лекция. Лекция 7. Геометрический смысл производной.. Решение Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что y есть функция от x (поэтому, например, ) получим

• Название: Решение Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что y есть функция от x (поэтому, например, ) получим
• Анкор: лекция
• Дата: 18.05.2022
• Размер: 125.38 Kb.
• Имя файла: Лекция 7. Геометрический смысл производной..docx
• Тип: Решение; #536511

Производная неявной функции

Пусть функция , обладающая производной в точке x задана неявно уравнением F(x , y) = 0.

Тогда производную можно найти, продифференцировав уравнение (при этом y считается функцией от x) и разрешаем затем полученное уравнение относительно .

Пример:

Найти производную неявно заданной функции y :

 .

Решение:

Дифференцируя обе части уравнения и учитывая , что y - есть функция от x (поэтому, например , )

получим :

Или  .

Отсюда находим  :

Или  ,

Т.е. 

Геометрический смысл производной.

Пусть функция имеет производную в точке . Тогда существует касательная к графику этой функции в точке , уравнение которой имеет вид: .

При этом , где – угол наклона этой касательной к оси (рис.1)



рис.1

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормальюк кривой и имеет уравнение



_Если (т.е. касательная горизонтальна), то нормаль вертикальна и имеет уравнение

Пусть даны две пересекающиеся в точке кривые и , причем обе функции имеют производные в точке . Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке .

Этот угол можно найти из формулы

.

<sub>Пример:

Написать уравнение касательной и нормали к параболе</sub> в точке <sub>.

Решение:</sub>

Найдем как производную неявной функции: , т.е. , откуда , значит,

Отсюда получаем уравнение касательной в точке :

т.е. _. Теперь найдем уравнение нормали:

т.е.

Логарифмическая производная

При нахождении производных от показательно-степенной функции , а также других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное и извлечение корня), удобно применять логарифмическую производную.

Логарифмической производной от функции называются производная от логарифма этой функции:



Используя логарифмическую производную, нетрудно вывести формулу для производной показательно-степенной функции :



_{Пример:}

Используя логарифмическую производную, найти производную функции:



Решение :Прологарифмируем обе части равенства  . Тогда  . т.е.  . Теперь, продифференцируем последнее равенство, при этом в левой части используем производную сложной функции, а в правой – производную произведения:  т.е.  или  .

Отсюда  или, учитывая, что  ,



Производная от функции называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции называется производной второго порядка от функции  (или второй производной) и обозначается .

Аналогично определяются производная третьего порядка (или третья производная), обозначаемая  и т.д.

Пример:

Найти производную второго порядка для функции .

Решение: