Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы.. Решение балансовых уравнений. Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы

• Название: Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы
• Анкор: Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 79.5 Kb.
• Имя файла: Решение балансовых уравнений.doc
• Тип: Реферат; #817041

Дисциплина: Высшая математика

Реферат

Тема: Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы.

2022 г.

Содержание

Введение 3

Глава 1. Линейная балансовая модель 5

Глава 2. Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы 11

Заключение 13

Список использованной литературы 14

Введение

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Под экономическим объектом обычно понимают так называемую «чистую прибыль».

Например, чтобы правильно отразить взаимосвязи между машиностроением и металлургией, необходимо исключить продукцию металлургической и других отраслей из продукции машиностроения, а в продукции металлургической промышленности не учитывать произведенные на металлургических заводах продукты машиностроения и других отраслей.

Таким образом, продукция «чистой отрасли» складывается из продукции специализированных предприятий, очищенной от непрофильных ее видов, и продукции, соответствующей профилю данной отрасли, но произведенной на предприятиях, относящихся к другим отраслям

Балансовые модели основываются на понятии межотраслевого баланса, который представляет собой таблицу, характеризую­щую связи между отраслями (экономическими объектами) эконо­мической системы.

Предположим, что экономическая система состоит из n взаи­мосвязанных отраслей P1, Р2, ..., Рn. Валовой продукт i-й отрасли обозначим через Xi (X1 – валовой продукт P1 Х2 – валовой продукт Р2, ..., Хn валовой продукт Рn). Конечный продукт каждой отрасли обозначим буквой Y с ин­дексом, соответствующим ее номеру (Yi - конечный продукт Pi). Отрасли взаимосвязаны, т.е. каждая из них использу­ет продукцию других отраслей в качестве сырья, полуфабрика­тов и т. п.

Пусть Xij – затраты продукции i-й отрасли на производство продукции Рj. Условно чистую продукцию i-й отрасли обозна­чим Vi.

Если перечисленные показатели представлены в межотрасле­вом балансе в тоннах, литрах, километрах, штуках и т. д., то говорят о межотраслевом балансе в натуральном, выражений. Мы же договоримся, что под Xi, Уj, Vj и Xij будем понимать выраженную в некоторых фиксированных ценах стоимость со­ответствующей продукции. Такой баланс называется стои­мостным.

ЦЕЛЬ: Обосновать и рассмотреть основные аспекты линейной балансовой модели.

Задачи:

1. 
   Рассмотреть понятие и сущность линейной балансовой модели;
   
2. 
   Раскрыть основные аспекты применения в экономической дисциплине.
   

Глава 1. Линейная балансовая модель

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (первый столбец таблицы 1) и как ее потребитель (первая строка таблицы 1).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi - конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д.).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk.

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами:¹

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом (х'ik, y'i и т.д.) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха - аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства (1) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1, y2,…, yn, характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором:

а совокупность значений x1, x2,…, xn, определяющих валовый выпуск всех отраслей - вектор-планом:

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk, содержат n2 неизвестных xik, которые в свою очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений:

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что²

Исходя из этого предложения имеем

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство (5) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле (4), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу, которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением.

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель.

Система уравнений (6) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:

Уравнения (6) содержат 2n переменных (xi и yi). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы (6) найти остальные n - переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = (y1, y2,…, yn) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = (х1, х2,… хn).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл. 2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

Эти коэффициенты записаны в табл. 2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель (6), соответствующая данным табл. 2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовой выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения.³

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У0 неотрицательного решения х0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения (6') допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у10 и у20 (кроме х1=х2=0 при у1=у2=0).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений (система (6) - несовместная) или иметь бесчисленное множество решений (система (6) - неопределенная).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х0, удовлетворяющий неравенству (Е - А)·х0, т.е. если уравнение (6') имеет неотрицательное решение x0, хотя бы для одного У0, то оно имеет для любого У0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица (Е - А) будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство (Е - А)·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'0. Таким образом, уравнение (6') имеет одно неотрицательное решение x0. На основании теоремы заключаем, что уравнение (6') всегда имеет допустимый план и матрица (Е - А) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу (Е - А) - 1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения (6'') в виде

Если будет задан вектор - конечный продукт У и вычислена матрица S = (E - A) - 1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Полные внутрипроизводственные затраты

Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.

Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.⁴

Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k,…, Sik,…, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k,…, aik,…, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли (a1k), 2-й отрасли (a2k) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли (ai1, ai2,… и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл. 2

Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли (k=2) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл. 2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли (х2=1) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 - Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама (а11=0.2), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли - х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл. 2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 (см п. 2):

0.8х1 - 0.4х2 = 0

-0.55х1 + 0.9х2 = 1

Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли (почему они и были названы прямые затраты), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые (а12), так и косвенные затраты, реализуемые через другие (в данном случае через 1-ю же) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.⁵

Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые (aik), так и косвенные (Sik - aik) затраты.

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.

Глава 2. Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.      
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.       Так, например, если                  0.9  0.8                         0.1   -0.8    и уравнение ( 6' ) А=                 , то Е - А =         0.6  0.9                        -0.6  0.1 запишется в виде    0.1   -0.8    х1     у1     или в развернутой форме                                  -0.6    0.1    х2     у2        0.1х1 - 0.8х2 = у1               ( a )        -0.6х1 + 0.1х2 = у2                 

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение        -0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2, которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).       Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).      

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.       Теорема.  Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.      

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.       Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0.

На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.       Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде        х = S·У          ( 7 )       Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.       Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:        x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn        x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn                         ( 8 )        ………………………………        xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn 

Заключение

И так сделаем выводы по данной работе балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Под экономическим объектом обычно понимают так называемую «чистую прибыль».

Например, чтобы правильно отразить взаимосвязи между машиностроением и металлургией, необходимо исключить продукцию металлургической и других отраслей из продукции машиностроения, а в продукции металлургической промышленности не учитывать произведенные на металлургических заводах продукты машиностроения и других отраслей.

Таким образом, продукция «чистой отрасли» складывается из продукции специализированных предприятий, очищенной от непрофильных ее видов, и продукции, соответствующей профилю данной отрасли, но произведенной на предприятиях, относящихся к другим отраслям.

Список использованной литературы

1. А.Д. Черкай. Бухгалтерский и финансовый учет - язык бизнеса для руководителей. МСФО, US GAAP, РСБУ. Теория двух рядов 4-х счетов автора, новые балансовые уравнения и лингвистические модели учета. – М.: ПИК ВИНИТИ, 2015. – 120 с.
2. А.Д. Черкай. Экономим миллиард долларов при переходе к МСФО. Теория двух рядов 4-х счетов автора и единый План счетов учета по МСФО и РСБУ. – М.: ПИК ВИНИТИ, 2015. – 120 с.
3. Б.А. Баллод, Н.Н. Елизарова. Методы и алгоритмы принятия решений в экономике. – М.: Финансы и статистика, Инфра-М, 2015. – 224 с.
4. Высшая математика для экономистов. – М.: Юнити-Дана, 2014. – 480 с.
5.О.Е. Лугинин, В.Н. Фомишина. Экономико-математические методы и модели. Теория и практика с решением задач. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2014. – 448 с.
6.А.В. Прасолов. Динамические модели с запаздыванием и их приложения в экономике и инженерии. – СПб.: Лань, 2014. – 192 с.
7.В.П. Невежин, С.И. Кружилов, Ю.В. Невежин. Исследование операций и принятие решений в экономике. – М.: Форум, 2012. – 400 с.
8.М.В. Болгов, Г.Ф. Красножон, А.А. Любушин. Каспийское море. Экстремальные гидрологические события. – М.: Наука, 2015. – 380 с.
9.А.Г. Касперович, Р.З. Магарил. Балансовые расчеты при проектировании и планировании переработки углеводородного сырья газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений. – М.: КДУ, 2016. – 412 с.
10.Н.В. Сернова, В.Ф. Артюшкин. Принятие политических решений в условиях многокритериальности. – М.: МГИМО (У) МИД России, 2012. – 108 с.

1

2

3

4

5