Сопромат. РЕШЕНИЕ_три_момента. Решение. Балка имеет две промежуточных опоры, ссн эквивалентная система представлена на рисунке 2

• Название: Решение. Балка имеет две промежуточных опоры, ссн эквивалентная система представлена на рисунке 2
• Анкор: Сопромат
• Дата: 12.10.2021
• Размер: 1.03 Mb.
• Имя файла: РЕШЕНИЕ_три_момента.docx
• Тип: Решение; #245698

Для стальной балки, изображенной на рисунке 1, дано: 𝑃₁ =14 кН, 𝑃₂ =14 кН,
𝑞 =26 кН/м , 𝑀₁ = 28 кН·м, 𝑀₂ = 34 кН·м, 𝑎=3 м, b =2 м, c=1 м, d=1,2 м,
e= f =1 м, g=1 м, [𝜎] = 160 МПа, [𝜏]=100 МПа.

П
остроить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, изобразить приближенное очертание изогнутой оси балки, подобрать двутавровое поперечное сечение с проверкой по касательным напряжениям.

Рис. 1

Решение.

1. Балка имеет две промежуточных опоры, ССН=2.

2. Эквивалентная система представлена на рисунке 2.




Рис. 2
Составляем уравнения трех моментов для каждых двух соседних пролётов, получаем систему уравнений:


Систему нужно решить относительно моментов на промежуточных опорах, то есть 𝑀₁ и 𝑀₂. При этом кНм, кНм, м, м, м.

3
. Для определения углов поворота от внешней нагрузки нужно рассмотреть балки, изображённые на рисунке 3.

Рис. 3

3.1. Угол 𝜃_1,0 найдем методом начальных параметров.

Р
ассмотрим первую балку (рис.4).

Рис. 4
Определим реакции опор:



кН;



кН.

Составим уравнение упругой линии:

.

Из граничных условий: ;

;

.

Из последнего уравнения находим угол поворота в начале координат:

.

Запишем уравнение углов поворота для первой балки:

;

;

.
3.2. углы 𝜃_1,2 и 𝜃_2,1 найдем способом Верещагина.

Перемножим эпюру от внешней нагрузки (рис. 5 а) с эпюрами от единичных моментов (рис.5 b,c).





Рис. 5

Найдем площади, ограниченные эпюрами от внешней нагрузки.

кНм²;

кНм².

Ординаты единичных эпюр:

На рисунке 5,b

На рисунке 5,c

Вычислим углы 𝜃_1,2 и 𝜃_2,1.

;

.
3.3 Для определения угла 𝜃_2,3 воспользуемся интегралом Мора.

Р
ис. 6

Рассмотрим балку, нагруженную заданной внешней нагрузкой (рис.6а). Определим реакции опор:

кН.

кН.

Составим уравнения изгибающих моментов по участкам. Начало координат на левом конце балки:



Далее снимаем внешнюю нагрузку, в сечении 2 прикладываем единичный момент (рис. 6b), составляем уравнение изгибающих моментов .

Реакции опор:

.

.

Уравнение моментов:

.

Составляем интеграл Мора:

.

Подставляем полученные значения моментов и углов поворота в систему уравнений:





Откуда кНм; кНм.

После того, как моменты 𝑀₁ и 𝑀₂ определены, статическая неопределимость раскрыта. Построим эпюры и очертание упругой линии балки, рассматривая каждый пролет, нагруженный внешней нагрузкой и опорными моментами, отдельно:




Рис. 7

Определим реакции опор:

;

кН;



кН.

Уравнения сил и моментов:

.

;

кН; кНм.

.

кН; кНм.

кН; кНм.

.

кН; кНм.

кН; кНм.
Р
ис. 8

Определим реакции опор:

;

кН;



кН.

Уравнения сил и моментов:

.

кН; кНм.

кН; кНм.

.

кН; кНм.

кН; кНм.




Рис. 9

Определим реакции опор:

;

кН;

;

кН.

Уравнения сил и моментов:

.

кН; кНм.

кН; кНм.

.

кН; кНм.

кН; .
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а также очертание упругой линии для рассматриваемой статически неопределимой балки представлены на рисунке 10.

Р
ис. 10

Из условия прочности подберем двутавровое сечение.

.

По эпюре моментов определяем кНм.

Подставляем это значение в условие прочности:

см³.

По сортаменту подбираем двутавр № 36 с 𝑊𝑧=143 см³.

Далее необходимо убедиться в том, что условие прочности по касательным напряжениям также выполняется. Касательные напряжения вычисляем по формуле Журавского. Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

.

Из сортамента для двутавра №36 см³, см⁴, мм.

По эпюре поперечных сил определяем: кН.

МПа МПа.

Условие прочности по касательным напряжениям выполнено.