геометрия. ВМ_Заказ_5150291_03_01_23. Решение. Признак Даламбера. Ряд сходится

• Название: Решение. Признак Даламбера. Ряд сходится
• Анкор: геометрия
• Дата: 05.01.2023
• Размер: 27.91 Kb.
• Имя файла: ВМ_Заказ_5150291_03_01_23.docx
• Тип: Решение; #873610

Задание 1. Исследовать сходимость числового ряда.



Решение. Признак Даламбера.





Ряд сходится.

Задание 2. Найти область сходимости степенного ряда



Решение. Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: ∑a_nxⁿ, где a_n - формула числовых коэффициентов. Для данного ряда:



Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:



R - радиус сходимости. Вычислим его:



x₁ = 1 – 9 = -8; x₂ = 1 + 9 = 10.

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-8; 10).

Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.

Пусть x = -8. Получаем ряд:



Исследуем сходимость ряда при помощи признаков сходимости.



Рассмотрим первые три члена ряда:



Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.



а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется



б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.



Второе условие Лейбница выполняется.

Таким образом, рассматриваемый ряд сходится.

Чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов.

Исходный ряд можно представить в виде:



Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:



Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.

Следовательно, ряд сходится условно.

Ряд расходится, значит, x = -8 - точка расходимости.

При x = 10 получаем ряд:



Исследуем его сходимость при помощи признаков сходимости.

Исходный ряд можно представить в виде:

Исходный ряд можно представить в виде:



Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:



Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.

Значит, x = 10 - точка расходимости.

Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при: x ∈ (-8;10)

Задание 3. Найдите вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не содержит ни одной двойки.

Решение. Из 9-ти десятков двузначных чисел (n = 90), двойки содержат 10 чисел 2-го десятка и по одному числу, оканчивающемуся на двойку, в каждом из остальных 8-ми десятков (12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92). Всего 18.

Чисел, не содержащих двойки, m = 90 – 18 = 72, а вероятность случайно выбрать такое число равна



Задание 4. Имеется две урны, в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 2 черных. Из каждой урны вынимается по одному шару. Найти вероятность того, что шары будут: а) одного и того же цвета; б) разного цвета.

Решение. Пусть событие А₁ - из первой урны взяли белый шар; событие А₂ - из первой урны взяли черный шар.

Вероятность взять из первой урны белый шар составит



Вероятность взять из первой урны черный шар составит



Пусть событие В₁ - из первой урны взяли белый шар; событие В₂ - из первой урны взяли черный шар.

Вероятность взять из второй урны белый шар составит



Вероятность взять из второй урны черный шар составит



А) Событие, что оба шара будут одного цвета (оба белые или оба черные) можно записать как А₁В₁ + А₂В₂. Поскольку события A₁; B₁ и A₂; B₂ независимы, то вероятность события составит



Событие, что оба шара будут разного цвета можно записать как А₁В₂ + А₂В₁. Поскольку события A₁; B₁ и A₂; B₂ независимы, то вероятность события составит



Задание 5. При технологическом процессе 85% всей произведенной продукции высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий.

Решение. Т.к. вероятность наступления события А в каждом из которых одинакова равна р, то наивероятнейшее число m наступления события А можно найти по формуле:



В данной задаче n = 150; p = 0,85:







Задание 6. Задана плотность распределения случайной величины x:



Найти: функцию распределения F(x);

Решение. Функция распределения.











Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a,b] равна: P(a < x < b) = F(b) - F(a)



Задание 7. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения . Найти постоянный параметр a и функцию распределения F(x).

Решение. Найдем параметр A из условия:



Для нашей функции:







Функция распределения.