Приближенные числа. Приближенные числа и действия над ними

• Название: Приближенные числа и действия над ними
• Анкор: Приближенные числа
• Дата: 09.05.2022
• Размер: 139.05 Kb.
• Имя файла: 1._priblizhennye_chisla_i_deystviya_nad_nimi.docx
• Тип: Решение; #518312

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1. 
   Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
   
2. 
   Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений.
   
3. 
   Вычисление погрешностей величин и арифметических действий
   
4. 
   Методы оценки погрешности приближенных вычислений
   

1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.

Пусть X - точное значение некоторой величины, а х - наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:

(1)

Величина е_х, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число для которого справедливо неравенство

(2)

Число в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности е_хэтого числа.

Пример: Возьмем число . Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10^-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , используемого МК вместо числа

Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:

(3)

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

(4)

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГ_Х= 5,2, ВГ_Х = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГ_Хи ВГ_Х,

т.е.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки е_хк модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

(5)

Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсо­лютную погрешность через относительную:

(6)

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то |π-3,14|<0,0015927<0,0016= по формуле связи получаем таким образом

2. Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная

Пример: А). Пусть 0 = 2,91385, В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592... число = 3,142. Тогда (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются вер­ными.

В) Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку



Рис. Приближение числа π

разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель в подобной ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.

Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять т.е. а = 16,784±0,001.

Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи = 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Пример а) 0,2409 - четыре значащие цифры; б) 24,09 - четыре значащие цифры; в) 100,700 - шесть значащих цифр.

Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х -данное число, а х₁ - результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

(7)

В отдельных случаях вместо ∆_окр приходится использовать его верхнюю оценку.

Пример Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Правила записи приближенных чисел.

1. 
   Приближенные числа записываются в форме х ± х. Запись X = х ± x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам: x-x <= X <= x+x
   

При этом погрешность х рекомендуется подбирать так, чтобы

а) в записи х было не более 1-2 значащих цифр;

б) младшие разряды в записи чисел х и х соответствовали друг другу.

Примеры: 23,4±0,2 ; 2,730±0,017 ; -6,970,10.

2. 
   Приближенное число может быть записано без явного указания его предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его записи (мантиссе) должны при­сутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.
   

Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200 в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.

Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в за­писи чисел промежуточных результатов для сохранения точности вычислений. В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.

Округление чисел.

1. 
   Правило округления. Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В проти­вном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
   
2. 
   При округлении числа, записанного в форме х±х, его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.
   

Пример: Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05 , так как погрешность округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления. В данном слу­чае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511 . Округлять погрешности все­гда следует с избытком, поэтому окончательный ответ: 4,54±0,06.
Пример Пусть в приближенном значении а = 16,395 все циф­ры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a₁ = 16,40. Погрешность округления Для нахождения полной погрешности , нужно сложить c погрешностью исходного значения а₁ которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, . Отсюда следует, что в значении a₁ = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

3. Вычисление погрешностей арифметических действий

1. Сложение и вычитание. Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма со­ответствующих погрешностей слагаемых:

Ф.1 (X+Y) = Х + Y , (X-Y) = Х + Y .

Пример. Даны приближенные числа Х = 34,38 и Y = 15,23 , все цифры верны в строгом смысле. Найти (X-Y) и (X-Y). По формуле Ф.1 получаем:

(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.

О
тносительную погрешность получим по формуле связи:
2. Умножение и деление. Если Х << |Х| и Y << |Y|, то имеет место следующая формула:

Ф.2 (X · Y) = (X/Y) = X + Y.

П
ример. Найти (X·Y) и (X·Y) для чисел из предыдущего примера. Сначала с по­мощью формулы Ф.2 найдем (X·Y):

(X·Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048
Теперь (X·Y) найдем с помощью формулы связи:

(X·Y) = |X·Y|·(X·Y) = |34,38 -15,23|·0,00048  0,26 .

3. Возведение в степень и извлечение корня. Если Х << |Х| , то справедливы формулы

Ф.З

4. Функция одной переменной.

П
усть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ± с. Тогда, обозначая через  малое приращение аргумента, можно написать
Если f '(с)  0, то приращение функции f(с+) - f(c) можно оценить ее диффе­ренциалом:

f(c+) - f(c)  f '(c) ·.

Если погрешность с достаточно мала, получаем окончательно следующую форму­лу:

Ф.4 f(c) = |f '(с)|· с .

Пример. Даны f(x) = arcsin x , с = 0,5 , с = 0,05 . Вычислить f(с).

П рименим формулу Ф.4:

и т. д.

5. Функция нескольких переменных.

Для функции нескольких переменных f(x1, ... , хn) при xk= ck ± ck справед­лива формула, аналогичная Ф.4:

Ф.5 f(c1, ... ,сn)  l df(c1, ... ,сn) | = |f 'x1 (с1)|·с1+... + |f 'xn (сn)|· сn.

Пример Пусть х = 1,5, причем т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Вычислим значение tg x. С помощью МК получаем: tgl,5= 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность: отсюда следует, что в полученном значении tgl,5 ни одну цифру нельзя считать верной.

4. Методы оценки погрешности приближенных вычислений

Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вычислений.

1. Строгий метод итоговой оценки. Если приближенные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с помощью формул Ф.1-Ф.5 и формул связи погрешностей можно вывести формулу итоговой погрешности вычислений. Вывод форму­лы и оценка погрешности вычислений с ее помощью составляют суть данного мето­да.

Пример Значения a = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения

С помощью МК получаем В = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:

т.е.



Пользуясь МК, получим 5, что дает . Это означает, что в результате две цифры после запятой верны в строгом смысле: В=0,29±0,001.

2. Метод строгого пооперационного учета погрешностей. Иногда попытка примене­ния метода итоговой оценки приводит к слишком громоздкой формуле. В этом слу­чае более целесообразным может оказаться применение данного метода. Он заклю­чается в том, что оценивается точность каждой операции вычислений отдельно с помощью тех же формул Ф.1-Ф.5 и формул связи.

3. Метод подсчета верных цифр. Данный метод относится к нестрогим. Оценка точ­ности вычислений, которую он дает, в принципе не гарантирована (в отличие от строгих методов), но на практике является довольно надежной. Суть метода заключается в том, что после каждой операции вычислений в полученном числе определяется количество верных цифр с помощью нижеследующие правил.

П.1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых.

П.2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед выполнением этих действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством знача­щих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну знача­щую цифру больше него.

П.З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе.

П.4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10k (k - целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то - больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для определенности примем соглашение считать модуль, производной близким к 10k , если имеет место нера­венство:

0,2·10K < |f '(X) |  2·10k .

П.5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну сом­нительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений. В окончательном результате оставляют только верные цифры.
Вычисления по методу границ

Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений - метод границ.

Пусть f(x, у) - функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b-приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

НГa<a<ВГa; НГbВГb.

Здесь НГ, ВГ - обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.

Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

f(НГ_а, НГ_b< f(a, b)<f(ВГ_a ВГ_b).

Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство

f(НГ_a ВГ_b)< f(a, b)< f(ВГ_a, НГ_b).

Указанный принцип особенно очевиден для основных арифметических действий. Пусть, например, f(x, у)=х + у. Тогда очевидно, что

НГа+НГb<а + b<ВГa+ВГb.

Точно так же для функции f₂(x, у) = х-у (она по х возрастает, а по у убывает) имеем

НГа-НГb<а - b<ВГa-ВГb.

Аналогично для умножения и деления:

	НГа*НГb<а * b<ВГa*ВГb.
	НГа/ВГb<а / b<ВГa/НГb.

Пример. Вычислите значение где 2,57<=x<=2,58; 1,45<=y<=1,46; 8,33<=z<=8,34

Действие	Содержимое	НГ	ВГ
1	X	2.57	2.58
2	Y	1.45	1.46
3	Z	8.33	8.34
4	x+y	4.02	4.04
5	x-y	1.11	1.13
6	(x-y)z	9.24	9.43
7		2.28	2.35

Пример. В табл. приведены вычисления по формуле методом границ. Нижняя и верхняя границы значений a и bопределены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b= 0,927 все цифры верны в строгом смысле (∆a = ∆b = 0,0005), т.е. 2,1555<а<2,1565; 0,9265<b<0,9275.

	a	b	ea			b2	a+b2		A
НГ	2,1555	0,9265	8,63220	0,96255	9,59475	0,85840	3,01434	1,10338	8,6894
ВГ	2,15,65	0,9275	8,64084	0,96307	9,60391	0,86026	3,01676	1,10419	8,7041

Рис. Связь между абсолютной погрешностью и границами

Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет следующий вид:

8,6894 <А< 8,7041.