегральному признаку Коши “1\n^alfa“ если alfa <=1,то ряд расходится, иначе если alfa >1,то ряд сходится ==> при alfa = 0.5 ряд “1\n^0.5“ расходится.




clc

clear

syms n;

alfa=1;

limit(1./n.^alfa,n,inf)

summa(@(n) (1./n.^alfa),50)

ans =

0

alfa=1;

Ряд расходится, так как по интегральному признаку Коши “1\n^alfa“ если alfa <=1,то ряд расходится, иначе если alfa >1,то ряд сходится ==> при alfa = 1 ряд “1\n^1“ расходится.



clc

clear

syms n;

alfa=2;

limit(1./n.^alfa,n,inf)

summa(@(n) (1./n.^alfa),50)

ans =

0

alfa=2;

Ряд расходится, так как по интегральному признаку Коши “1\n^alfa“ если alfa <=1,то ряд расходится, иначе если alfa >1,то ряд сходится ==> при alfa = 2 ряд “1\n^2“ cходится.



Упражнение 4. Подкрепите примерами утверждение: «Стремление -го члена к нулю при является необходимым, но не является достаточным условием сходимости числового ряда». В качестве примеров, используйте ряды из Упр. 2 и 3, а также еще каких-нибудь два расходящихся числовых ряда, общий член которых стремится к нулю. Заполните Табл. 1, дополнив ее геометрическими иллюстрациями - для каждого ряда постройте в одной системе координат график последовательности и .

Ряд	Чему равен ?	Ряд сходится?
	= 0 при q=1/2	Ряд сходится по необходимому признаку сходимости
	= 1 при q=1	Ряд расходится по необходимому признаку сходимости
	= 0 при alfa=2	Ряд сходится по признаку сходимости рядов Дирехле
	= 0 при alfa=1	Ряд расходится по интегральному признаку Коши(гармонический ряд)
	=1/5	Ряд расходится по необходимому признаку сходимости
	=0	Ряд расходится по интегральному признаку Коши

1) q=1/2
syms n;

figure(1);

gra4(@(n) 0.5.^n,50)



2) q=1



3) alfa=2



4) alfa=1



5)



6)



Упражнение 5. а) Пусть ряды и расходятся. Что можно сказать о сходимости ряда ? Подкрепите ваше предположение примерами, проиллюстрировав факт сходимости/расходимости соответствующих рядов графиками последовательности их частичных сумм.

б) Пусть ряд сходится, расходится. Что можно сказать о сходимости ряда ? Подкрепите ваше предположение примерами, проиллюстрировав факт сходимости/расходимости соответствующих рядов графиками последовательности их частичных сумм.

Указание. Если Вы затрудняетесь с выполнением п. а), рассмотрите ряды и , .

А)

ряд расходится



ряд расходится

Отсюда можно предположить, что ряд из суммы двух расходящихся рядов также расходится.

Б)



Ряд расходится

ряд сходится



Отсюда также можно предположить, что ряд сумм сходящегося и расходящегося рядов расходится.

Упражнение 6. Даны ряды (1) и (2) .

а) Используя признак сравнения, установить сходимость или расходимость рядов, сравнив их общие члены с общими членами ряда при подходящих значениях и :

б) Геометрически проиллюстрируйте использование признака сравнения: для каждой пары сравниваемых рядов постройте в одной системе координат графики последовательностей общих членов, а в другой - графики последовательностей их частичных сумм.

m-file gra4

function [ ] = gra4( an,n0)

hold on,grid on;

s = 0;

k=1:n0;

plot(k,an(k),'.','color','red')

for k=1:n0;

s=s+an(k);

plot(k,s,'.','color','black')

end

k=1:n0;

xlabel('n')

ylabel('s')

title('4 номер')

S=s

legend('График последовательности членов ряда','График последовательности частичных сумм ряда')

end
ряд сходится 1/𝑛^2

syms n;

figure(1);

gra4(@(n) 1./(n.*sqrt(n+1).*sqrt(n+2)),50)



ряд сходится

ряд расходится 1/√𝑛

syms n;

figure(1);

summa(@(n) 2+sin(n)./sqrt(n),50)



Ряд 1/sqrt(n) – расходится



Упражнение 8. Дан ряд ( ) (см. ниже).

а) Показать аналитически, что для ряда выполняется условие утверждения об оценке ряда.

б) Применить созданную при выполнении Упр. 6 М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда.

в) Сравнить результат с точным решением, приведённым в последнем столбце таблицы.

10

= 2e – 1 ≈ 4.43656365691809

<1  ряд сходится( по признаку Даламбера)

clc;

clear;

syms n

eps = 0.00001;

grafan(@(n) (n+1)/factorial(n),50)

n0 = 1;

while (n0+1)/factorial(n0)>0.001;

n0 = n0+1;

end

n0

n1 = 1;

sum = 0;

while n1 <= n0

sum = sum + (n1+1)/factorial(n1);

n1 = n1 + 1;

end

vpa(sum,10)
n0 =

8

ans =

4.436532738



Упражнение 10. Дан ряд ( ) (см. ниже).

а) Показать аналитически, что для ряда выполняется условие утверждения об оценке ряда.

б) Применить созданную при выполнении Упр. 9 М-функцию для вычисления с точностью до 0,00001 суммы ряда.

в) Сравнить результат с точным решением, приведённым в последнем столбце таблицы.

10

= 1/9 = 0.1111(1)

< 1 ряд сходится по признаку Даламбера
clc;

clear;

syms n

an = ((-1).^(n-1).*(2.*n-1)./2.^n);

eps = 0.00001;

grafan(@(n) ((-1).^(n-1).*(2.*n-1)./2.^n),50)

n0 = 1;

while subs(an,n,n0)>0.001

n0 = n0+1;

end

n0

n1 = 1;

sum = 0;

while n1 <= n0

sum = sum + subs(an,n,n1);

n1 = n1 + 1;

end

vpa(sum,5)
n0 =

2

ans =

-0.25