Типовой расчёт по теории вероятностей

• Название: Типовой расчёт по теории вероятностей
• Дата: 23.12.2022
• Размер: 350.32 Kb.
• Имя файла: С-3.pdf
• Тип: Документы; #860362
• страница: 1 из 4

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 1
1. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выде- лено из первой группы четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равна соответственно 0,5, 0,4 и
0,3. Какова вероятность того, что наудачу взятый студент попадет в сбор- ную? Если студент попал в сборную, то к какой из трех групп он вероятнее всего принадлежит?
2. Фарфоровый завод отправил на базу 10000 доброкачественных изделий.
Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0001. Найдите ве- роятность того, что на базу придут ровно 3 негодных изделия.
3. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероят- ность того, что среди 10 деталей окажется не более 1 нестандартной?
4. Батарея дала 140 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найдите наивероятнейшее число попаданий и его вероят- ность.
5. Вероятность выхода конденсатора из строя в течение времени t равна 0,25.
Вычислите вероятность того, что за этот промежуток времени из имеющихся
150 конденсаторов выйдет из строя от 40 до 80 конденсаторов.
6. Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, наугад извлекают три шара.
Х – число вынутых черных шаров. Составьте закон распределения дискрет- ной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, диспер- сию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоуголь- ник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
,
4
( )
cos 2
при
,
4 4
0 при
4
x
f x
a
x
x
x





 




  





Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
;
2 12










. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 2
1. На сборку попадают детали, изготовленные тремя автоматами. Известно, что первый автомат дает 0,4%, второй – 0,2% и третий – 0,6% брака. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого авто- мата поступило 500, со второго – 1000 и с третьего – 1250 деталей. Если де- таль оказалась бракованной, то какой из трех автоматов ее вероятнее всего изготовил?
2. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найди- те вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испы- тания.
3. Оптовая база обслуживает 12 магазинов, от каждого из них заявка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,3. Найдите наиверо- ятнейшее число заявок на следующий день и вероятность получения базой такого числа заявок.
4. На факультете 730 студентов. Вероятность того, что студент не придет на занятия, равна 0,1. Найдите наивероятнейшее число студентов, не явившихся на занятия, и вероятность этого события.
5. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных.
Найдите вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 700 до 820 год- ных.
6. Из ящика, содержащего 2 бракованных и 4 годных детали, наугад извлекают
4 детали. Х – число вынутых годных деталей. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее много- угольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
3 0 при
,
2 3
3
( )
cos при
,
3 2
2 3
0 при
2
x
x
f x
a
x
x





 





 





Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
3
;
2 4
 






. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 3
1. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложен один вынутый наудачу шар в урну, содержащую 4 белых и 5 черных шара. Найдите вероят- ность того, что шар, наудачу вынутый из второй урны, окажется белым. Если вынутый из второй урны шар окажется белым, то какова вероятность того, что из первой урны был переложен: а) белый шар; б) черный шар?
2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна
0,002. Найдите вероятность того, что за время t откажут ровно 3 элемента.
3. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди этих детей 2 мальчи- ка. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. Чему равна вероят- ность того, что в семье хотя бы 1 мальчик?
4. Пусть вероятность того, что автомат сработает неправильно, равна 0,3. Най- дите наивероятнейшее число случаев неправильной работы автомата при 150 испытаниях. Какова вероятность того, что автомат не сработает такое коли- чество раз?
5. Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево при- живется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что число прижившихся де- ревьев больше 300.
6. Из каждой партии телевизоров для контроля извлекают 4 телевизора и по- следовательно их проверяют. При появлении плохо работающего телевизора бракуется вся партия. Пусть Х – количество проверенных телевизоров до по- явления бракованного, а вероятность брака равна 0,2. Составьте закон рас- пределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математиче- ское ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также на- чертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
1,
( )
при 1
,
0 при
x
f x
a lnx
x
e
x
e




 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


1 3
;
e
e

. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 4
1. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Ве- роятности попадания в каждую кассу зависят от их местонахождения и рав- ны соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Вероятности того, что в кассах все билеты проданы, равны соответственно 0,6; 0,9; 0,7. Какова вероятность того, что пассажир приобретет билет? Если пассажир приобрел билет, то в какой из трех касс он вероятнее всего купил билет?
2. Вероятность нарушения герметичности банки в некоторой партии консерв- ных банок равна 0,0004. Вычислите вероятность того, что среди 2000 банок окажутся с нарушением герметичности не более 3.
3. Вероятность выигрыша по 1 билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет: по двум билетам; выиграет по трем билетам; не выиграет по двум билетам?
4. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Произведена сборка 500 приборов. Найдите наивероятнейшее количество неточно собранных прибо- ров и вероятность появления такого события.
5. Средний процент нарушений работы кинескопа телевизора в течение гаран- тийного срока равен 22. Вычислите вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.
6. В колоде осталось 7 карт, из них 3 козырных. Наугад выбирают 4 карты. Х – число взятых козырных карт. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
2 2
0 при
1,
( )
при 1
,
0 при
x
a lnx
f x
x
e
x
x
e




 





Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
1
;
2
e






. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 5
1. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 30% и с третьего –
30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали для каждо- го станка соответственно равна 0,01; 0,03; 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь бракована. С какого станка веро- ятнее всего поступит на сборку бракованная деталь?
2. Вероятность появления брака при автоматической обработке деталей равна
0,003. Найдите вероятность того, что среди 1000 деталей только 4 детали бу- дут бракованными.
3. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гаран- тийного срока, равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение гарантий- ного срока из 5 телевизоров: не более 1 потребует ремонта; хотя бы 1 потре- бует ремонта.
4. Вероятность случайным образом отобранному изделию оказаться стандарт- ным равна 0,8. Найдите вероятность того, что среди 225 взятых наугад изде- лий 180 окажутся стандартными.
5. При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.
6. В цехе имеется 5 однотипных станков. Вероятность выхода из строя одного станка равна 0,8. Х – число станков, потребовавших ремонта. Составьте за- кон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее матема- тическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределе- ния.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
1,
( )
0,3 при 1
,
0 при
x
f x
x
a
x
a




 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
 
1;2
. Построй- те графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения ( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 6
1. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бен- зоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому же шоссе, как
3:5. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и 2 из 50 легковых машин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что:
1) подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться; б) на заправке стоит легковая автомашина; 3) на заправке стоит грузовая автомашина?
2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найдите вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами при залпе в 5000 выстрелов
3. В хлопке имеется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из 4 волокон окажется не более 2 коротких?
4. Оптовая база обслуживает 40 магазинов. От каждого из них заявка на това- ры на следующий день может поступить с вероятностью 0,4. Найдите наиве- роятнейшее число заявок на следующий день и вероятность получения базой
6 заявок.
5. В каждой из 1000 урн находится 5000 черных и 5000 белых шаров. Из каж- дой урны извлекаются без возвращения 3 шара. Чему равна вероятность того, что число урн, из которых извлекли одноцветные шары, заключено между
220 и 300?
6. Имеется 9 радиоламп, среди которых 3 неисправных. Наугад берутся 4 ра- диолампы и проверяются на годность. Х – число неисправных радиоламп.
Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычисли- те ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое откло- нение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения


10 0 при
,
3 10 14 2
( )
2 4
при
,
3 3
14 0 при
3
x
f x
a x
x
x








 





Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


2;1,5

. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 7
1. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, вынуты наудачу 2 шара и переложены в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Из второй урны наудачу выбирают шар. Чему равна вероятность того, что он белый? Если из второй урны извлечен белый шар, то наиболее вероятно какого цвета шары извлечены из первой урны и переложены во вторую?
2. На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.
3. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероят- ность того, что среди 10 деталей окажется не более 1 нестандартной?
4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
5. В цехе имеется 80 станков, работающих независимо друг от друга. Для каж- дого станка вероятность быть включенным равна 0,9. Вычислите вероятность того, что в некоторый момент времени включенными окажутся от 60 до 75 станков.
6. Производятся последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу после того, как проверяемый прибор оказался надеж- ным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,8. Х – число испытаний, после которых закончится проверка. Составьте закон рас- пределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математиче- ское ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также на- чертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения


2 0 при
0,
( )
при 0 2,
2 0 при
2.
x
a
f x
x
x
x





 






Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


1;1,5

. По- стройте графики функций распределения ( )
F x
и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 8
1. В группе спортсменов 18 лыжников, 8 велосипедистов и 4 бегуна. Вероят- ность выполнить квалифицированную норму такова: для лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найдите вероятность того, что спорт- смен, выбранный наудачу, выполнит норму. Если спортсмен выполнил ква- лифицированную норму, то какова вероятность того, что этим спортсменом будет: а) лыжник; б) велосипедист; в) бегун?
2. Найдите вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бра- кованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.
3. Вероятность выигрыша по одному билету равна 1/3. Какова вероятность того, что лицо, имеющее шесть билетов: выиграет по двум билетам; выиграет по трем билетам; не выиграет по двум билетам?
4. По данным длительной проверки качества выпускаемых запчастей опреде- ленного вида брак составляет 13%. Определите вероятность того, что в не- проверенной партии из 150 запчастей пригодных будет 128 штук.
5. Вероятность изготовления детали с номинальными размерами равна 0,7.
Вычислите вероятность того, что среди 300 деталей номинальными будут от
200 до 250.
6. Производится тестирование 5 больших интегральных схем (БИС). Вероят- ность того, что БИС неисправна, равна 0,6. Х – число неисправных БИС. Со- ставьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
3 0 при
0,
( )
при
0.
ax
x
f x
e
x


 


Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


1;ln5
. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 9
1. На фабрике станки 1, 2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие оказалось дефектным?
Какова вероятность того, что оно было произведено: а) станком 1; б) станком
2; в) станком 3?
2. Устройство состоит из 1600 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна
0,001. Найдите вероятность того, что за время t откажут не более 4 элемен- тов.
3. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: 8; по крайней мере 8; не менее 8?
4. Производство электронно–лучевых трубок для телевизоров дает в среднем
12% брака. Найдите вероятность наличия 215 годных трубок в партии из 250 штук.
5. Из большой партии продукции, содержащей 70% изделий первого сорта, наугад отбирают 100 изделий. Вычислите вероятность того, что среди ото- бранных будет не менее 50 и не более 90 изделий первого сорта.
6. Пусть Х – число очков, выпавших при бросании двух игральных костей.
Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычисли- те ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое откло- нение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
3,
( )
0,1 при 3
,
0 при
x
f x
x
a
x
a




 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
 
2;5
. Построй- те графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения ( )
f x .