Анализ_данных. Вариант№2. Решение Пусть событие наугад взятое со склада изделие будет бракованным Выберем гипотезы

• Название: Решение Пусть событие наугад взятое со склада изделие будет бракованным Выберем гипотезы
• Анкор: Анализ_данных
• Дата: 23.10.2022
• Размер: 64.02 Kb.
• Имя файла: Вариант№2.docx
• Тип: Решение; #749217

Вариант №2

Задание №1

Некоторое изделие выпускается тремя заводами, причем вероятность брака для этих заводов равна 0,2, 0,1 и 0,3 соответственно. Из имеющихся на складе изделий 50% выпущено первым заводом, 30% - вторым, а остальные – третьим.

Какова вероятность того, что наугад взятое со склада изделие будет бракованным? Наугад взятое со склада изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно было выпущено на втором заводе?

Решение:

Пусть событие - наугад взятое со склада изделие будет бракованным

Выберем гипотезы:

- изделие выпущено первым заводом

- изделие выпущено первым заводом

- изделие выпущено первым заводом

Из условия известны вероятности наступления гипотез:



Условные вероятности события при каждой гипотезе:



Для нахождения вероятности события , применим формулу полной вероятности:





Вероятность наступления гипотезы , при условии того, что событие состоялось, найдем по формуле Байеса:



Ответ: 0,19; 0,158.

Задание №2

Всхожесть луковиц тюльпанов составляет 60%. Высажено 5 луковиц. Найти:

а) вероятность того, что не взошедших цветов будет меньше половины;

б) наиболее вероятное количество проросших цветов.

Решение:

Это задача на схему Бернулли. Число луковиц . Вероятность успеха – это вероятность того, что луковица взойдет: , а значит, - вероятность того, что луковица не взойдет.

Событие - не взошедших цветов будет меньше половины, означает, что взойдет 3, 4 или 5 луковиц. Так как данные события несовместны, то:











Наиболее вероятное число проросших цветов найдем из неравенства:







Ответ: 0,68256;

Задание №3

Дискретная случайная величина задана таблицей распределения:

	-5	-1	3	6
	0,1	0,2		0,5

Найти неизвестную вероятность . Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Найти функцию распределения и построить её график.

Решение:

Сумма всех вероятностей равна единице, поэтому:



Математическое ожидание найдем по формуле:



Дисперсию найдем по формуле:




Запишем функцию распределения:
















Задание №4

Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной функцией распределения. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (2;4).



Решение:

Функция плотности распределения равна производной от функции распределения:



Математическое ожидание найдем по формуле:



Дисперсию найдем по формуле:





Среднеквадратическое отклонение:



Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал найдем по формуле:





Ответ:





Задание №5

Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 1,69 и 0,81. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (-1,69;0,40).

Решение:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал найдем по формуле:



По условию задачи:







Ответ:

Задание №6

Даны выборочные значения спроса на некоторый товар и дохода покупателей.

	16	19	25	20	15	24	20	22	18	11
	31	32	36	32	33	42	30	38	35	21

1) Найти точечные оценки параметров линейной регрессии на и выборочное уравнение регрессии.

2) Найти коэффициент детерминации.

3) Найти доверительные интервалы для параметров линейной парной регрессии с доверительной вероятностью .

4) Проверить две гипотезы ( ) о значениях коэффициента при значении доверительной вероятности:

5) Проверить гипотезу о значимости уравнения линейной регрессии с доверительной вероятностью

Решение:

Выборочные значения спроса и среднего дохода покупателей приведены во 2 и 3 столбцах таблицы. Остальные столбцы этой таблицы будут заполняться в процессе решения. Вычисления проводятся с точностью 0,001 (до трех знаков после запятой).

								162
1	16	31	256	961	496			278
2	19	32	361	1024	608			174
3	25	36	625	1296	900			12,593
4	20	32	400	1024	640			1,074
5	15	33	225	1089	495			186,889
6	24	42	576	1764	1008			91,111
7	20	30	400	900	600			11,389
8	22	38	484	1444	836			3,375
9	18	35	324	1225	630			26,404
10	11	21	121	441	231			0,07
Сумма	190	330	3772	11168	6444			5,138
Среднее	19	33	377,2	1116,8	644,4			0,265

1. 
   
   

Выборочное уравнение линейной парной регрессии имеет вид:

2. 
   Объясненная уравнением регрессии сумма квадратов отклонений:
   

Коэффициент детерминации:



Остаточная сумма квадратов отклонений:

3. 
   Остаточная дисперсия:
   

Стандартная ошибка регрессии:



Дисперсия коэффициента регресссии



Стандартная ошибка коэффициента регресссии



Дисперсия коэффициента регресссии



Стандартная ошибка коэффициента регресссии


Доверительный интервал для :






Доверительный интервал для :

4. 
   Для проверки гипотез о значениях коэффициента используется статистика:
   

Данная статистика имеет распределение Стьюдента c степенями свободы

а)



По таблице критических значений Стьюдента находим:



Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная

На основании этого делается вывод о статистической значимости коэффициента и о наличии линейной зависимости между и .

б)



По таблице критических значений Стьюдента находим:



Так как , то нулевая гипотеза принимается

5. 
   Для проверки гипотезы о значимости уравнения регрессии используется статистика
   

Критическое значение статистики:



Данная статистика имеет распределение Фишера с и степенями свободы.

Выдвинем гипотезы:

Наблюдаемое значение статистики:





Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная

На основании этого делается вывод о статистической значимости уравнения регрессии с доверительной вероятностью .