Типовой расчёт по теории вероятностей

• Название: Типовой расчёт по теории вероятностей
• Дата: 23.12.2022
• Размер: 350.32 Kb.
• Имя файла: С-3.pdf
• Тип: Документы; #860362
• страница: 3 из 4

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 18
1. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьего –
20%, с четвертого – 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго – 0,2%, третьего – 0,25%, четвертого – 0,5%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная. Если по- ступившая на сборку деталь оказалась бракованной, то каким станком веро- ятнее всего она была изготовлена?
2. По данным ОТК в среднем 3% изделий требуют дополнительной регули- ровки. Вычислите вероятность того, что из 200 изделий 4 потребуют допол- нительной регулировки
3. Вероятность изготовления детали первого сорта равна 0,9. Найдите вероят- ность того, что из 6 взятых наудачу деталей первого сорта окажется более 4 деталей.
4. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера, рав- на 0,2. Найдите вероятность того, что из 750 покупателей только 120 потре- буют обувь этого размера
5. Из большой партии продукции, содержащей 70% изделий первого сорта, наугад отбирают 100 изделий. Вычислите вероятность того, что среди ото- бранных будет не менее 50 и не более 90 изделий первого сорта.
6. Имеется 5 патронов. По мишени ведутся выстрелы до первого попадания или пока не будут израсходованы все патроны. Х – число израсходованных патронов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее мате- матическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распре- деления.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения


0 при
10,
( )
10 при 10 11,
0 при
11.
x
f x
a x
x
x





 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


9,15;10,4
. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 19
1. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый за- вод производит 40% продукции, второй – 45%, третий – 15%. В продукции первого завода спешат 80% часов, второго – 70%, третьего – 90%. Какова ве- роятность того, что купленные часы спешат? Если купленные часы спешат, то вероятнее всего на каком заводе они изготовлены?
2. Среди семян ржи 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 500 семян обнаружить 5 семян сорняков?
3. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: 9; по крайней мере 8; не менее 9?
4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Найдите веро- ятность 100 попаданий из 320 выстрелов.
5. Вероятность выхода конденсатора из строя в течение времени t равна 0,25.
Вычислите вероятность того, что за этот промежуток времени из имеющихся
150 конденсаторов выйдет из строя от 40 до 80 конденсаторов.
6. В партии, состоящей из 10 деталей, имеется 4 бракованных. Наугад извле- кают 3 детали. Х – число бракованных деталей среди 3 выбранных. Составь- те закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее ма- тематическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распре- деления.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
0,
( )
sin при 0 2 ,
2 0 при
2 .
x
x
f x
a
x
x






 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
;
3
 






. По- стройте графики функций распределения ( )
F x
и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 20
1. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в 9 находится 2 черных и 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из наугад взятой урны извлечен шар. Чему равна вероятность того, что этот шар оказался белым? Если шар оказался белым, то какова вероятность того, что он извлечен из урны, содер- жащей 5 белых шаров?
2. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице: нет опечаток? не более трех опечаток?
3. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гаран- тийного срока, равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение гарантий- ного срока из 5 телевизоров: не более двух потребуют ремонта; хотя бы 2 по- требуют ремонта.
4. На склад магазина поступают изделия, из которых 90% оказываются высше- го сорта. Найдите вероятность того, что из 400 взятых наудачу изделий 368 окажутся высшего сорта.
5. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных.
Найдите вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 700 до 820 год- ных.
6. Вероятность того, что трамвай подойдет к остановке строго по расписанию, равна 0,7. Х – число трамваев, прибывших по расписанию, из 4 исследуемых.
Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычисли- те ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое откло- нение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
2 ,
( )
cos при
2 2 ,
4 0 при
2 .
x
x
f x
a
x
x




 




 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
4
;
3









. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 21
1. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично,
4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготов- ленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5 вопросов. Какова веро- ятность того, что наудачу выбранный студент ответит на 3 произвольно за- данных вопроса? Найдите вероятность того, что ответивший на вопросы сту- дент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
2. Устройство состоит из 1000 элементов, работавших независимо один от другого. Вероятность отказа каждого из них в течение времени t равна
0,0025. Найдите вероятность того, что за время t откажут ровно 3 элемента.
3. В цехе 4 мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, равна 0,6. Найдите вероятность того, что в данный момент: включено 2 мо- тора; включены все моторы
4. Батарея дала 140 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найдите наивероятнейшее число попаданий и его вероят- ность.
5. Было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево при- живется, равна 0,8. Найдите вероятность того, что число прижившихся де- ревьев больше 300.
6. В лотерее разыгрывается мяч стоимостью 3 руб., шахматы стоимостью 10 руб. и кеды стоимостью 5 руб. Всего билетов 10. Х – величина выигрыша в рублях для лица, имеющего 3 билета. Составьте закон распределения дис- кретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее много- угольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
3 0 при
1,
( )
при 1 3,
0 при
3.
x
a
f x
x
x
x




 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
 
0;2
. Построй- те графики функций распределения ( )
F x
и плотности распределения ( )
f x

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 22
1. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выде- лено из первой группы четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равна соответственно 0,5, 0,4 и
0,3. Какова вероятность того, что наудачу взятый студент попадет в сбор- ную? Если студент попал в сборную, то к какой из трех групп он вероятнее всего принадлежит?
2. Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, рав- на 0,02. Найдите число наиболее вероятное число опоздавших из 855 пасса- жиров. Какова вероятность того, что опоздает меньше 5 пассажиров?
3. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера, рав- на 0,3. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера будет необходима: одному; по крайней мере одному.
4. Пусть вероятность того, что автомат сработает неправильно, равна 0,3. Най- дите наивероятнейшее число случаев неправильной работы автомата при 150 испытаниях. Какова вероятность того, что автомат не сработает такое коли- чество раз?
5. Средний процент нарушений работы кинескопа телевизора в течение гаран- тийного срока равен 22. Вычислите вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.
6. Из урны, содержащей 4 белых и 4 черных шара, последовательно извлекают шары до появления первого белого шара, не возвращая их обратно в урну. Х
– число извлеченных черных шаров. Составьте закон распределения дис- кретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее много- угольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
2 0 при
,
2
( )
cos при
,
2 2
0 при
2
x
f x
a
x
x
x





 




  





Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
;
4 4
 







. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 23
1. На сборку попадают детали, изготовленные тремя автоматами. Известно, что первый автомат дает 0,4%, второй – 0,2% и третий – 0,6% брака. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого авто- мата поступило 500, со второго – 1000 и с третьего – 1250 деталей. Если де- таль оказалась бракованной, то какой из трех автоматов ее вероятнее всего изготовил?
2. Найдите вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бра- кованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.
3. На автобазе имеется 10 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.
4. На факультете 730 студентов. Вероятность того, что студент не придет на занятия, равна 0,1. Найдите наивероятнейшее число студентов, не явившихся на занятия, и вероятность этого события.
5. При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.
6. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из них либо разреша- ет, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Х – число пройденных светофоров до первой остановки. Составьте закон распределе- ния дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожи- дание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
3,
( )
при
3 4,
4 0 при
4.
x
ax
f x
x
e
x
x
e
 



   
 

 

Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x
и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


4;1

. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 24
1. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложен один вынутый наудачу шар в урну, содержащую 4 белых и 5 черных шара. Найдите вероят- ность того, что шар, наудачу вынутый из второй урны, окажется белым. Если вынутый из второй урны шар окажется белым, то какова вероятность того, что из первой урны был переложен: а) белый шар; б) черный шар?
2. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на 1 веретене в течение 1 мин равна 0,003. Вычислите вероятность того, что в те- чение 1 мин произойдет не более двух обрывов.
3. Монету бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет не ме- нее четырех раз.
4. Вероятность случайным образом отобранному изделию оказаться стандарт- ным равна 0,8. Найдите вероятность того, что среди 225 взятых наугад изде- лий 180 окажутся стандартными.
5. В каждой из 1000 урн находится 5000 черных и 5000 белых шаров. Из каж- дой урны извлекаются без возвращения 3 шара. Чему равна вероятность того, что число урн, из которых извлекли одноцветные шары, заключено между
220 и 300?
6. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4, третьим – 0,7. Х – число по- паданий в мишень. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также начертите ее многоугольник распреде- ления и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения


0 при
1,
( )
2 1 при 1 2,
0 при
2.
x
f x
a x
x
x





 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал


0,3;1, 4
. По- стройте графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения
( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 25
1. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Ве- роятности попадания в каждую кассу зависят от их местонахождения и рав- ны соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Вероятности того, что в кассах все билеты проданы, равны соответственно 0,6; 0,9; 0,7. Какова вероятность того, что пассажир приобретет билет? Если пассажир приобрел билет, то в какой из трех касс он вероятнее всего купил билет?
2. В зрительном зале находится 400 человек. Какова вероятность того, что среди них имеется 3 левши, если левши в среднем составляют 1%?
3. Вероятность того, что в партии встретится бракованная деталь, равна 0,2.
Какова вероятность того, что из 5 деталей бракованных будет менее двух?
4. Оптовая база обслуживает 40 магазинов. От каждого из них заявка на това- ры на следующий день может поступить с вероятностью 0,4. Найдите наиве- роятнейшее число заявок на следующий день и вероятность получения базой
6 заявок.
5. В цехе имеется 80 станков, работающих независимо друг от друга. Для каж- дого станка вероятность быть включенным равна 0,9. Вычислите вероятность того, что в некоторый момент времени включенными окажутся от 60 до 75 станков.
6. Имеется 9 радиоламп, среди которых 3 неисправных. Наугад берутся 4 ра- диолампы и проверяются на годность. Х – число неисправных радиоламп.
Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х, вычисли- те ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое откло- нение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
0,
( )
при 0 1,
1 0 при
1.
x
a
f x
x
e
x
x
e




  
 

 

Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
 
0;1
. Построй- те графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения ( )
f x .

Типовой расчёт по теории вероятностей
Вариант 26
1. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 30% и с третьего –
30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали для каждо- го станка соответственно равна 0,01; 0,03; 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь бракована. С какого станка веро- ятнее всего поступит на сборку бракованная деталь?
2. Завод отправил партию консервов в 2000 штук. Вероятность того, что кон- сервная банка будет разгерметизирована, равна 0,0035. Какова вероятность того, что разгерметизировано будет не более 5 банок консервов?
3. Вратарь парирует в среднем 0,3 всех одиннадцатиметровых штрафных уда- ров. Какова вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей?
4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
5. Вероятность изготовления детали с номинальными размерами равна 0,7.
Вычислите вероятность того, что среди 300 деталей номинальными будут от
200 до 250.
6. Производятся последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу после того, как проверяемый прибор оказался надеж- ным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,8. Х – число испытаний, после которых закончится проверка. Составьте закон рас- пределения дискретной случайной величины Х, вычислите ее математиче- ское ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, а также на- чертите ее многоугольник распределения и график функции распределения.
7. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
0 при
3,
( )
0,1 при 3
,
0 при
x
f x
x
a
x
a




 




Найдите: 1) функцию распределения ( )
F x и необходимые константы; 2) мате- матическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
3) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
 
2;5
. Построй- те графики функций распределения ( )
F x и плотности распределения ( )
f x .