Консультация_2021. Экзамен линейная алгебра и аналитическая геометрия

• Название: Экзамен линейная алгебра и аналитическая геометрия
• Дата: 13.01.2022
• Размер: 1 Mb.
• Имя файла: Консультация_2021.pdf
• Тип: Документы; #329716

1
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
ЭКЗАМЕН
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
(I семестр)

2
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

3
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

4
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Демонстрационный вариант экзаменационного билета
В билете 9 заданий
1. Решить уравнений
, где (
), (
).
ИЛИ
Решить систему линейных уравнений: {
. Ответ за- писать в виде (
) .
ИЛИ
Даны две матрицы (
) и (
). Найти сумму элементов, стоящих на главной диагонали матрицы

5
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
2. Даны координаты точек
, , . Найти внутренний угол треугольника (ответ записать в градусах).
ИЛИ
Найти острый угол между плоскостями и , если ,
(ответ записать в градусах).
3. Вычислить объѐм тетраэдра
, если
̅̅̅̅ ̅ ̅
̅̅̅̅ ̅ ̅
̅̅̅̅
̅ ̅.
ИЛИ
В треугольнике с вершинами найти длину высоты, опущенной из вершины .

6
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .
ИЛИ
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку пер- пендикулярно вектору
⃗⃗⃗⃗⃗ , если , .
5. Составить уравнение гиперболы с фокусами в точках и и мнимой полуосью, равной .

7
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
6. Привести комплексное число
( )( )
к алгебраическому виду. В от- вете записать (
( )
( )
ИЛИ
Определить тип поверхности, заданной уравнением:
(в ответе записать название поверхности и коорди- наты центра).

8
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпен- дикулярно прямой
{
ИЛИ
Известно, что | | √ | ⃗ | ( ⃗ )
. Вычислить площадь тре- угольника, построенного на векторах ⃗ ⃗ .
ИЛИ
Найти проекцию точки на плоскость .
ИЛИ
Найдите точку S, являющуюся проекцией точки
)
4
;
3
;
0
(

P
на прямую L, за- данную общим уравнением











0 8
3 2
0 4
2
:
z
y
x
z
y
x
L

9
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Решение. Искомая точка



L
S
, где плоскость

содержит точку P и проходит перпендикулярно L.
Составим уравнение плоскости

. В плоскости

бу- дем искать точку симметричную данной, и проекцию точки. Направляющий вектор

a прямой L есть век- тор нормали для искомой плоскости


P
L
0
M

a
S
1
P
Найдем

a .
)
1
;
2
;
1
(
1



n
,
)
1
;
3
;
2
(
2



n
- векторы нормалей пересекающихся плоскостей, зада- ющих прямую
L

10
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2

















k
j
i
k
j
i
n
n
a
7 3
1 3
2 1
2 1
]
,
[
2 1
- направляющий вектор прямой L.
Составим уравнение плоскости

, заданной точкой P и нормальным вектором

a
:
0 19 7
3 0
)
4
(
7
)
3
(
3
)
0
(













z
y
x
z
y
x
Составим параметрические уравнения прямой:
Направляющий вектор








k
j
i
a
7 3
. Найдем какую-нибудь точку
)
;
;
(
0 0
0 0
z
y
x
M
, принадлежащую этой прямой.

11
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Пусть, например,
0 0

x
, тогда для
L справедливо:
0 4
0 8
3 0
4 2
:
0 0
0 0
0













y
z
y
z
y
L
4 0

y
, тогда
4 0

z
Таким образом,
L
M

)
4
;
4
;
0
(
0










4 7
4 3
t
z
t
y
t
x

12
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Пусть
)
;
;
(
S
S
S
z
y
x
S
L





L
z
y
x
S
S
S
S
)
;
;
(
,










4 7
4 3
S
S
S
S
S
S
t
z
t
y
t
x



)
;
;
(
S
S
S
z
y
x
S
0 19 7
3





S
S
S
z
y
x
0 59 59 19
)
4 7
(
7
)
4 3
(
3
)
(
16 7
3















S
S
S
S
S
S
S
t
t
t
t
z
y
x



1
S
t








3 1
1
S
S
S
z
y
x
)
3
;
1
;
1
(

S
- проекция точки P на прямую L.
Ответ.
)
3
;
1
;
1
(

S

13
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Теоретические вопросы по курсу:
8. Определить вид системы линейных алгебраических уравнений. В ответе ука- зать номер правильного ответа. {
1) система совместная определенная;
2) система совместная неопределенная;
3) система несовместная определенная;
4) система несовместная.

14
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
9. Указать номера верных утверждений.
1) Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора мат- рицы.
2) Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произ- ведение не равно нулю.
3) Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид:
.
3) Модуль комплексного числа вычисляется по формуле: | |
√
4) Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невы- рожденная.

15
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Указать номера верных утверждений.
1) Для квадратных матриц справедливо равенство:
2) Система линейных алгебраических уравнений называется несовместной, ес- ли она имеет бесконечно много решений.
3) При векторном умножении ортов координатных осей выполняется равен- ство: ⃗ .
4) Расстояние от точки до прямой определяется по формуле:
|
|
√
5) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид {

16
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Критерии оценки экзамена
Оценка
Критерий
Отлично
9 правильных ответов
8 правильных ответов в тесте и одна написанная на положительную оценку контрольная работа
7 правильных ответов в тесте и две написанные на положительную оценку контрольные работы
Хорошо
8 правильных ответов
7 правильных ответов в тесте и одна написанная на положительную оценку контрольная работа
6 правильных ответов в тесте и две написанные на положительную оценку контрольные работы
Удовлетворительно
5 правильных ответов в тесте
4 правильных ответа в тесте и хотя бы одна, написанная на положи- тельную оценку контрольная работа
3 правильных ответа в тесте и две, написанные на положительную оценку контрольные работы
Неудовлетворительно
4 и менее правильных ответов и отсутствие контрольных работ

17
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
Вопросы к экзамену
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
I семестр
1.
Прямоугольные, квадратные, треугольные и диагональные матрицы. Сложение мат- риц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование матриц.
Основные свойства этих операций.
2.
Определители 2-го и 3-го порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Опреде- ление определителя -го порядка. Разложение определителя по строке и столбцу.
3.
Основные свойства определителей. Вычисление определителей с помощью свойств.
Определитель произведения квадратных матриц и транспонированной матрицы.
4.
Формулы Крамера. Решение систем линейных алгебраических уравнений по форму- лам Крамера.
5.
Вырожденная и невырожденная матрица. Обратная матрица: определение, алгоритм вычисления и основные свойства. Критерий существования обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
6.
Решение матричных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений с по- мощью обратной матрицы.

18
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
7.
Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Сохранение ранга матриц при элементарных преобразованиях. Способы нахождения ранга. Базисный минор. Тео- рема о базисном миноре.
8.
Основные понятия теории систем линейных алгебраических уравнений: частное ре- шение, общее решение, матрица системы и расширенная матрица системы. Запись линейной системы уравнений в матричном виде.
9.
Системы линейных алгебраических уравнений: однородные и неоднородные, сов- местные и несовместные, определенные и неопределенные. Эквивалентные системы.
Элементарные преобразования линейных систем (их матриц). Метод Гаусса решения линейных систем, свободные и базисные неизвестные.
10.
Фундаментальная система решений однородной системы. Критерий совместности линейной алгебраической системы (теорема Кронекера-Капелли). Условие суще- ствования ненулевого решения у однородной системы. Теорема о структуре обще- го решения совместной неоднородной системы.
11.
Вектор как направленный отрезок. Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

19
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
12.
Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Понятие базиса. Декартовы коорди- наты вектора. Канонические базисы , на плоскости и , , ⃗ в пространстве. Де- ление отрезка в заданном отношении. Условие коллинеарности двух векторов.
13.
Компланарные и некомпланарные тройки векторов. Определения правой и левой троек векторов.
14.
Скалярное произведение векторов, его свойства и координатная форма. Вычисле- ние скалярного произведения, нахождение с его помощью длины вектора, угла между векторами и проекции вектора на вектор. Условие ортогональности векто- ров.
15.
Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Коорди- натная форма векторного произведения. Условие коллинеарности векторов через векторное произведение. Нахождение площади параллелограмма и треугольника с помощью векторного произведения.
16.
Смешанное произведение векторов: определение, свойства, координатная форма и геометрический смысл. Условие компланарности тройки векторов. Нахождение объемов параллелепипедов и тетраэдров.

20
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
17.
Виды уравнений прямой на плоскости: каноническое и параметрическое уравне- ния, общее уравнение, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости для различных видов уравнений.
18.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору (заданной прямой). Уравнение плоско- сти, проходящей через заданную точку, параллельно двум неколлинеарным векто- рам. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.
19.
Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки. Прямая как линия пе- ресечения плоскостей.
20.
Взаимное расположение двух прямых. Нахождение угла между прямыми. Расстоя- ние между параллельными и скрещивающимися прямыми.
21.
Прямая и плоскость в пространстве, их взаимное расположение. Расстояние от точ- ки до плоскости. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

21
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
22.
Пересечение прямой и плоскости, нахождение проекций точек на прямую и плос- кость и симметричных точек. Нахождение расстояний: от точки до плоскости, от точки до прямой, между плоскостями.
23.
Кривые второго порядка на плоскости. Геометрические определения эллипса, ги- перболы и параболы. Их канонические уравнения. Построение графиков по задан- ным каноническим уравнениям. Фокусы, эксцентриситет, асимптоты и директрисы эллипса, гиперболы и параболы. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду, определение типа кривой.
24.
Поверхности второго порядка в пространстве. Канонические уравнения и графики: эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, конуса, эллиптиче- ского и гиперболического параболоидов, цилиндров (эллиптического, гиперболи- ческого и параболического).
25.
Приведение уравнений поверхностей второго порядка к каноническому виду, определение типа поверхностей, исследования поверхности с помощью сечения плоскостями. Нахождение точек пересечения поверхности и прямой.
26.
Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Действительная и мни- мая части комплексного числа, изображение комплексных чисел на комплексной

22
РТУ МИРЭА Кафедра ВМ-2
плоскости. Сопряжение комплексных чисел. Алгебраические операции с ком- плексными числами: сложение, умножение, деление комплексных чисел и их свой- ства. Комплексное сопряжение суммы, произведения, отношения двух комплекс- ных чисел.
27.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и главное значе- ние аргумента комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная (экспоненци- альная) форма записи комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.
28.
Возведение в целую степень и извлечение корня натуральной степени из комплекс- ного числа. Формула Муавра.
29.
Определение многочлена. Сложение, умножение на число и перемножение много- членов. Алгоритм деления многочлена на многочлен, целая часть, дробная часть и остаток от деления. Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность.
30.
Основная теорема алгебры многочленов. Разложение многочленов на множители.
Многочлены с действительными коэффициентами, их разложение линейные и квадратичные множители.