беля. Первообразная Определение
 Скачать 335.26 Kb.
|
|
Первообразная Определение. Первообразной для функции  в интервале  называется функция  , производная которой равна , т.е.  .Пример. Найти первообразную для функции  ,  , так как  . Легко заметить, что любая функция  является первообразной для функции  , где  – const.Таким образом, если функция  имеет одну первообразную  , то имеет бесконечно много первообразных  т.к.  .Теорема: Если функция в интервале имеет первообразную , то любая другая первообразная отличается от данной на константу.Определение неопределенного интеграла и его свойства. Определение: Неопределенным интегралом для функции называют совокупность всех ее первообразных  .Неопределенный интеграл обозначается  . , где  какая-либо одна из первообразных для . называется подынтегральной функцией,  подынтегральным выражением.Свойства неопределенного интеграла: Доказательство. Пусть одна из первообразных функции , тогда  .Таким образом, действие интегрирования проверяется дифференцированием. Свойство 2 вытекает из свойства 1.
Таблица интегралов. Из определения интеграла и формул дифференцирования функций следуют равенства:
Все формулы проверяются дифференцированием. 1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неопределенном интеграле есть действие обратное дифференцированию сложной функции. 2.1. Интегрирование по частям. Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения. Имеем:  Проинтегрируем обе части равенства:   отсюда получаем:
Пример   Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь  , числитель которой есть производная знаменателя, то интеграл от этой дроби равен логарифму натуральному от модуля знаменателя!!!Пример  2.2. Интегрирование заменой переменной. Рассмотрим формулу (1) в следующем виде:  , где  обратная функция для функции  . Обратим внимание на то, что при замене переменной последняя функция должна иметь обратную.2.3. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие. Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.  , где  и  многочлены соответственно степеней m и n.Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е.  , в противном случае рациональная дробь – неправильная.Всякая неправильная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель. Отсюда следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби всегда можно свести к интегрированию правильной рациональной дроби. В дальнейшем мы покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей. К простейшим рациональным дробям относятся дроби: 1)  3)  2)  4)  Теорема: Всякую правильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей в следующем виде:  где А, В, С с соответствующими индексами – неопределенные коэффициенты. 3. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. 3.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.    Рекуррентная (возвратная формула)  3.2. Интегрирование тригонометрических выражений. Мы будем рассматривать  , где  есть рациональная функция от  и  . Т.е. если положить  , a  , то  есть отношение двух многочленов от  .Например:  3.2.1. Универсальная подстановка. Интеграл  с помощью подстановки  всегда сводится к интегралу от рациональной функции:   В результате получаем:  3.2.2. Теперь предположим, что  , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно . В этом случае имеем: В этом случае была сделана замена  , и вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.3.2.3. Пусть  , т.е. подынтегральная функция нечетная относительно . В этом случае замена  сводит вычисление  к вычислению интеграла от рациональной функции.3.2.4. Теперь рассмотрим тот случай, когда  , т.е. подынтегральная функция четная относительно и  одновременно. В этом случае замена  позволяет свести вычисление интеграла  к вычислению интеграла от рациональной функции. В самом деле, , т.к. , то функция  является четной относительно  , поэтому  и . В результате замены переменной получим:  Определенный интеграл Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная прямой l, двумя прямыми, перпендикулярными прямой l и непрерывной кривой, которая расположена по одну сторону от прямой l и любой прямой, перпендикулярной l, пересекается не более чем в одной точке.  Если прямую l взять за ось OX; OY  OX, тогда определение криволинейной трапеции можно дать следующим образом.Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a; x=b и графиком непрерывной функции  ,  . Определение определенного интеграла Определение. Конечный предел интегральных сумм при  называется определенным интегралом от функции  на отрезке [a,b].Определенный интеграл обозначается следующим образом:  . называется подынтегральной функцией,  подынтегральным выражением,  – пределы интегрирования, а – нижний, b – верхний предел интегрирования.Определение определенного интеграла можно записать в следующем виде:  ,если последний предел существует. Геометрический смысл определенного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на отрезке , то  есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.Механический смысл определенного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на , то  есть масса неоднородного стержня с плотностью  .5.3. Теорема существования определенного интеграла. Если непрерывна на отрезке , то существует.5.4. Свойства определенного интеграла. 1)  2)  3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.  , с=const.4)  5)  6)  7) Если знакопостоянна на , то  имеет тот же знак, что и .8) Если  ,  , то  .9) Теорема об оценке интеграла.  , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения на .Замечание: свойства 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 справедливы, если соответствующие интегралы существуют. 10) Теорема о среднем. Если непрерывна на , то существует точка  , для которой справедливо равенство  .Формула Ньютона-Лейбница. Теорема. Справедлива формула  , где Ф(x) какая-либо первообразная для подынтегральной функции .6.4. Замена переменной в определенном интеграле. Пусть  непрерывна на отрезке  и  , а функция непрерывна на отрезке .Справедлива формула  .9.1.1. Пусть некоторая кривая является графиком функции  ,  , для которой  является непрерывной функцией на  . Такие кривые называются гладкими.ДИФ УРАВНЕНИЯ Определение . Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию и производные неизвестной функции. Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать следующим образом:  , где  -независимая переменная,  -неизвестная функция. Решить диф. Уравнение значит найти неизв. Функцию.Определение . Порядком дифференциальнрого уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение. Например:  является дифференциальным уравнением 2го порядка.Определение . Функция  называется решение дифуравнения, если при подстановке функции и ее соответствующих производных в уравнение, уравнение обращается в тождество.12. Дифференциальные уравнения 1го порядка. В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом:  . В частных случаях в левую часть уравнения в явном виде могут не входить и , но обязательно должна входить производная  .КОШИ Теорема Коши: Если функция  и ее частная производная  непрерывны в некоторой области, содержащей внутри точку  , то уравнение  имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию  , в некотором интервале  , т.е. задача Коши имеет единственное решение.Определение . Любое решение задачи Коши называется частным решением дифуравнения. Определение . Совокупность всех частных решений дифуравнения называется общим решением этого уравнения. Задача Коши: Найти решение дифуравнения , которое удовлетворяет начальному условию  .Определение . Дифференциальное уравнение называется разрешимым в квадратурах, если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа операций интегрирования. 12.2. Дифуравнение с разделяющимися переменными. Определение . Уравнение вида  называется уравнением с разделяющимися переменными.Для решения дифуравнения с разделяющимися переменными надо разделить переменные и проинтегрировать. 1.  - решение данного уравнения, т.к.  ,  .2.  - решение данного уравнения, т.к.  ,  .3.  .Разделив обе части равенства на  , получим:  , т.е. первое слагаемое зависит только от , а второе слагаемое только от , в этом и заключается разделение переменных. Интегрируя последнее равенство, получим  . Таким образом, любое дифуравнение с разделяющимися переменными интегрируется в квадратурах.12.3. Однородные дифуравнения первого порядка. Определение . Дифференциальное уравнение вида  называется однородным.Это уравнение с помощью замены  сводится к решению дифуравнения с разделяющимися переменными. Действительно,  ,  12.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Определение . Дифференциальное уравнение вида:  ,  . (16)называется линейным уравнением. Решение линейного уравнения можно искать в виде:  ,  . Значения для и подставим в данное уравнение. В результате получим тождество:  12.5 Уравнения Бернулли Определение . Уравнение вида  называется уравнением Бернулли. Если  , то уравнение является линейным. Если  , то уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.Решение уравнения Бернулли можно искать в виде  и решать это уравнение аналогично решению линейного уравнения.13. Дифференциальные уравнения 2го порядка. В общем случае дифуравнение 2го порядка имеет вид:  Если уравнение разрешено относительно второй производной, то оно имеет следующий вид:  .13.1. Задача Коши для уравнения 2го порядка. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. Задача Коши: Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:  .Теорема Коши: Если  непрерывна вместе с частными производными  в некоторой окрестности точки  , то уравнение имеет единственное решение в некотором промежутке  , которое удовлетворяет начальным условиям , т.е. задача Коши имеет единственное решение. (Без доказательства).Определение . Всякое решение задачи Коши называется частным решением дифуравнения. Определение . Совокупность всех частных решений называется общим решением дифуравнения. Общее решение дифуравнения 2го порядка зависит от двух произвольных постоянных. 13.2. Дифуравнения 2го порядка, допускающие понижение порядка. 13.2.1. Рассмотрим уравнение вида:  . Так как  , то  , а  .решение, получим искомое частное решение  .13.2.2. Уравнение не содержит в явном виде , т.е. уравнение имеет вид  . Сделаем замену:  , тогда  . В результате замены получим уравнение первого порядка относительно неизвестной функции  .13.2.3. Уравнение не содержит в явном виде , т.е. уравнение имеет вид:  В этом случае делается замена  ,  14. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка . Уравнение вида  (21) называется линейным уравнением второго порядка. Если f(x)= 0, то уравнение (21) называется однородным, если же f(x) ≠0, то уравнение (21) называется неоднородным. Линейный дифференциальный оператор второго порядка.Определение. Оператором Aиз множества Х во множество Y называется соответствие, которое по определенному закону каждому элементу х ϵ Х сопоставляет однозначно элемент А(х) ϵ Y. Множество Х называется областью определения оператора А и обозначается D(A), множество { A(x), х ϵ Х } называется областью значений оператора и обозначается R(A). Часто вместо А(х) пишут Ах. Определение. Оператор А(х) называется линейным, если А(α  +β )=αА()+βА()  x1, x2  X и α1, α2  Определение. Оператор L(y)=  называется дифференциальным оператором второго порядка.
 (23)Уравнение (23) можно записать в виде L(y)=0 . Легко видеть, что функция  является решением уравнения (23), это решение называется тривиальным. Естественно, интерес представляют нетривиальные решения.Теорема. Если  и  – два решения L(y)=0, то их линейная комбинация  также является решением уравнения L(y)=0 ,где  –произвольные постоянные.Основная теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.Определение. Система функций  называется линейно зависимой в промежутке E, если существуют числа  , одновременно не равные нулю, такие что   , в противном случае система функций  , называется линейно независимой.Определение. Линейно независимая система решений уравнения (23) называется фундаментальной системой решений.Теорема. Для того, чтобы система решений уравнения (3) была фундаментальной необходимо и достаточно , чтобы отношение  Определитель Вронского и его свойства.Определителем Вронского или кратко вронскианом системы двух частных решений уравнения (23) называется функциональный определитель  Теорема. Если не образуют фундаментальную систему решений уравнения (3),то  .Теорема. Если , то не образуют фундаментальную систему решений.Теорема. Вронскиан двух частных решений тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда система решений  - не является фундаментальной.Формула Остроградского-Лиувилля.Пусть два частных решения Л.О.Д.У. (3), в котором функция Р(х) предполагается непрерывной в некотором промежутке, тогда  W(x)=W(x0)  Полученная формула называется формулой Остроградского-Лиувилля. Существование фундаментальной системы решений Л.О.Д.У.(23).Теорема. Каждое ЛО.Д.У.(3) имеет фундаментальную систему решений .Основная теорема о структуре общего решения Л.О.Д.У.Теорема. Общее решение Л.О.Д.У. может быть записано в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений y1(х) и у2(х), т.е. у=с1у1(х)+с2у2(х) Решение уравнения будем искать в виде y=  . Для этого найдем y’=k ,
Данное уравнение имеет вид: y”+ay’+by=0, где a и b действительные числа. y”=  и подставим в данное уравнение: . Так как    .Последнее уравнение называется характеристическим уравнением для данного Л.О.Д.У. Возможны следующие три случая:
= = =x , т.к. по теореме Виетта сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при k с противоположным знаком, т.е. 2k1=-a и 2k1+a=0. Таким образом, общее решение уравнения запишется в виде: y(x)=
В этом случае мы получаем два частных решения  , .Неудобство состоит в том, что оба решения записаны в комплексной форме, а мы хотим найти общее решение в действительной форме. Мы применим формулы Эйлера  ,  которые примем без доказательства.По теореме 2 функции y1(x)=  = = =  и y2(x) = = =  тоже являются решениями данного уравнения, которые образуют фундаментальную систему решений, т.к.  . Поэтому общее решение запишется в виде:y=  Пример 3. Решить уравнение y”+3y’-4y=0 Решение. Составим характеристическое уравнение k2+3k-4=0. Корнями уравнения являются k1=-4, k2=1, y(x)=c1  .Пример 4. Решить уравнение y”-2y’+y=0 Решение. K2-2k+1=0, k1,2=1, y(x)=  .Пример 5. Решить уравнение y”+y=0. Решение. K2+1=0, k2=-1, k1,2=±i, α=0, β=1. y(x)=  .
Уравнение вида: ; L(y) =f(x) (26)где f(x)≠0 называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка (Л.Н.Д.У.). Основная теорема о структуре общего решения Л.Н.Д.У.Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения данного неоднородного решения, т.е. y(x) =  + y*(x) , где - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y) = 0, а y*(x) – частное решение данного уравнения L(y) = f(x).Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: y(x) =  (x) + y*(x), где (x) - есть общее решение соответствующего однородного уравнения y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0, а y*(x) есть частное решение данного неоднородного уравнения y” + P(x)y’ + Q(x)y = f(x).Будем предполагать, что (x) известно, т.е. (x) = C1y1(x) + C2y2(x), где y1(x) и y2(x) образуют фундаментальную систему решений Л.О.Д.У., а C1 и C2 – произвольные постоянные. Метод подбора частного решения Л.Н.Д.У. 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью  где а-const,b-const, Pn(x) и Qm(x)-многочлены соответственно степеней n и m. Общее решение такого уравнения записывается в виде y=ȳ(x)+y*(x), где ȳ(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения y’’ + + ay’ + by = 0. Решение такого уравнения рассмотрено в п.1.3.5. Частное решение данного неоднородного уравнения ищется в виде: y*(x) =x ͬ eαx(Qs(1) (x) cos βx + Qs(2)(x) sin βx), где r – кратность чисел α±β как корня характеристического уравнения k² + ak + b = 0, s= max(n,m), Qs(1) (x) и Qs(2)(x) – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами. Теорема о наложении частных решений.Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида:  Если y*1(x) есть частное решение уравнения  , (27)а y*2(x) есть частное решение уравнения  , (28)то y*(x)= y*1(x)+ y*2(x) есть частное решение данного уравнения. ЛОДУn-го порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение (2):  Его характеристическое уравнение имеет вид:  (3) |
.
, у2(х)=
, которые образуют фундаментальную систему решений, т.к. 
=
≠0. Общее решение имеет вид: y=C1