12315649_Заказ2351365МАТ. Решение а Строим последовательно графики функций Область определения и область значений функции

• Название: Решение а Строим последовательно графики функций Область определения и область значений функции
• Дата: 23.08.2022
• Размер: 1 Mb.
• Имя файла: 12315649_Заказ2351365МАТ.doc
• Тип: Решение; #651705

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Задача 1

Построить графики функции сдвигами и деформациями. Указать область определения и область значений для каждой функции, промежутки монотонности.



Решение

а) Строим последовательно графики функций:



Область определения и область значений функции :



При данная функция убывает.

б) Строим последовательно графики функций:



Область определения и область значений функции :



При данная функция возрастает, при - убывает, х = -5 – точка максимума, .

в) Строим последовательно графики функций:



Область определения и область значений функции :



При данная функция возрастает.

Точка х = 2 – точка перегиба, у(2) = 0.

г) Строим последовательно графики функций:



Область определения и область значений функции :



При данная функция убывает, при - возрастает, х=4 – точка минимума данной функции, у(4) = 0.

Задача 2

Найти указанные пределы, не используя правило Лопиталя:



Решение















Задача 3

Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:



Решение

Область определения:

Так как , то х = 1 – точка разрыва функции у(х). Исследуем характер разрыва. Находим односторонние пределы:



Так как односторонние пределы бесконечны, то х = 1 – точка разрыва 2-го рода.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Задача 1

Найти производные данных функций:



Решение





дифференцируем обе части равенства по х:



отсюда искомая производная:

д) находим производные по t:



тогда искомая производная:

е) логарифмируем равенство:

дифференцируем полученное равенство по х и выражаем искомую производную:


Задача 2

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y  f(x) в точке x₀:

Решение

Находим производную:

В заданной точке:



Уравнение касательной:



Уравнение нормали:



Задача 3

Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить её график: .

Решение

1.

2. Функция у(х) нечётная, график функции симметричен относительно начала координат.

3.



Из п.3 следует, что график функции имеет вертикальные асимптоты .

4. Находим производные:





Определяем нули и знаки первой производной:



+ + +
-1 1 х
При функция у(х) возрастает, точек минимума и максимума нет.

5. Определяем нули и знаки 2-й производной:


+ - + -

_{-1 0 1} х
При график функции выпукл вниз, при - вверх, х = 0 – точка перегиба, у(0) = 0, .

6. Точки пересечения с координатными осями:

- ось Ох: у = 0; х = 0;

- ось Оу: х = 0; у = 0.

7. Наклонные асимптоты y = kx + b:



Асимптота: у = 0.

Строим график функции у(х).

y


-1 0 1 x



ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Задача 1

Исследовать функцию z на экстремумы:

.

Решение

Находим частные производные и приравниваем их к нулю:



Нашли стационарную точку М.

Вторые частные производные функции z в точке М:



Тогда:

Так как , то точка М – точка минимума функции z:



Таким образом:

Задача 2





Решение

1)

2) Находим частные производные:



Значения частных производных в точке А:



Приращения аргументов при переходе от точки А к В:



Искомое приближённой значение функции в точке В:



3) Вычислим точное значение функции в точке В:



Искомая относительная погрешность:



4) Обозначим:

Частные производные:



Значения частных производных в точке С(2; 4; 27):



Искомое уравнение касательной плоскости:





5) Линеаризуем функцию z в окрестности точки А:



6) Градиент функции z в точке А:



Направляющие косинусы вектора :



Искомая производная по направлению:



Список использованных источников

1 Баврин, И. И. Высшая математика: учебник по естественнонаучным направлениям и специальностям / И. И. Баврин. – Москва: Академия, 2018. – 611 с.

2 Малыхин, В. И. Высшая математика: учебное пособие / В. И. Малыхин. – Москва: Инфра-М, 2019. – 363 с.

3 Шипачев, В. С. Основы высшей математики: учебное пособие для вузов / В. С. Шипачев. – Москва: Юрайт, 2017. – 478 с.