Решение Сначала выделяем полные квадраты
 Скачать 400.08 Kb.
|
|
Вариант 2. Задание 1: Какая кривая определена уравнением  ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.Решение:Сначала выделяем полные квадраты:  Затем переносим свободный член в правую часть и делим обе части на 48. Таким образом получаем:  Обозначим  тогда уравнение принимает канонический вид  Таким образом, получаем уравнение гиперболы с действующей осью  . Значит фокусы расположены на данной оси. В данном уравнении  Следовательно, эксцентриситет равен  Произведём необходимые расчёты сначала в координатах  фокусы  ; уравнения директрис  ; уравнения асимптот:  вершины  Учитывая соотношения между  и  , запишем то же самое в координатах : фокусы  ; директрисы  , то есть  ; асимптоты  то есть  вершины  . Центр симметрий данной гиперболы находится в точке   Задание 2: Составьте каноническое уравнение гиперболы с фокусами  и  , угол между асимптотами которой равен 60˚.Решение:Из данных о фокусах видно, что они расположены на оси  . Нужный нам угол будет в 2 раза меньше, потому что в задании дан угол между асимптотами, а не между асимптотой и осью . Таким образом, получаем следующее: ; Также учитывая, что  , получим  Значит  Координаты центра симметрии гиперболы равны  . Таким образом получаем уравнение гиперболы: Задание 3: Заданы точки  и  Найдите: 1) скалярное произведение  и угол  ; 2) векторное произведение  ; 3) смешанное произведение  и объём пирамиды  ; 4) проекцию точки  на прямую  ; 5) уравнения плоскостей  и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника  ; 7) расстояние от точки  до плоскости  ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведённого из точки на плоскость  , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой  , где  точка пересечения медиан треугольника  .Решение:1) Найдём координаты векторов  ,  , отсюда скалярное произведение равно  . Аналогично    , а их скалярное произведение  , но  , значит  2) Векторы  , их векторное произведение  3) Смешанное произведение  объём пирамиды составляет шестую часть объёма параллелепипеда, то есть  4) Составим параметрические уравнения прямой :  проекцию точки найдём как пересечение этой прямой и плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к этой прямой. Уравнение этой плоскости  Подставив вместо  его выражение из параметрических уравнений  , получим Таким образом, получим точку проекции  5) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Для  : аналогично составляем уравнение плоскости   Угол между ними  6) Площадь треугольника найдём как половину площади параллелограмма, которая численно равна длине векторного произведения:   7) Найдём уравнение плоскости  : Расстояние от точки до этой плоскости рассчитывается по формуле 8) Плоскость  :  сокращая на 5, получаем:  Канонические уравнения перпендикуляра из точки на эту плоскость имеют вид  проекцию точки на плоскость найдём как пересечение этого перпендикуляра и плоскости. Запишем уравнения перпендикуляра в параметрическом виде: Подставим в уравнение плоскости : В результате получим координаты точки проекции  9) Найдём координаты точки  пересечения медиан треугольника . Координаты середины  это  Точка делит отрезок  в отношении 2:1, отсюда её координаты  .Направляющим вектором искомой прямой является  . Её параметрические уравнения: Задание 4: Приведите уравнение  к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.Решение:Перенесём всё в одну часть и выделим полные квадраты:  Перенесём  и свободный член в правую часть и умножим обе части уравнения на 2: Обозначим  тогда получим это каноническое уравнение эллиптического параболоида.Задание 5: Исследуйте на совместимость систему:  Если система совместна, найдите её общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы. Решение:Составим расширенную матрицу системы и приведём её к треугольному виду   Здесь мы умножили вторую и четвёртую строку на 2. Затем прибавили ко второй строке первую, умножив её на -3, третью к первой, умножив на -2 и четвертую к первой, умноженную на -7. Далее сложили третью и четвертую строки. Умножив четвертую строку на -10, прибавили её к третьей. Затем разделили её на -2. Нулевые строки вычёркиваются. Наша система совместна, так как ранг матрицы и ранг расширенной матрицы совпадают и равны 3. Порядок системы равен 4. Разность порядка и ранга (у нас  ) равно количеству неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно. Пусть  , тогда из второго уравнения:  . Подставив выражения в первое уравнение, получим:  , Фундаментальной системой решений является вектор  . Задание 6. Решите матричное уравнение  Решение:Определим размерность искомой матрицы  . В произведении  в левой части уравнения матрица размера  , а в правой части матрица размера  , следовательно, чтобы умножение матриц было выполнимо, множитель должен иметь размер . Значит, матрица имеет шесть элементов, которые мы примем в качестве неизвестных:  Теперь, согласно определению произведения матриц, выполним умножение в левой части уравнения: Приравняв полученную матрицу к той, что стоит в правой части уравнения, получим систему:  Исследуем и решим данную систему методом Гаусса. Приведём расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:   Запишем систему, отвечающую преобразованной матрице:  Ранг этой системы равен 4, а порядок равен 6, следовательно, 2 переменные могут быть выбраны произвольно. Пусть  Тогда из системы найдём Таким образом, искомая матрица  где  произвольные числа.Задание 7: Пусть  линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трёх, и  . Найдите матрицу оператора в базисе  , если  Решение:Применяем указанный в условии оператор ко всем векторам в базисе поочередно:  ; ; ; .Координаты преобразованных базисных векторов составляют столбцы матрицы линейного оператора:  Задание 8: Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы  Решение:Собственные значения 𝜆 квадратной матрицы  это корни характеристического уравнения  где  единичная матрица того же порядка, что и матрица  Характеристическое уравнение имеет вид:  Разложим определитель по первой строке:   Собственные значения равны  Теперь найдём отвечающие этим числам собственные векторы. Собственный вектор является решением матричного уравнения  или  Последнее уравнение можно записать в виде однородной системы.Пусть  , тогда   из которой получаем  При  имеем   откуда  При  получим   таким образом, получим  Задание 9: Матрица линейного преобразования  задана в базисе  Найдите матрицу этого преобразования в базисе  где  .Решение:Запишем матрицу  перехода к новому базису. Для этого в столбцах этой матрицы запишем координаты новых базисных векторов   Определитель этой матрицы  , значит матрица обратима. Обратную матрица равна Как известно, матрица в новом базисе вычисляется по формуле  Таким образом, получили матрицу в базисе  |