Статистика_Заказ_5239275_21_02_23. Решение. 1 В табл. 10. 1 представлен ранжированный ряд 1

• Название: Решение. 1 В табл. 10. 1 представлен ранжированный ряд 1
• Дата: 20.02.2023
• Размер: 49.96 Kb.
• Имя файла: Статистика_Заказ_5239275_21_02_23.docx
• Тип: Документы; #946213

1. 
   Произвести статистическую обработку массива из n = 30 данных, содержащихся в столбцах №2, №3 и №4 таблицы 1.
   

Таблица 1

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10

__________________________________________________________

561 555 569 555 567 559 567 555 566 557

580 568 560 572 563 574 542 562 542 572

564 560 569 543 560 565 568 558 539 550

566 563 562 546 570 582 568 565 561 554

548 558 586 562 559 553 567 553 572 567

550 562 557 564 582 576 567 554 567 550

534 574 560 561 578 543 544 567 576 550

567 546 571 570 560 546 566 578 581 555

576 572 542 567 566 548 578 539 550 551

556 540 557 548 540 577 576 548 553 573

и выполнить следующие задания:

1) составить ранжированный ряд, найти размах выборки и количество групп различных вариант;

2) составить точечный вариационный ряд;

3) преобразовать точечный вариационный ряд в интервальный с числом интервалов k = 8;

4) построить полигон относительных частот и гистограмму;

5) найти статистические характеристики выборки;

6) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона при числе степеней свободы s = 5 и уровне значимости α = 0,05;

7) найти доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с надежностью γ = 0,95.

Решение. 1) В табл.10.1 представлен ранжированный ряд:

Таблица 10.1

540	542	543	546	546	548	555	555	557	557
558	560	560	560	561	562	562	562	563	564
567	568	569	569	570	571	572	572	574	586

Размах R = 586 – 540 = 46; различных групп m = 21

1. 
   Точечный вариационный ряд представим в виде табл.10.2 с указанием номера группы
   

Таблица 10.2

№	xi	ni	Wi
1	540	1	0,03333
2	542	1	0,03333
3	543	1	0,03333
4	546	2	0,06667
5	548	1	0,03333
6	555	2	0,06667
7	557	2	0,06667
8	558	1	0,03333
9	560	3	0,1
10	561	1	0,03333
11	562	3	0,1
12	563	1	0,03333
13	564	1	0,03333
14	567	1	0,03333
15	568	1	0,03333
16	569	2	0,06667
17	570	1	0,03333
18	571	1	0,03333
19	572	2	0,06667
20	574	1	0,03333
21	586	1	0,03333
Итого		30	1

2. 
   Находим длину интервала h = 46/8 = 5,75 и формируем табл.10.3
   

Таблица 10.3

№ интервала	Границы интервала	ni	Wi	ni/h
1	540,0 - 545,75	3,00	0,1	0,522
2	545,75 - 551,5	3,00	0,1	0,522
3	551,5 - 557,25	4,00	0,133	0,696
4	557,25 - 563,0	8,00	0,2667	1,391
5	563,0 - 568,75	4,00	0,133	0,696
6	568,75 - 574,5	7,00	0,233	1,217
7	574,5 - 580,25	0,00	0	0
8	580,25 - 586,0	1,00	0,033	0,174
		ni = 30	Wi = 1.

3. 
   По данным табл.10.2 строим полигон относительных частот, который представлен на рис.10.1:
   

Р ис.10.1

П о данным табл.3 строим гистограмму плотности частоты, представленной на рис.10.2:

Рис.10.2

5) Находим статистические характеристики выборки:

Моды М(Х) = 560 и М(Х) = 562; медиана М_е(Х)= (561 + 562)/2 = 561,5; выборочные: средняя = 560,7; дисперсия = 99,959; среднее квадратичное отклонение = 9,998. Как видно коэффициент вариации ( / ) не превосходит 2%, что свидетельствует о том, что данные выборки не выходят за пределы первого класса точности расчетов.

6) Находим для аргумента z функции Лапласа границы интервалов (z_i, z_i+1) в виде: z_i = ( х_i - )/ , z_i+1 = ( х_i+1 - )/ и заполняем табл.10.4

Таблица 10.4

№	Границы интервалов Х	Границы интервалов z
	хi хi+1	zi zi+1
1	540,0 545,75	- ∞ -1,470
2	545,75 541,5	-1,470 -0,905
3	551,5 557,25	-0,905 -0,339
4	557,25 563,0	-0,339 0,226
5	563,0 568,75	0,226 0,792
6	568,75 574,5	0,792 1,357
7	574,5 580,25	1,357 1,923
8	580,25 586,0	1,923 +∞

Находим теоретические вероятности p_i и теоретические частоты n_i^т = np_i, заполняя табл.10.5

Таблица 10.5

№	z	Ф(z)	pi	niт
	zi zi+1	Ф(zi) Ф(zi+1)
1	- ∞ -1,470	-0,5 -0,43	0,0487	1,461
2	-1,470 -0,905	-0,43 -0,32	0,112	3,36
3	-0,905 -0,339	-0,32 -0,13	0,1855	5,565
4	-0,339 0,226	-0,13 0,09	0,2241	6,723
5	0,226 0,792	0,09 0,29	0,1971	5,913
6	0,792 1,357	0,29 0,41	0,125	3,75
7	1,357 1,923	0,41 0,47	0,0601	1,803
8	1,923 +∞	0,47 0,50	0,0206	0,618

Σ = 1 30

Вычисляем χ²_набл , для чего формируем табл.10.6:

Таблица 10.6

№	ni	niт	(ni - niт)2/niт	ni2/niт
1	3	1,461	1,621	6,160
2	3	3,36	0,039	2,679
3	4	5,565	0,440	2,875
4	8	6,723	0,243	9,520
5	4	5,913	0,619	2,706
6	7	3,75	2,817	13,067
7	0	1,803	1,803	0,000
8	1	0,618	0,236	1,618

Σ = 7,817 38,624
Таким образом, χ²_набл = 7,817. По таблицам критических точек χ² при числе степеней свободы s = 5 и уровне значимости α = 0,05 определяем χ²_кр =11,1 и, следовательно, имеем χ²_набл < χ²_кр.

Вывод 1. Расхождение эмпирических и теоретических частот случайно (не значительно) и нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.

7) Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 по таблицам Лапласа находим аргумент t = 1,96. Тогда точность оценки при n = 30 и = 9,998 в соответствии с соотношением (10.7) составит δ = 3,578, а доверительный интервал ( - 3,578; + 3,578) при = 560,7 равен (557,122; 564,278).

Вывод 2. В 95 случаях из 100 математические ожидания а различных выборок из данной генеральной совокупности не выйдут за границы доверительного интервала: 557,122 < а < 564,278.

2. 
   По критерию Вилкоксона проверим принадлежность к одной генеральной совокупности данных первого и второго столбцов таблицы.
   

Решение. Сформулируем гипотезы:

H0: F (x ) = G (x ) (выборочные совокупности однородны).

H1: F (x ) ≠ G (x ) (выборочные совокупности неоднородны).

Порядковый номер	Варианта	Порядковый номер	Варианта
1	534	11	562
2	540	12	563
3	546	13	564
4	548	14	566
5	550	15	567
6	555	16	568
7	556	17	572
8	558	18	574
9	560	19	576
10	561	20	580

Найдем, какие места занимают в вариационном ряду, построенном по объединенной выборке, элементы выборки 2, назовем эти номера рангами элементов выборки 2 (строки выделены красным) и будем их складывать.

W_эмп = 2 + 3 + 6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 16 + 17 + 18 = 102.

1 подход. W_min = m∙(m + 1)/2 = 10∙(10 + 1)/2 = 55.

W_max = mn + m∙(m + 1)/2 = 10∙10 + 10∙(10 + 1)/2 = 155.

W_эмп = 102, 102∈[55; 155] и является симметричным относительно середины промежутка, поэтому можем сделать вывод о справедливости нулевой гипотезы H0, то есть принимаем гипотезу об однородности выборочных совокупностей.

2 подход. Выберем уровень значимости 0,01, тогда найдем по таблице критических значений критерия Вилкоксона:

W_{ниж.крит} (0,01/2; 10; 10) = 71;

W_{верх.крит} = (m + n + 1)∙m − W_{ниж.крит} = (10 + 10 + 1)∙10 – 71 = 139

W_эмп = 102, 102∈[71; 139], то есть принимаем нулевую гипотезу об однородности выборочных совокупностей.

Контрольные вопросы.

1. 
   Определите понятие доверительной вероятности и доверительного интервала
   

Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

2. 
   Что такое точность и надежность оценки.
   

Точность оценка характеризуется положительным числом δ, которое характеризует величину расхождения между оценками выборки и генеральной совокупности: |θ – θ*| < δ; δ > 0

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θ по θ* называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство |θ – θ*| < δ

P(θ* - δ < θ < θ*+ δ) < γ

В качестве параметров надежности наиболее часто используют величины, близкие к единице: 0,95; 0,99 и 0,999.
3. В чем суть проверки статистических гипотез и что лежит в основе критерия Пирсона.

Статистическая гипотеза - это некоторое предположение о свойствах генеральной совокупности, которое необходимо проверить. Статистические гипотезы выдвигаются, когда необходимо проверить, является ли наблюдаемое явление элементом случайности или результатом воздействия некоторых мероприятий.

Например, необходимо выяснить, значительно ли отличается средний объём продаж после проведения рекламной кампании от среднего объёма продаж после проведения рекламной кампании. Если ответ на этот вопрос положителен, то можно сделать вывод о том, что изменения являются результатом рекламной кампании.

Выводы, полученные путём проверки статистических гипотез, носят вероятностный характер: они принимаются с некоторой вероятностью. Статистическая гипотеза может быть также предположением о свойствах двух совокупностей, если, например, в ходе мероприятий имело место воздействие только на одну совокупность и необходимо сделать вывод о том, было ли это воздействие результативным.

Критерий χ² Пирсона – это непараметрический метод, который позволяет оценить значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости нулевой гипотезы. Выражаясь проще, метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей).