отчет по практической 6. ИИТ ФТИ Пр_9. Занятие 9 Комплексные числа и действия над ними
 Скачать 386.42 Kb.
|
|
1 Практическое занятие 9 Комплексные числа и действия над ними Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, где𝑥и𝑦 – действительные числа,𝑖 – мнимая единица, определяемая условием𝑖 2 = −1. Числа𝑥 и𝑦называются соответственно действительной и мнимой ча- стями комплексного числа𝑧и обозначаются 𝑥 = Re𝑧,𝑦 = Im𝑧. Такое представление комплексного числа 𝑧 называется алгебраической фор- мой комплексного числа. Комплексное число 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 называется сопряженным комплексному числу 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. 𝑧 ∙ 𝑧 = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦 ) = 𝑥 2 − (𝑖𝑦) 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 Пример 1. Даны два комплексных числа: 𝑧 1 = 1 + 𝑖, 𝑧 2 = 2 − 3𝑖. Найти 𝑧 1 + 𝑧 2 , 𝑧 1 − 𝑧 2 , 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 , 𝑧 1 𝑧 2 𝑧 1 + 𝑧 2 = 3 − 2𝑖 𝑧 1 − 𝑧 2 = −1 + 4𝑖 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 = (1 + 𝑖)(2 − 3𝑖) = 2 + 2𝑖 − 3𝑖 − 3𝑖 2 = 5 − 𝑖 𝑧 1 𝑧 2 = 1 + 𝑖 2 − 3𝑖 = (1 + 𝑖)(2 + 3𝑖) (2 − 3𝑖)(2 + 3𝑖) = 2 + 2𝑖 + 3𝑖 + 3𝑖 2 4 + 9 = −1 + 5𝑖 13 = − 1 13 + 5 13 𝑖 2 Комплексное число 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 изобража- ется на плоскости 𝑥𝑂𝑦 точкой 𝑀 с коорди- натами (𝑥, 𝑦), либо вектором 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 , начало которого находится в точке 𝑂(0,0), а конец в точке 𝑀(𝑥, 𝑦) ( 𝑟 – радиус-вектор из начала координат). И наоборот, каждой точке 𝑀(𝑥, 𝑦) соответ- ствует одно комплексное число 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Сопряженные числа на комплексной плоскости расположены симметрично относительно оси OX. Определение 2. Длина вектора(𝑶𝑴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )называется модулем комплексного числа и обозначается |𝒛| = 𝒓 = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 Определение 3. Угол𝜑,образованный вектором𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ с положительным направлением оси 𝑂𝑋,называется аргументом комплексного числа𝑧 и обозначается𝜑 = 𝐴𝑟𝑔𝑧;определяется с точностью до слагаемого 2𝜋𝑘(𝑘 = 0, ±1, . . . ): 𝐴𝑟𝑔𝑧 = 𝑎𝑟𝑔𝑧 + 2𝜋𝑘, (𝑘 = 0, ±1, ±2, . . . ) где𝑎𝑟𝑔𝑧есть главное значение 𝐴𝑟𝑔𝑧,определяемое условиями −𝜋 < 𝑎𝑟𝑔𝑧 ≤ 𝜋. В зависимости от положения точки на комплексной плоскости, 𝑎𝑟𝑔𝑧 = [ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥 , если z в I , IV четверти, 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 | 𝑦 𝑥 | , если z во II четверти, −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 | 𝑦 𝑥 | , если z в III четверти, 0, если x>0, y=0, 𝜋, если x<0, y=0, 𝜋 2 , если x=0, y>0, −𝜋 2 , если x=0, y<0. 3 Тригонометрическая форма комплексного числа Любое комплексное число 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (𝑧 ≠ 0) можно записать в тригоно- метрической форме 𝑧 = |𝑧| ∙ ( 𝑥 |𝑧| + 𝑖 𝑦 |𝑧| ) = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑), где 𝑟 = |𝑧|, 𝜑 = 𝑎𝑟𝑔𝑧. Показательная форма записи комплексного числа Используя формулу Эйлера 𝑒 𝑖𝜑 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑, получаем 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) = 𝑟𝑒 𝑖𝜑 , где 𝑟 = |𝑧|, 𝜑 = 𝑎𝑟𝑔𝑧 . Пример 2. Представить число в тригонометрической и показательной форме: 1) 𝑧 1 = 2 + 2𝑖. I четверть. |𝑧 1 | = √2 2 + 2 2 = 2√2, 𝑎𝑟𝑔𝑧 1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = 𝜋 4 , 𝜑 = 𝑎𝑟𝑔𝑧 1 = 𝜋 4 𝑧 1 = 2 + 2𝑖 = 2√2 (𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 4 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( 𝜋 4 )) = 2√2𝑒 𝑖 𝜋 4 2) 𝑧 2 = −3 + 3𝑖 3) 𝑧 3 = −√3 − 𝑖 4) 𝑧 4 = 2 − 2√3𝑖 5) 𝑧 5 = 3 6) 𝑧 6 = 2𝑖 7) 𝑧 7 = −1 8) 𝑧 8 = −3𝑖 Ответы: 𝑧 2 = −3 + 3𝑖 = 3√2 (𝑐𝑜𝑠 ( 3𝜋 4 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( 3𝜋 4 )) = 3√2𝑒 𝑖 3𝜋 4 𝑧 3 = −√3 − 𝑖 = 2 (𝑐𝑜𝑠 (− 5𝜋 6 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (− 5𝜋 6 )) = 2𝑒 𝑖(− 5𝜋 6 ) 𝑧 4 = 2 − 2√3𝑖 = 4 (𝑐𝑜𝑠 (− 𝜋 3 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (− 𝜋 3 )) = 4𝑒 𝑖(− 𝜋 3) 𝑧 5 = 3 = 3(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) = 3𝑒 𝑖∙0 4 𝑧 6 = 2𝑖 = 2 (𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 ) = 2𝑒 𝑖 𝜋 2 𝑧 7 = −1 = 1(𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜋) = 𝑒 𝑖𝜋 𝑧 8 = −3𝑖 = 3 (𝑐𝑜𝑠 (− 𝜋 2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (− 𝜋 2 )) = 3𝑒 𝑖(− 𝜋 2) Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной формах. Пусть 𝑧 1 = 𝑟 1 (𝑐𝑜𝑠𝜑 1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑 1 ) = 𝑟 1 𝑒 𝑖𝜑 1 , 𝑧 2 = 𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠𝜑 2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑 2 ) = 𝑟 2 𝑒 𝑖𝜑 2 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑟 1 𝑟 2 [𝑐𝑜𝑠(𝜑 1 + 𝜑 2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑 1 + 𝜑 2 )] = 𝑟 1 𝑟 2 𝑒 𝑖(𝜑 1 +𝜑 2 ) 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑟 1 𝑟 2 [𝑐𝑜𝑠(𝜑 1 − 𝜑 2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑 1 − 𝜑 2 )]= 𝑟 1 𝑟 2 𝑒 𝑖(𝜑 1 −𝜑 2 ) Возведение комплексного числа 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) в натуральную сте- пень 𝑛 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos (𝑛𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜑)) = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜑 Корень n-й степени из комплексного числа 𝑧 ≠ 0 √𝑧 𝑛 = √𝑟 𝑛 (𝑐𝑜𝑠 𝜑+2𝜋𝑘 𝑛 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜑+2𝜋𝑘 𝑛 ), 𝑘 = 0,1,2, . . . , 𝑛 − 1. Пример 3. Даны два комплексных числа: 𝑧 1 = −2 + 2𝑖, 𝑧 2 = √3 − 𝑖. Вычислить: (z 1 z 2 ) 4 |𝑧 1 | = 2√2, 𝜑 1 = 𝑎𝑟𝑔𝑧 1 = 3𝜋 4 | 𝑧 2 | = 2, 𝜑 2 = 𝑎𝑟𝑔𝑧 2 = − 𝜋 6 𝑧 1 𝑧 2 = 4√2 (𝑐𝑜𝑠 ( 3𝜋 4 + (− 𝜋 6 )) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( 3𝜋 4 + (− 𝜋 6 ))) = = 4√2 (𝑐𝑜𝑠 ( 7𝜋 12 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( 7𝜋 12 )) (z 1 z 2 ) 4 = 1024 (𝑐𝑜𝑠 ( 7𝜋 3 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( 7𝜋 3 )) = 1024 (𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 3 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( 𝜋 3 )) = 5 = 1024 ( 1 2 + 𝑖 √3 2 ) = 512 + 𝑖512√3 = 1024𝑒 𝑖 𝜋 3 Пример 4. Даны два комплексных числа: 𝑧 1 = −1 − √3𝑖, 𝑧 2 = 1 + 𝑖. Вычислить: (z 1/ z 2 ) 6 |𝑧 1 | = 2, 𝜑 1 = −𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√3 = − 2𝜋 3 | 𝑧 2 | = √2, 𝜑 2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = 𝜋 4 𝑧 1 𝑧 2 = 2𝑒 −𝑖 2𝜋 3 √2𝑒 𝑖 𝜋 4 = √2𝑒 𝑖(− 2𝜋 3 − 𝜋 4 ) = √2𝑒 𝑖(− 11𝜋 12 ) (z 1/ z 2 ) 6 = 2 3 𝑒 𝑖(− 11𝜋 2 ) = 8𝑒 𝑖 𝜋 2 = 8 (𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 ) = 8𝑖 Пример 5. Вычислить √8 3 Решение: Число 8 лежит на действительной оси: |8| = √(8) 2 + 0 2 = 8, 𝜑 = 0. √8 3 = (𝑐𝑜𝑠 0+2𝜋𝑘 3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 0+2𝜋𝑘 3 ) = 2 (𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘 3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑘 3 ), 𝑘 = 0,1,2. Полагая последовательно 𝑘 = 0,1,2, выпишем все корни 𝑘 = 0: 𝑧 0 = 2(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) = 2, 𝑘 = 1: 𝑧 1 = 2 (𝑐𝑜𝑠 2𝜋 3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 2𝜋 3 ) = 2 (− 1 2 + 𝑖 √3 2 ) = −1 + 𝑖√3, 𝑘 = 2: 𝑧 2 = 2 (𝑐𝑜𝑠 4𝜋 3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 4𝜋 3 ) = 2 (− 1 2 − 𝑖 √3 2 ) = −1 − 𝑖√3, Пример 6. Решить уравнение: 1) 𝑧 6 + 1 = 0. Решение: 𝑧 6 = −1 𝑧 = √−1 6 |−1| = 1, 𝜑 = 𝜋. z = √−1 6 = √1 6 (𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 2𝜋𝑘 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 + 2𝜋𝑘 6 ) , 𝑘 = 0,1,2,3,4,5. 𝑘 = 0: 𝑧 0 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 = √3 2 + 𝑖 1 2 , 6 𝑘 = 1: 𝑧 1 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 = 𝑖, 𝑘 = 2: 𝑧 2 = 𝑐𝑜𝑠 5𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 5𝜋 6 = − √3 2 + 𝑖 1 2 , 𝑘 = 3: 𝑧 3 = 𝑐𝑜𝑠 7𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 7𝜋 6 = − √3 2 − 𝑖 1 2 , 𝑘 = 4: 𝑧 4 = 𝑐𝑜𝑠 9𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 9𝜋 6 = −𝑖, 𝑘 = 5: 𝑧 5 = 𝑐𝑜𝑠 11𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 11𝜋 6 = √3 2 − 𝑖 1 2 2) ( 1 − 𝑖)𝑧 3 + 1 + 𝑖 = 0 𝑧 3 = − 1 + 𝑖 1 − 𝑖 = − √2𝑒 𝑖 𝜋 4 √2𝑒 𝑖(− 𝜋 4) = (−1)𝑒 𝑖 𝜋 2 = 𝑒 𝑖𝜋 𝑒 𝑖 𝜋 2 = 𝑒 𝑖 3𝜋 2 𝑧 3 = 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 3𝜋 2 = 𝑐𝑜𝑠 (− 𝜋 2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (− 𝜋 2 ) = −𝑖 𝑧 = √−𝑖 3 = 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝜋 2 + 2𝜋𝑘 3 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 ( − 𝜋 2 + 2𝜋𝑘 3 ) , 𝑘 = 0,1,2 𝑘 = 0: 𝑧 0 = 𝑐𝑜𝑠 (− 𝜋 6 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (− 𝜋 6 ) = √3 2 − 𝑖 1 2 , 𝑘 = 1: 𝑧 1 = 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 3𝜋 6 = 𝑖, 𝑘 = 2: 𝑧 2 = 𝑐𝑜𝑠 7𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 7𝜋 6 = − √3 2 − 𝑖 1 2 3) 𝑧 2 − 2𝑖𝑧 + 3 = 0 𝑧 1,2 = 2𝑖 ± √−4 − 4 ∙ 3 2 = 2𝑖 ± √−16 2 = 𝑖 ± 2𝑖 7 𝑧 1 = 3𝑖, 𝑧 2 = −𝑖 4) 𝑧 4 + 5𝑧 2 − 36 = 0 𝑧 2 = 𝑡 𝑡 2 + 5𝑡 − 36 = 0 𝑡 1,2 = −5 ± √25 − 4(−36) 2 = −5 ± 13 2 𝑡 1 = 4, 𝑧 2 = 4, 𝑧 1,2 = ±2 𝑡 2 = −9, 𝑧 2 = −9, 𝑧 1,2 = ±3𝑖 5) 𝑧 6 − 2𝑖𝑧 3 − 1 = 0 𝑧 3 = 𝑡 𝑡 2 − 2𝑖𝑡 − 1 = 0 𝑡 1,2 = 2𝑖 ± √−4 − 4(−1) 2 = 2𝑖 2 = 𝑖 (𝐼𝐼) 𝑧 3 = 𝑖 𝑧 = √𝑖 3 = √𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 3 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 2𝜋𝑘 3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 + 2𝜋𝑘 3 , 𝑘 = 0,1,2 𝑧 0 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 = √3 2 + 1 2 𝑖 𝑧 1 = 𝑐𝑜𝑠 5𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 5𝜋 6 = − √3 2 + 1 2 𝑖 𝑧 3 = 𝑐𝑜𝑠 9𝜋 6 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 9𝜋 6 = −𝑖 Уравнение 6-й степени имеет 3 различных корня, каждый из них имеет кратность 2. 8 Изображение множеств на комплексной плоскости Изобразить на комплексной плоскости линии и области, заданные уравнени- ями и неравенствами. Пример 7. |𝑧 − 2 + 𝑖| = 3 Пример 8. |𝑧 − 𝑖| < 3 Пример 9. {1 < |𝑧| < 3 𝐼𝑚𝑧 < 0 Пример 10. { |𝑅𝑒𝑧| < 1 |𝐼𝑚𝑧| < 2 Пример 11. 𝑅𝑒𝑧 + 𝐼𝑚𝑧 > 0 Пример 12. 𝑅𝑒𝑧 2 = 9 Пример 13. 𝐼𝑚 ( 1 𝑧 ) < 1 2 Ответы. Пример 7. |𝑧 − 2 + 𝑖| = 3. Окружность с центром в точке 2 − 𝑖 и радиусом 3. Пример 8. |𝑧 − 𝑖| < 3. Круг (без границы) с центром в точке I и радиусом 3. Пример 9. {1 < |𝑧| < 3 𝐼𝑚𝑧 < 0 . Часть кольца между окружностями радиуса 1 и 3 с центром в начале координат, без границ, расположенная в нижней полуплос- кости. Пример 10. { |𝑅𝑒𝑧| < 1 |𝐼𝑚𝑧| < 2 ⇔ { |𝑥| < 1 |𝑦| < 2 . Прямоугольник без границ, образуемый прямыми 𝑥 = ±1, 𝑦 = ±2. Пример 11. 𝑅𝑒𝑧 + 𝐼𝑚𝑧 > 0 ⇔ 𝑥 + 𝑦 > 0 ⇔ 𝑦 > −𝑥. Полуплоскость выше прямой 𝑦 = −𝑥, без границы. Пример 12. 𝑅𝑒𝑧 2 = 9 ⇔ 𝑥 2 − 𝑦 2 = 9 ⇔ 𝑥 2 9 − 𝑦 2 9 = 1 − гипербола. Пример 13. 𝐼𝑚 ( 1 𝑧 ) < 1 2 9 𝐼𝑚 ( 1 𝑧 ) = 𝐼𝑚 1 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝐼𝑚 𝑥 − 𝑖𝑦 (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝐼𝑚 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 = − 𝑦 x 2 + y 2 − 𝑦 x 2 +y 2 < 1 2 x 2 +y 2 +2y>0 x 2 +(y+1) 2 >1 Задачи для самостоятельного решения 1. Найти ( −√3+𝑖 −3−3𝑖 ) 12 2. Решить уравнения а) 𝑧 2 − 2 + 2√3𝑖 = 0 b) 𝑧 4 + 81 = 0 Домашнее задание: типовой расчет стр. 21-22 задачи 1.15, 1.16, 1.17. Задача 1.18 (№1-4). |