Вариант 3 тервер и матстатистика. Решение Число размещений на множестве из n элементов по m элементов с повторениями определяется формулой
 Скачать 179.46 Kb.
|
|
Вариант 3
Решение: Число размещений на множестве из n элементов по m элементов с повторениями определяется формулой:  Так как номер четырёхзначный, а цифр всего 10, то общее число исходов n номера равно числу размещений с повторением элементов из 10 по 4:  Рассчитаем число не благоприятствующих исходов k номеров, при которых появление цифры 0 исключается. То есть k равно числу размещений с повторением элементов из 9 по 4, так цифр всего 9:  Следовательно, число благоприятствующих исходов m номера с хотя бы одной цифрой 0:  Вероятность события A:  где m – число исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех равновозможных исходов. Вероятность, того что номер содержит хотя бы одну цифру 0:  Ответ: 
 Рисунок 1 Решение: Согласно рисунку 1 схема состоит из двух участков. 1-ый участок содержит элементы 1 и 2, соединенные параллельно, 2-ой участок содержит элементы 3 и 4, соединенные параллельно. Участок 1 соединен последовательно с участком 2. Введем события: A1 – элемент 1 исправен, A2 – элемент 2 исправен, A3 – элемент 3 исправен, A4 – элемент 4 исправен, A – сигнал проходит от точки a к точке b , B – сигнал проходит от точки b к точке c , С – сигнал проходит от точки a к точке с (со входа на выход). Событие A произойдёт, если будут работать или элемент 1, или элемент 2:  Вероятность наступления события А:  Событие B произойдёт, если будут работать или элемент 3, или элемент 4:  Вероятность наступления события B:  Событие C произойдёт, если будут работать и 1 участок, и 2 участок схемы:  Вероятность наступления события С (сигнал пройдёт со входа на выход):  Ответ:  3. Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал один блок. Решение: р1=0,6; р2=0,7; р3=0,8. Обозначим А событие состоящее в том, что прибор вышел из строя. Можно выдвинуть шесть гипотез: Н1– отказал один первый блок Н2– отказал один второй блок Н3– отказал один третий блок Н4– отказали два блока Н5– отказали три блока Н6– все блоки работают Р(Н1)=(1–р1)р2р3=0,4*0,7*0,8=0,224 Р(Н2)=(1–р2)р1р3=0,6*0,3*0,8=0,144 Р(Н3)=(1–р3)р2р1=0,6*0,7*0,2=0,084 Р(Н4)=(1–р1)(1–р2)р3+(1–р1)(1–р3)р2+(1–р3)(1–р2)р1= =0,4*0,3*0,8+0,4*0,7*0,2+0,6*0,3*0,2=0,188 Р(Н5)=(1–р1)(1–р2)(1–р3)=0,4*0,3*0,2=0,024 Р(Н6)=р1р2р3=0,6*0,7*0,8=0,336 Проверка: Р(Н1)+ Р(Н2)+ Р(Н3)+ Р(Н4)+ Р(Н5)+ Р(Н6)= =0,224+0,144+0,084+0,188+0,024+0,336=1 Условная вероятность того, что прибор вышел из строя, если отказал один первый блок: РН1(А)=1 если отказал один второй блок: РН2(А)=1 если отказал один третий блок: РН3(А)=1 если отказали два блока: РН4(А)=1 если отказали три блока: РН5(А)=1 если все блоки работают: РН6(А)=0 Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н1)* РН1(А)+ Р(Н2)* РН2(А)+ Р(Н3)* РН3(А)+ Р(Н4)* РН4(А) + Р(Н5)* РН5(А)+ Р(Н6)* РН6(А) Р(А)=0,224*1+0,144*1+0,084*1+0,188*1+0,024*1+0,336*0=0,664 Вероятность того, что причиной выхода из строя прибора стал первый блок, найдем по формуле Байеса: РА(Н1) =  = 0,337Вероятность того, что причиной выхода из строя прибора стал второй блок: РА(Н2) =  0,217Вероятность того, что причиной выхода из строя прибора стал третий блок: РА(Н3) =  0,127Тогда вероятность того, что отказал один блок, равна: Р = РА(Н1) + РА(Н2) + РА(Н3) = 0,337 + 0,217 + 0,127 = 0,681 Ответ: Р = 0,681 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6? Решение: Число опытов равно  , вероятность выпадения числа 6 равна  , так как игральная кость содержит всего шесть различных цифр, на каждой грани по одной. Вероятность противоположного события соответственно  .Тогда наивероятнейшее число  выпадений цифры 6 определим исходя из следующего выражения:    Следовательно, наивероятнейшее число выпадений цифры 6 равно 2. Ответ:  5. Дискретная случайная величина  может принимать одно из пяти фиксированных значений  ,  ,  ,  ,  с вероятностями  ,  ,  ,  ,  соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.Решение. Таблица 1.
Найдем числовые характеристики данного распределения. Математическое ожидание   = 3Дисперсию определим по формуле :  .  = 11.Тогда  Найдем функцию распределения случайной величины.  .  Построим график этой функции 6. По выборке одномерной случайной величины: - получить вариационный ряд; - построить гистограмму равноинтервальным способом; - построить гистограмму равновероятностным способом; - вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии; - вычислить интервальные оценки ожидания и дисперсии (γ=0,95); - выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить её при помощи критерия согласия χ2 (α=0,05). Одномерная выборка: Размер выборки n=100
Решение: Вариационный ряд:
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки: М =  =  -8,39,  -2,65. Шаг интервала:  .
 Построим гистограмму равновероятностным способом.
Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии: точечная оценка математического ожидания  точечная оценка дисперсии  Вычислим интервальные оценки ожидания и дисперсии (γ=0,95):  Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 по формуле  .Для этого в таблице функции Лапласа найдем значение, равное  = 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее:  . Затем вычислим  и получим доверительный интервал для математического ожидания: .Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью γ = 0,95 по формуле  .Вычислим  и получим доверительный интервал для дисперсии: .Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х при помощи критерия χ2 Н0: F(x)=F0(x),  Н1: F(x)≠F0(x),  Где F0(x),  – теоретическая функция и плотность распределения ,  Где   ,  χ2=  
χ2=100*0,095=9,5 Вычислим число степеней свободы: k=M-1-s=10-1-2=7 По таблице найдем критическое значение критерия χ2кр(7;0,05)=14,1, так как χ2кр> χ2 то гипотеза о нормальном распределении случайной величины Х принимается. |
