Вариант 08. Решение Сделаем замену y y 1, x x получим каноническое уравнение параболы
 Скачать 329 Kb.
|
|
Контрольная работа № 2 1. Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой  . Построить графики кривой и прямой. Решение:     Сделаем замену Y=y-1, X=x+2. Получим каноническое уравнение параболы:  .Найдем точки пересечения параболы и прямой:     Сделаем чертеж:  2. Требуется: 1) построить по точкам график функции  в полярной системе координат. Значения функции вычислять в точках  ; 2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось  – с полярной осью. Решение: 1)  ,  ОДЗ:     Составим таблицу для построения:
Построим график линии:  2) Найдем уравнение линии в декартовой системе координат, воспользовавшись формулами:  ,  ,  ,  Подставим эти формулы в уравнение линии:   3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.  Решение: 1)  2)  3)  Разложим числитель и знаменатель на множители   Тогда  4)  4. Функция  представляет собой сумму одночленов. Указать среди них одночлен, эквивалентный функции : а) при  ; б) при  . Решение: а) Очевидно, что при  оба слагаемых являются бесконечно малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых, используя замену бесконечно малых эквивалентными: . Т.е. при  .б) Очевидно, что при   , поскольку функция  является ограниченной.5. Исследовать функцию  на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции. Решение: Внутри каждого промежутка функция непрерывна (как элементарная). Поэтому, если точки разрыва существуют, то в точках x=-1 и х=0. Найдем односторонние пределы в каждой точке: x=-1   Т.к. один из односторонних пределов равен бесконечности, то точка x=-1 является точкой разрыва II рода. x=0   Т.к. оба односторонних предела конечны и равны между собой, то в точке x=0 функция является непрерывной. Сделаем схематический чертеж   6. Решить уравнение  и изобразить его корни  на комплексной плоскости. Проверить, что   a=9, b=-15, c=11, d=-5 Решение: Подставим a, b, c, d:  .Подстановкой убеждаемся, что z=1 – корень уравнения. Разделим многочлен 9z3-15z2+11z-5 на z-1: 9  z3-15z2+11z-5 z-19   z3-9z2 9z2-6z+5-6z2+11z -6z2+6z  5z-5 5z-50  z1=1   Изобразим корни уравнения на комплексной плоскости:  Проверим выполнение соотношений:  ,  - верно ,  - верно ,  - верно |