Понятие вектора

• Название: Понятие вектора
• Дата: 28.11.2020
• Размер: 191.43 Kb.
• Имя файла: Bilet.docx
• Тип: Задача; #154685

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называютсяскалярнымиили, короче,скалярами . Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называютсявекторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. Векторные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скалярную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует северный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Векторомназывается направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. ЕслиА - начало вектора иВ - его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, ). Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце (рис. 24). Начало вектора называютточкой его приложения. Если точкаА является началом вектора  , то мы будем говорить, что вектор приложен в точкеА.

Длина вектора  называется егомодулем и обозначается символом .Модуль вектора обозначается . Вектор , для которого , называетсяединичным

Вектор называется нулевым(обозначается ), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.



Рис.24



Рис.25

Векторы  и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными.

Два вектора  и называютсяравными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут:  = . Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно параллельно переносить, помещая его начало в любую точку пространства (в частности, плоскости). Такой вектор называется  свободным.

Пример. Рассмотрим квадрат (рис. 25). На основании определения равенства векторов можем написать  и , но , хотя .

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору  , обозначается . Для вектора противоположным будет вектор .

2. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.



Определение. Пусть  и два свободных вектора (рис. 26,а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор  = ,затем от точки А отложим вектор   =  ,Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называетсясуммойэтих векторов и обозначается (рис. 26,б). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.

Отложим от точки О векторы  = и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм  О ABC Вектор , служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершиныО, является, очевидно, суммой векторов (рис. 26, в). Из рис. 26, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

.

Действительно, каждый из векторов  и равен одному и тому же вектору .

Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора  , и (рис. 27,а). Построив сначала сумму векторов , а затем прибавив к этой сумме вектор получим вектор . На рис. 27, б) = , , , и .

Из рис. 27, б видно, что тот же вектор мы получим, если к вектору = прибавим вектор . Таким образом,



Рис.27



(  + ) + = + ( + ),

т.е. сумма векторов обладает  сочетательнымсвойством. Поэтому сумму трех векторов , , записывают просто .

Итак, сумму трех векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго; к концу второго - начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место равенство  .

Определение. Разностью  и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если , .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы

=  и = из общей точкиО. Вектор , соединяющий

концы уменьшаемого вектора  и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью . Действительно, по правилу сложения векторов

, или  .

Определение. Произведением  ( или ) на , называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направление < 0. Так, например, 2 есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор . В случае, когда = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на



Так, западный ветер можно представить как отрицательный восточный ветер. Очевидно, что  .

Пусть дан вектор  . Рассмотрим единичный вектор , коллинеарный вектору и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что

,

т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует  = , где ненулевой вектор, то векторы и коллинеарны.

Очевидно, что и, обратно, из коллинеарности векторов  и следует, что .

Таким образом, два вектора  и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

=  .

Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает

 и сочетательным свойством

.

+Справедливость, например, равенства (1) при  следует из того, что при изменении сторон параллелограмма в раз в силу свойств подобия его диагональ также изменяется в

Ранг матрицы и его свойства. Алгоритм вычисления ранга матрицы

Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.

Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.

Возьмем матрицу А порядка  . Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n, то есть,  .

Определение.

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка  , составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.

Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А.

Разберемся с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу  .

Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А, то нашему выбору соответствует минор первого порядка  . Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А, а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А, то мы получим минор  .

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка
 и  .

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка  . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является  .

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка
 и  .

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А. Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка


Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А.

Другим минором третьего порядка является

получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А.

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка
 и  .

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как  .

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка  ?

Число миноров порядка k может быть вычислено как  , где   и   - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n?

Нам потребуется множество номеров строк матрицы   и множество номеров столбцов  . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k.

Разберем на примере.

Пример.

Найдите все миноры второго порядка матрицы  .

Решение.

Так как порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет  .

Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2; 1, 3 и 2, 3.

Возьмем первую и вторую строки матрицы А. Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры


Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем


Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы:


Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены.

Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы.

Определение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A).

Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.


№ 4.



Решим методом Гаусса.

Для этого составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому

виду путем умножения элементов строки на числа и сложения строк.



Система совместна и имеет единственное решение т.к. ранг расширенной

матрицы равен рангу матрицы из коэффициентов и равен количеству

неизвестных 3.

Составим соответствующую систему уравнений и решим ее.















Ответ: .
№ 3.

На прямой найти точку, равноудаленную от двух данных точек А(1; 1), В(3; 0).

Решение:

Искомую точку обозначим Найдём расстояния от точки О до точки А и до точки В.



Так как точка О должна быть равноудалена от точек, то расстояния равны.





Так как точка принадлежит прямой, то подставим её координаты в уравнение прямой.



Ответ: