11.05.2023.Пр.р.15.Вычисление интервальной оценки, доверительног. Практическая работа в форме практической подготовки 15

• Название: Практическая работа в форме практической подготовки 15
• Дата: 15.05.2023
• Размер: 78.16 Kb.
• Имя файла: 11.05.2023.Пр.р.15.Вычисление интервальной оценки, доверительног.docx
• Тип: Практическая работа; #1130333

Здравствуйте, ребята. Вот тема на сегодня.

Практическая работа в форме практической подготовки №15. Вычисление интервальной оценки, доверительного интервала, уровня значимости, доверительной вероятности.

Напишите конспект.

Для изучения генеральной совокупности объёма   из неё производится выборка, состоящая из   элементов, которая хорошо характеризует всю совокупность. И на основании исследования этой выборочной совокупности с высокой достоверностью можем оценить генеральные  характеристики. Чаще всего требуется выявить закон распределения генеральной совокупности и оценить его числовые параметры, такие как генеральная средняя  , генеральная дисперсия   и среднее квадратическое отклонение  .

Для оценки этих параметров нужно вычислить соответствующие выборочные значения. Так, выборочная средняя   позволяет нам оценить генеральную среднюю  . Несмещённой точечной оценкой генеральной дисперсии   является исправленная выборочная дисперсия  , и стандартного отклонения   – исправленное стандартное отклонение  .

Справка:   – греческая буква «тета»,   – греческая буква «дельта».

Значение   называется точностью оценки, и можно записать с помощью модуля:


Обозначение: точность оценки также обозначают через   («эпсилон»).

Но статистические методы не позволяют 100%-но утверждать, что рассчитанное значение   будет удовлетворять этому неравенству – ведь в статистике всегда есть место случайности. Таким образом, можно говорить лишь о вероятности  , с которой это неравенство осуществится:  .

Теперь  раскроем модуль:


Интервал   называется доверительным интервалом и представляет собой интервальную оценку генерального значения   по найденному выборочному значению  . Данный интервал с вероятностью   «накрывает» истинное значение  . Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки

Надёжность «гамма» часто задаётся наперёд, популярные варианты 

Пример 1

Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением  . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания    с надежностью 0,95, если выборочная средняя  , а объем выборки  .

здесь известно стандартное отклонение   генеральной совокупности.

– из генеральной совокупности попугаев проведена выборка в   особей и по её результатам найдена выборочная средняя:   .

Выборочная средняя – это точечная оценка неизвестной нам генеральной средней  Недостаток точечной оценки состоит в том, что она может  оказаться далёкой от истины. И по условию, требуется найти интервал  , которой с вероятностью   накроет истинное значение  . Здесь будет неверным сказать, что   попадёт в этот интервал.

Точность оценки рассчитывается по формуле  , где   – коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения  , где   – функция Лапласа.

В данном случае  , следовательно:


И по таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным макетом, выясняем, что значению    соответствует аргумент  .

Таким образом, точность оценки:

и искомый доверительный интервал:


Этот интервал с вероятностью    (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение   . Но всё же остаётся 5%-ная вероятность, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.

Ответ:  .

Пример 2

В результате 10 независимых измерений некоторой величины  , выполненных с одинаковой точностью, полученные опытные данные, которые представлены в таблице:


Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины   при помощи доверительного интервала, покрывающего это значение с доверительной вероятностью 0,95.

Решение следует начать с вычисления выборочных характеристик:   и  . По условию, требуется оценить генеральную совокупность (а именно, параметр  ), и поэтому дисперсию нужно обязательно поправить:
 – несмещённая оценка неизвестной генеральной дисперсии  . И нас будет интересовать несмещённая оценка генерального стандартного отклонения  :

 – исправленное среднее квадратическое отклонение.

Теперь построим доверительный интервал для оценки истинного (генерального) значения   величины  .

Если генеральное стандартное отклонение   не известно

, то этот интервал строится по похожей формуле:

, с той поправкой, что коэффициент доверия   рассчитывается с помощью распределения Стьюдента.

Вычислим точность оценки:


Таким образом, искомый доверительный интервал:

 – данный интервал с вероятностью   накрывает истинное значение   измеряемой величины  .

Ответ: 

Пример 3

По   равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение  . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения   (генерального стандартного отклонения) с надёжностью  .

Решение: Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии   нормально распределённой генеральной совокупности определяется следующим образом:
, где   – распределение «хи-квадрат», а  ,   – его критические значения, вычисленные для  , 

Данный интервал с вероятностью   (надёжностью) накрывает истинное значение  . И если из всех частей неравенства извлечь корни, то получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения:


Значения   известны, и вычислим:

и теперь, по таблице критических значений распределения    находим:


Получены различные значения, и наш доверительный интервал будет асимметричным (ввиду асимметрии распределения «хи-квадрат»):
 – не забываем извлечь корни из знаменателей!
 – таким образом, с вероятностью   можно утверждать, что данный интервал накроет генеральное стандартное отклонение  .

Ответ: 1)  , 2)  .

Пример 4

В результате обработки  экспериментальных данных объёма   мы получили следующие выборочные характеристики:  .

В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью   определить доверительные интервалы:

1) для оценки неизвестной генеральной средней  ;

2) для оценки генерального среднего квадратического отклонения   двумя способами – с помощью распределения хи-квадрат:   и приближённо, по формуле  , где  .

И заметьте, что здесь «плакал» лёгкий способ построения интервала  , так как в стандартной таблице отсутствуют значения для  .

 Решение: вычислим исправленное среднеквадратическое отклонение:


1) Определим  доверительный интервал  , где  .
Для уровня доверительной вероятности   и объёма выборки   по соответствующей таблице найдём  .
Вычислим точность оценки:

Таким образом:

 – с вероятностью   данный интервал накроет генеральное среднее значение  .

2) Найдём доверительный интервал для генерального стандартного отклонения  .

а) С помощью распределения   :


Вычислим   и с помощью соответствующей функции Экселя  найдём:


Таким образом:

 – искомый интервал, накрывающий генеральное значение   с вероятностью  .

б) Дадим интервальную оценку приближенно, с помощью формулы:

Коэффициент доверия найдём из соотношения  . В данном случае:
, и с помощью таблицы , выясняем, что  .
Таким образом:

 – искомый интервал.

Ответ:
1)  ,
2)   с помощью распределения   и   приближённо.
Задание на дом.

По результатам выборочного исследования   объектов найдена выборочная средняя  .

1) С какой вероятностью можно утверждать, что генеральная средняя отличается от найденного значения менее чем на 3, если известно, что генеральная совокупность распределения нормально с дисперсией 400?

2) Определить доверительный интервал, который с надежностью   накроет истинное значение генеральной средней.