000286e3-23b313af с изменением. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

• Название: Различные способы доказательства теоремы Пифагора
• Дата: 23.04.2023
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: 000286e3-23b313af с изменением.docx
• Тип: Анализ; #1082749

МКОУ-СОШ №1

Проект

«Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

Выполнила ученица 9 класса

МКОУ- СОШ №1

Юрьева Ирина

Учитель математики предметник:Ляпунова Д.Ю.

2021-2022

СОДЕРЖАНИЕ.

Обоснование……………………………………………………………3

Цели……………………………………………………………………..3

Задачи…………………………………………………………………...3

Введение………………………………………………………………..4

Теорема Пифагора……………………………………………………..6

Анализ доказательств………………………………………………….8

Практическое применение…………………………………………...17

Заключение……………………………………………………………20

Используемые источники и литература…………………………….20

ОБОСНОВАНИЕ:

Теорема Пифагора является одной из важнейших теорем курса геометрии 8 класса. Она возникла из потребности человека выполнять измерения на местности, применяется при доказательстве других теорем, решении многих задач. Теорема известна с древнейших времен. На уроке мы рассмотрели один из способов ее доказательства. От учителя я узнала, что существует более 300 способов доказательства. Я заинтересовалась и решила найти уже известные способы доказательства этой уникальной теоремы.

ЦЕЛИ ПРОЕКТА:

1. 
   Расширить свои знания по истории математики.
   
2. 
   Узнать больше информации, легенд, мифов о Пифагоре и о его теореме.
   
3. 
   Познакомиться с различными способами доказательства теоремы Пифагора.
   

ЗАДАЧИ ПРОЕКТА:

1. 
   Найти исторический материал из биографии Пифагора и о его теореме.
   
2. 
   Найти и разобрать различные способы доказательства теоремы Пифагора.
   
3. 
   Рассмотреть применение теоремы Пифагора при решении задач из различных разделов геометрии.
   
4. 
   Создать презентацию проекта
   

ВВЕДЕНИЕ.
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора...»

Иоганн Кеплер.
Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали свои произведения великие писатели всего мира. О ней складывалось множество легенд и мифов. Вокруг теоремы ходит много споров: Кто же ее открыл?

Актуальность темы:

На уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен-теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы , рассмотрели ее доказательство, но так же узнали, что это одно из ее доказательств.Трудно найти человека, для которого имя Пифагор не ассоциировалось с его теоремой.Почти у каждого сохранились воспоминания о «пифагоровых штанах»-квадрате на гипотенузе,равновеликом двум квадратам на катетах.Причина такой популярности теоремы пифагора очевидна:простота,красота и широкая значимость. В самом деле, теорема пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и предают ей особую притягательную силу,делвет ее красивой.Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт,что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических,алгебраических, механических и т.д.), сведетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора можно находить ее новые применения и способы доказательств.Это и то , что теорема Пифагора была известна за долго до его рождения меня и поразило. Я заинтересовалась и решила провести исследование.

Объект исследования: теорема Пифагора.

Предмет исследования: различные способы доказательства теоремы Пифагора.

Методы исследования:

1. 
   Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами интернета.
   
2. 
   Наблюдение, сравнение, анализ.
   
3. 
   Решение задач.
   

ИСТОРИЯ.

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя матери Парфениса. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив. Мнесарх, как всякий отец, мечтал, что сын будет продолжать его дело — ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. Вскоре, неугомонному воображению юного Пифагора стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Затем отправляется в путешествие и попадает в плен к вавилонскому царю Киру. В 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину.

А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести такназываемый пифагорейский образ жизни.



ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ.

Измеряй свои желания,

взвешивай свои мысли,

исчисляй свои слова.

Пифагор

Древний Египет:

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство: 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I. По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м от одного конца и 4м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных городах, между которыми было несколько дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий.

ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМЫ.

Геометрическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формулировка, известная с древности(около 1400 г. до н.э.), в переводе читается так:

" площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы, она занесена в книгу рекордов Гиннеса. Самые известные методы доказательства: методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства.

Существует несколько основных приемов доказательства теоремы Пифагора:

1. 
   Алгебраический метод.
   
2. 
   Метод площадей.
   
3. 
   Подобие треугольников.
   
4. 
   Тригонометрический.
   

Доказательство методом площадей (школьный метод):

Достроим ΔАВС до квадрата со сторонойа+ b

S = 4S_Δ+ S□

S = (a+b)²

S_Δ= ab

∟1 + ∟2 = 90° (по свойству прямоугольного треугольника)

∟1 + ∟2 + ∟3 = 180° (развернутый угол)

∟3 = 90°

Аналогично можно доказать, что все остальные углы ромба равны 90°. Таким образом, внутри - квадрат со стороной с.

(а+b)² = 4 · аb + с²

а²+ 2аb +b² = 2аb + с²

а²+ b² = с²



Доказательство через равнобедренные треугольники:

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.На его сторонах строят квадраты.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник. На его сторонах строят квадраты.
Квадраты, построенные на катетах исходного треугольника, содержит по 2 таких треугольника.
Квадрат, построенный на гипотенузе исходного треугольника, содержит четыре таких треугольника.

Получим, что квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах: с² = a² + b²

2.3 Доказательство методом вычитания:



Знакомый чертеж Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направление сторон которой совпадает с направлением катетов прямоугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник разделится на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие части:

1. 
   Треугольники 1, 2, 3, 4.
   
2. 
   Прямоугольник 5.
   
3. 
   Прямоугольник 6 и квадрат 8.
   
4. 
   Прямоугольник 7 и квадрат 9.
   

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Эти части будут:

1. 
   Прямоугольники 6 и 7.
   
2. 
   Прямоугольник 5.
   
3. 
   Прямоугольник 1.
   
4. 
   Прямоугольник 2.
   

Из рисунков ясно, что:

1. 
   Прямоугольник 5 равен самому себе.
   
2. 
   Треугольники 1, 2, 3, 4 равны прямоугольникам 6 и 7.
   
3. 
   Прямоугольник 6 и квадрат 8 (вместе) равновелики прямоугольнику 1.
   
4. 
   Прямоугольник 7 и квадрат 9 (вместе) равновелики прямоугольнику 2
   

3.1Доказательство через подобие треугольников:

В ΔАВС ∟С = 90°

1. 
   Проведем высоту СН
   
2. 
   Рассмотрим ΔАСН и ΔАВС
   

ΔАСНΔАВС (по двум углам)

= =

3. 
   Рассмотрим ΔВСН и ΔАВС
   

ΔВСН ΔАВС (по двум углам)

= = (по определению).

4. 
   = ; =
   

а² = с ∙ ВН;

b² = с ∙ АН

а² + b² = с ∙ ВН + с ∙ АН

а² + b² = с ∙ (ВН + АН)

а² + b² = с²

1. 
   Доказательство по косинусу:
   

1. 
   В ΔАВС: ∟С = 90°. Проведем высоту СН = h.
   
2. 
   ΔАСН: ∟Н = 90°
   

=

3. 
   ΔАВС: ∟С = 90°
   

=

4. 
   =
   

АС²= АН + АВ

b² = b_с + с

5. 
   ΔВСН: ∟Н = 90°
   

=

6. 
   ΔАВС: ∟С = 90°
   

=

7. 
   =
   

BC² = BD ∙ AB

a^{2 =} a_c ∙ c

а² + b² = b_c ∙ с + а_с ∙ с

а² + b² = с ( b_c + а_с)

а² + b² = с²

Теорема Пифагора получила много различных названий: «теорема бабочки», «теорема невесты», теорема «100 быков», «бегство убогих», «ветреная мельница», «мост ослов». Думаю, только по количеству названий, теорему можно считать уникальной!

УЧЕНИЧЕСКИЕ ШАРЖИ.

В средневековье для легкого запоминания теоремы Пифагора было придумано много стихов, рисовались шаржи.

• 
  Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC.
  

О теореме Пифагора И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ.

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в астрономии и даже литературе. В математике теорему используют для решения задач, для доказательства других теорем. Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый». А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Задача №1

Дано:

ΔАВС

∟С = 90°

АС = 8 см

ВС = 6 см

Найти: АВ

Решение:

а² + b² = с²

ВС² + АС² = АВ²

6² + 8² = АВ²

36 + 64 = АВ²

АВ² = 100

Из курса алгебры известно, что уравнение АВ² = 100 имеет два корня:

АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.

АВ = 10 см

Ответ .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем в геометрии. Значение ее в том, что с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии, например: в стереометрии (10 класс) при доказательстве теоремы о трех перпендикулярах, при доказательстве теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда. Она замечательна еще тем, что сама по себе она вовсе не является очевидной. Например, свойства равнобедренного треугольника, ромба можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора популярна по трем причинам:

1 простота

2 значимость

Занимаясь теоремой Пифагора, я узнала историю ее открытия, нашла 12 способов доказательства, разобралась в них. Некоторые из них простые, легко воспринимаются. А некоторые сложны в решении.
Вот почему теорему Пифагора считают уникальна

Используемые источники

1. 
   http://ru.wikipedia.org/
   
2. 
   http://rpp.nashaucheba.ru/