Задачи по теории вероятностей. Задачи. Решение Вероятности того, что случайно выбранная деталь была произведена на старой и новой линии равны соответственно
![]()
|
1. Предприниматель производит одинаковые детали на двух производственных линиях. Две пятых продукции сходит со старой линии, при этом 10% выпуска признается браком. Остальные три пятых продукции производятся на новейшей линии, для которой процент брака равен лишь 4%. Какова вероятность того, что оказавшаяся бракованная деталь была выпущена на старой производственной линии? Решение: Вероятности того, что случайно выбранная деталь была произведена на старой и новой линии равны соответственно: ![]() Условные вероятности того, что деталь, выпущенная на соответствующей линии, - бракованная, равны: ![]() По формуле полной вероятности находим вероятность того, что что случайно выбранная деталь окажется бракованной: ![]() И вероятность того, что оказавшаяся бракованная деталь была выпущена на старой производственной линии, находим по формуле Байеса: ![]() 2. Известно, что 60% щенков собак определенной породы имеют черные глаза. Цвет глаз одного щенка не зависит от цвета глаз другого. Какова вероятность того, что в помете из девяти щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза? Решение: Вероятность того, что щенок имеет глаза черного цвета: ![]() Т.к. цвет глаз одного щенка не зависит от цвета глаз другого, и вероятность иметь глаза черного цвета – постоянна, то имеем испытания по схеме Бернулли, вероятности в которой находятся по одноименной формуле: ![]() В нашем случае ![]() Находим вероятности того, что в помете из девяти щенков только у 0, 1 и 2 щенков будут глаза черного цвета: ![]() ![]() ![]() И вероятность того, что в помете из девяти щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза как вероятность события, противоположного событию «из девяти щенков менее трети будет иметь черные глаза»: ![]() ![]() 3. Студенты Артемов и Белов стоят в очереди в раздевалку. Всего в очереди 6 человек. Случайная величина ![]() 1) Составить таблицу распределения ![]() 2) Найти математическое ожидание ![]() ![]() 3) Построить график функции распределения ![]() 4) Найти вероятность ![]() Решение: Количество способов, которыми можно расставить 6 человек в очередь равно числу перестановок из 6 человек. Число студентов, стоящих между Артемовым и Беловым, может принимать значение от 0 до 4. Вычислим соответствующие вероятности: - ![]() ![]() - ![]() ![]() Остальные вероятности вычисляем из аналогичных соображений: ![]() ![]() ![]() Проверяем правильность вычислений: ![]() Получили следующую таблицу распределения ![]()
Вычислим числовые характеристики: - математическое ожидание: ![]() - дисперсия: ![]() Вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного интервала: ![]() Функция распределения выражает вероятность того, случайная величина примет значение, меньшее ![]() ![]() Поэтому имеем: ![]() Графически: ![]() 4. Считая, что ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: Плотность нормально распределенной случайной величины с параметрами ![]() ![]() ![]() Т.е. в нашем случае математическое ожидания и дисперсия равны соответственно: ![]() А неизвестный коэффициент ![]() ![]() Т.е. функция плотности распределения имеет вид: ![]() Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала ![]() ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() |