Системы счисления. Системы счисления, отличные от десятичной. Отличные от десятичной

• Название: Отличные от десятичной
• Анкор: Системы счисления
• Дата: 11.08.2022
• Размер: 59 Kb.
• Имя файла: Системы счисления, отличные от десятичной.doc
• Тип: Документы; #644256

Позиционные системы счисления,

отличные от десятичной

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р  2. Система счисления с основанием р называется р-ичной. Так, если р = 2, то – двоичной, если р= 8 – восьмеричной, если р = 10 – десятичной.

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо рсимволов. Принято использовать знаки десятичной системы счисления: 0, 1, 2,..., р-1. Например, числа в троичной системе счисления записывают при помощи символов 0, 1, 2, а в пятеричной – при помощи символов 0, 1, 2, 3, 4.

Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде:

х = а_nрⁿ + а_n–1р^n–1 + ... + а₁р + а₀ (1),

где коэффициенты а_n, а_n–1, ... а₁, а₀ принимают значения 0, 1, 2, ... , р – 1 и а_n  0.
Теорема. Пусть р  2 – заданное натуральное число. Тогда любое натуральное число х представимо, и притом единственным образом в виде (1).

Доказательство.

Вместо представления в виде (1) число х записывают кратко:

х = _р.

Например, если р=3, то число х= 2·3³ + 0·3² + 1·3 + 2 можно записать в виде 2012₃, причем читать его следует так: «Два, ноль, один, два в троичной системе счисления».

З адача.

Сосчитать число клеток в фигуре, изображенной на рисунке, в троичной и пятеричной системах счисления.

Решение.

В троичной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1 и 2, а любое число представляется в виде а_n·3ⁿ + а_n–1·3^n–1 + ... + а₁·3 + а₀, где а_n, а_n–1, ... а₁, а₀ принимают значения 0, 1, 2 и а_n  0. Однозначные числа в этой системе – 0, 1, 2, а число 3 – основание системы счисления – записывается как 10.

При счете клеток в данной фигуре мы получим числа, запись и название которых в троичной системе счисления таковы: 1 (один); 2 (два); 10 (один, ноль); 11 (один, один); 12 (один, два); 20 (два, ноль); 21 (два, один); 22 (два, два); 100 (один, ноль, ноль).

Таким образом, число клеток в фигуре на рисунке в троичной системе счисления запишется как 100₃.

В пятеричной системе счисления для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, а любое число представляется в виде:

а_n·5ⁿ + а_n–1·5^n–1 + ... + а₁·5 + а₀, где а_n, а_n–1, ... а₁, а₀ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4 и а_n  0.

Однозначные числа в этой системе – 0, 1, 2, 3, 4, а число 5 – основание системы счисления – записывается как 10 .

При счете в пятеричной системе клеток фигуры на рисунке мы получим числа: 1, 2, 3, 4, 10, II, 12, 13, 14. Таким образом, число этих клеток в пятеричной системе счисления запишется как 14₅.
Сравнение чисел в системе счисления с основанием р (р  10) выполняется так же, как и в десятичной системе. Так, 2101₃ < 2102₃, поскольку при одинаковом числе разрядов и совпадении трех цифр старших разрядов число единиц в первом числе меньше числа единиц во втором.

Арифметические действия над числами в позиционных системах счисления с основанием р (р  10) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Надо лишь иметь для системы с основанием р соответствующие таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Составим, например, таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления. Однозначные числа в ней – это 0, 1, 2. Число 3 записывается 10. Число 4 имеет вид 11₃, так как 4= 1·3 +1 =11₃.

Полностью таблицу сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно представить в таком виде:

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

Используя эту таблицу, можно складывать любые числа в троичной системе счисления, причем многозначные числа можно складывать столбиком по правилам, аналогичным правилам сложения чисел в десятичной системе счисления. Например, 1221₃+122₃ = 2120₃, так как

1 221₃

122₃

2120₃

Таблицей сложения однозначных чисел в троичной системе счисления можно пользоваться, выполняя вычитание: 2110₃ – 212₃ = 1121₃.

Таблица умножения однозначных чисел в троичной системе счисления имеет вид:

	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	11

На основе этой таблицы и таблицы сложения выполняют умножение многозначных чисел по правилам, аналогичным правилам умножения чисел в десятичной системе счисления. Найдем, например, произведение 122₃ · 22₃:

1223 223

+10213 10213

120013

Таким образом, 122₃ · 22₃ = 12001₃.

Т аблицей умножения можно пользоваться, выполняя деление чисел в троичной системе счисления, в частности, деление чисел уголком. Разделим, например, число 10011₃ на 12₃:

10011 12

12 122

111

101

101

101

0

Значит, 10011₃:12₃ = 122₃.

Одно и то же натуральное число может быть записано в любой системе счисления с основанием р  2. Так, число клеток в фигуре на рисунке в десятичной системе счисления записывается знаком 9, в троичной – 100, в пятеричной – 14.

Чтобы из одной записи получить другую, достаточно научиться переходить от записи в заданной системе к записи в десятичной, и наоборот.

Переход от записи числа в системе с основанием р

к записи в десятичной системе

Пусть дана запись числа х в системе счисления с основанием р, т.е. х = а_nрⁿ + а_n–1р^n–1 + ... + а₁р + а₀, где числа а_n, а_n–1, ... а₁, а₀ и р представлены в десятичной системе счисления. Выполнив над ними действия по правилам, принятым в десятичной системе счисления, получим десятичную запись числа х.

Найдем, например, десятичную запись числа 457₈. Для этого представим данное число в виде суммы вида: 4 · 8²+ 5 · 8 + 7. Значение этого выражения в десятичной системе счисления равно 303. Следовательно, 457₈ = 303₁₀.

Переход от записи числа в десятичной системе

к записи в системе с основанием р

Пусть теперь число х записано в десятичной системе. Найдем его запись в системе счисления с основаниемр. Нужно найти такие значения

а_n, а_n–1, ... а₁, а₀, что х = а_nрⁿ + а_n–1р^n–1 + ... + а₁р + а₀, где 1  а_n  р, 0 а_n-1  р, …, 0  а₀  р.

Число х = а_n·рⁿ + а_n–1·р^n–1 + ... + а₁·р + а₀ можно записать в виде

х = р·(а_n· р^n–1 + а_n–1· р^n–2 +...+ а₁) + а₀. Так как 0  а₀ < р, то из последней записи числа х видно, что а₀ – остаток, получаемый при делении числа х на р, а а_n· р^n–1 + а_n–1· р^n–2 +...+ а₁ – неполное частное. Точно так же можно найти, что а₁ – остаток, получаемый при делении этого неполного частного на р. Таким образом, запись числа х в р–ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р, остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а₀ в р–ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р–ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры р–ичной записи числа х.

Запишем число 2436 в восьмеричной системе счисления. Разделим 2436 на 8: 2436 = 304 · 8 + 4. При делении числа 304 на 8 получим: 304 = 38 · 8+0 и тогда 2436 = (38 · 8 + 0) · 8 + 4 или 2436 = 38 · 8² +0 · 8 + 4. Делим на 8 число 38: 38 = 4 – 8 + 6 и тогда 2436 = (4·8 + 6)·8² + 0·8 + 4 или 2436 = 4·8³ + 6 ·8² + 0·8 + 4, ò.å. 2436 = = 4604₈. Описанный процесс можно представить и в таком виде: