Типовой расчёт по теории вероятностей

• Название: Типовой расчёт по теории вероятностей
• Дата: 23.12.2022
• Размер: 350.32 Kb.
• Имя файла: С-3.pdf
• Тип: Документы; #860362
• страница: 2 из 4

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 10
1. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10%, третьего –
5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин по- ступило 30% телевизоров с 1 завода, 20% – со 2–го и 50% – с 3–го? Если те- левизор исправен, то какой завод вероятнее всего его изготовил?
2. Какова вероятность того, что среди 200 человек будет 6 левшей, если левши в среднем составляют 1%?
3. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определите вероятность того, что из 3 наудачу взятых деталей: 2 окажутся стандартными; стандартными окажутся все 3.
4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Найдите веро- ятность того, что цель будет поражена 100 раз из 320 выстрелов.
5. Вероятность выхода конденсатора из строя в течение времени t равна 0,25.
Вычислите вероятность того, что за этот промежуток времени из имеющихся
150 конденсаторов выйдет из строя от 40 до 80 конденсаторов.
6. Пусть Х – число гербов, полученных при бросании трех монет. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее мате- матическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распре- деления.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
1,
( )
при 1
,
0 при
x
a
f x
x
e
x
x
e




 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


0,9; e . По- стройте графики функций распределения ( )
F x
и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 11
1. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000.
Если деталь бракованная, то какой автомат вероятнее всего ее изготовил?
2. Устройство состоит из 1500 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа каждого из них в течение времени t равна
0,0017. Найдите вероятность того, что за время t откажут от 2 до 4 элементов.
3. В цехе 5 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найдите вероятность того, что в данный момент включено не менее 2 моторов.
4. Устройство состоит из 400 элементов, работающих независимо один от дру- гого. Вероятность отказа любого элемента, проработавшего время t, равна
0,15. Найдите наивероятнейшее количество приборов, которые могут отка- зать через время t и вероятность отказа такого количества.
5. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных.
Найдите вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 700 до 820 год- ных.
6. В ящике 100 шаров, из них 20 синих, 30 черных и 50 красных. Шар выни- мают наугад, фиксируют его цвет и возвращают его в ящик. Проводится 6 таких испытаний. Х – число вынутых черных шаров в этих испытаниях. Со- ставьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
3 0 при
2,
( )
при 2 9,
1 0 при
9.
x
a
f x
x
x
x




 






Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


0,5;6

. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 12
1. В трех урнах имеются белые и черные шары. В первой урне – 3 белых и 1 черный шар, во второй урне – 6 белых и 4 черных шара, в третьей урне – 9 белых и 1 черный шар. Из наугад выбранной урны случайным образом вы- нимается шар. Найдите вероятность того, что он белый. Если извлечен белый шар, то из какой урны вероятнее всего он извлечен?
2. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на 1 веретене в течение 1 мин равна 0,003. Вычислите вероятность того, что в те- чение 1 мин произойдет не более двух обрывов.
3. Вероятность изготовления стандартной детали на автоматическом станке равна 0,9. Найдите вероятность того, что из 8 взятых наудачу деталей не ме- нее 7 окажутся стандартными.
4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,2. Найдите вероятность того, что в 150 испытаниях собы- тие наступит 5 раз.
5. Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево при- живется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что число прижившихся де- ревьев больше 300.
6. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно.
Х – число извлеченных бракованных деталей. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее много- угольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
0,
( )
sin при 0
,
0 при
x
f x
a
x
x
x






 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
;
6 4
 







. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 13
1. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1 и 2 ко- робки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь за- вода № 1 стандартна равна 0,9, а завода № 2 – 0,8. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найдите вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Если извлечена стандартная деталь, то какова вероят- ность того, что она изготовлена: а) заводом № 1; заводом № 2?
2. В зрительном зале находится 400 человек. Какова вероятность того, что среди них имеется 3 левши, если левши в среднем составляют 1%?
3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены станок потребует его внимания, равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют два станка.
4. Фабрика выпускает 75% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что из 300 изделий число первосортных изделий равно 220?
5. Средний процент нарушений работы кинескопа телевизора в течение гаран- тийного срока равен 22. Вычислите вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.
6. При бросании двух игральных костей игрок выигрывает 25 руб., если на обеих костях выпадает по 6 очков; 3 руб. – если на одной кости выпало 6 оч- ков; 1 руб. – если сумма выпавших очков равна 6. Х – размер выигрыша, возможный при одном бросании. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
0,
( )
при 0 1,
1 0 при
1.
x
a
f x
x
e
x
x
e




  
 

 

Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
 
0;1
. Построй- те графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения ( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 14
1. В каждой из урн содержится 2 черных и 8 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен 1 шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны извлечен шар. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный из вто- рой урны, окажется белым. Если извлеченный шар оказался белым, то какова вероятность того, что из первой урны извлечен и переложен во вторую урну: а) белый шар; б) черный шар?
2. Завод отправил партию консервов в 2000 штук. Вероятность того, что кон- сервная банка будет разгерметизирована, равна 0,0035. Какова вероятность того, что разгерметизировано будет не более 5 банок консервов?
3. Вероятность попадания в цель составляет при отдельном выстреле 0,8. Най- дите вероятность от 2 до 4 попаданий при 6 выстрелах.
4. Вероятность изготовления детали с номинальными размерами равна 0,7.
Вычислите вероятность того, что среди 300 деталей номинальными будут
200 деталей.
5. При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.
6. В первой урне содержится 3 белых и 5 черных шаров, во второй урне – 6 белых и 4 черных шара, в третьей урне – 1 белый и 3 черных шара. Из каж- дой урны вынимают по 1 шару. Х – число извлеченных черных шаров. Со- ставьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне- ние, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
0,
( )
sin при 0 2 ,
2 0 при
2 .
x
x
f x
a
x
x






 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
;
2 3
 







. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 15
1. На трех станках в одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть качествен- ной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – если она изготов- лена на втором станке, 0,9 – если она изготовлена на 3 станке. Найдите веро- ятность того, что наугад взятая деталь окажется качественной. Если три слу- чайно взятые детали качественные, то какова вероятность того, что они изго- товлены на третьем станке?
2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найдите вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами при залпе из 3000 орудий.
3. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок в течение 8 часов работы простаивает из–за поломки 0,8 часа, причем остановки в любой момент вре- мени равновероятны. Определите вероятность того, что в данный момент времени простаивают менее 2 станков.
4. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна
0,45. Найдите вероятность того, что среди взятых наудачу 280 деталей поло- вина окажется высшего сорта.
5. В каждой из 1000 урн находится 5000 черных и 5000 белых шаров. Из каж- дой урны извлекаются без возвращения 3 шара. Чему равна вероятность того, что число урн, из которых извлекли одноцветные шары, заключено между
220 и 300?
6. При бросании трех игральных костей игрок выигрывает 18 руб., если на всех костях выпадет 6 очков; 2 руб. – если на двух костях выпадет 6 очков; 1 руб. – если только на одной кости выпадет 6 очков. Х – величина выигрыша в рублях. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
,
4
( )
cos 2
при
,
4 4
0 при
4
x
f x
a
x
x
x




 


 









Найдите: 1) функцию распределения
( )
F x
и необходимые константы; 2) математи- ческое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
;
2 12










. Постройте графики функций распределения
( )
F x
и плотности распределения
( )
f x

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 16
1. Имеется 5 винтовок, из которых 2 с оптическим прицелом. Вероятность по- падания в цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела – 0,8. Найдите вероят- ность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взя- той винтовки. Пусть при двух выстрелах обнаружено одно попадание в цель.
Найдите вероятность того, что стреляли из винтовки с оптическим прицелом.
2. При изготовлении радиоламп в среднем бывает 2% брака. Найдите вероят- ность того, что в партии из 200 ламп не более двух бракованных.
3. Монету бросают 6 раз. Найдите наиболее вероятное число выпадения герба и вероятность появления такого числа гербов.
4. Определите вероятность того, что среди 400 проб руды окажется 275 проб с промышленным содержанием металла, если вероятность промышленного со- держания металла одинакова для каждой пробы и равна 0,7.
5. В цехе имеется 80 станков, работающих независимо друг от друга. Для каж- дого станка вероятность быть включенным равна 0,9. Вычислите вероятность того, что в некоторый момент времени включенными окажутся от 60 до 75 станков.
6. В группе из 5 изделий имеется 1 бракованное. Чтобы его обнаружить, выби- рают наугад одно изделие за другим и проверяют. Х – число извлеченных де- талей до обнаружения бракованной. Составьте закон распределения дискрет- ной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, диспер- сию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоуголь- ник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
,
( )
cos при
,
2 0 при
x
x
f x
a
x
x




 



  




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал 0;
2







. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 17
1. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Веро- ятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05, для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. Какова вероятность того, что в наудачу взятом комплекте перфокарт будет найдена ошибка? Какова вероятность того, что эту ошибку допустит: а) первая перфораторщица; б) вторая перфораторщица?
2. Аппаратура содержит 2000 одинаковых надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна 0,0005. Какова вероятность отказа ап- паратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?
3. В урне 10 черных и 5 белых шаров. Испытание заключается в следующем: извлекается шар, фиксируется его цвет, возвращается в урну и тщательно пе- ремешивается. Какова вероятность того, что в 3 испытаниях белый шар поя- вится 1 раз?
4. Вероятность того, что деталь выйдет из строя после того как она проработа- ла время t, равна 0,25. Чему равно наиболее вероятное число деталей, вы- шедших из строя через время t в партии из 50 деталей? Чему равна вероят- ность появления такого события?
5. Вероятность изготовления детали с номинальными размерами равна 0,7.
Вычислите вероятность того, что среди 300 деталей номинальными будут от
200 до 250.
6. На карточках записаны двузначные числа от 31 до 60. Карточку извлекают из урны, фиксируют, возвращают в урну и тщательно перемешивают. Х – число карточек с цифрой 5 в серии из 4 таких испытаний. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математи- ческое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределе- ния.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
4 0 при
1,
( )
при
1.
x
f x
a
x
x



 


Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
 
0;5
. Построй- те графики функций распределения ( )
F x
и плотности распределения ( )
f x