мой урок. Решение задач по теории вероятностей

• Название: Решение задач по теории вероятностей
• Дата: 16.06.2022
• Размер: 41.21 Kb.
• Имя файла: мой урок.docx
• Тип: Урок; #598189

Урок подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе

« Решение задач по теории вероятностей »
Подготовила

Харченко Елена Викторовна,

учитель математики МБОУ СОШ №3

Урок подготовки к ЕГЭ по математике в 11 классе

« Решение задач по теории вероятностей »
Тема: «Решение задач по теории вероятностей» Цели урока:

• 
  обобщить материал по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ по математике»;
  
• 
  развивать вероятностное мышление учащихся;
  
• 
  повысить положительную мотивацию к учению.
  

Задачи урока:

1. 
   образовательные:
   
   • 
     обобщить и систематизировать основные понятия изучаемой темы;
     
   • 
     отработать и закрепить практические навыки решения ключевых задач;
     
   • 
     продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ по математике;
     
2. 
   развивающие:
   

• 
  продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;
  
• 
  продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;
  

3. 
   воспитательные:
   

• 
  воспитывать коммуникативные компетенции;
  
• 
  продолжить формирование общей и математической культуры учащихся;
  
• 
  воспитывать понимание значимости ведущей роли математики в развитии современного научно-технического общества.
  

Тип урока: комбинированный.

Форма работы учащихся: индивидуальная и групповая.

Оборудование:

• 
  компьютер;
  
• 
  проектор;
  
• 
  экран.
  

Цели урока:

• 
  Организация повторения основных теоретических фактов
  
• 
  развивать вероятностное мышление учащихся;
  
• 
  повысить положительную мотивацию к учению.
  

Задачи урока:

образовательные:

• 
  обобщить и систематизировать основные понятия по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ по математике»;
  
• 
  отработать и закрепить практические навыки решения ключевых задач;
  
• 
  продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ по математике;
  

развивающие:

• 
  продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;
  
• 
  продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;
  

воспитательные:

• 
  воспитывать коммуникативные компетенции;
  
• 
  продолжить формирование общей и математической культуры учащихся;
  
• 
  воспитывать понимание значимости ведущей роли математики в развитии современного научно-технического общества.
  

Тип урока: комбинированный.

Форма работы учащихся: индивидуальная и групповая.

Оборудование:

• 
  компьютер;
  
• 
  проектор;
  
• 
  экран.
  

Дидактический материал: компьютерная презентация «Решение задач по теории вероятностей »

Литература, использованная при подготовке к уроку:

1. 
   Мордкович А.Г. Семенов П.В. События. Вероятности, Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсы алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3-е изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 112 с.
   
2. 
   Математика. 10-11 классы: элективный курс «В мире случайных закономерностей» / ав.-сост. В.Н. Студенецкая и др. – Волгоград: Учитель, 2007. – 126 с.
   
3. 
   Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики: Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физико-математических факультетов педагогических институтов / Н.Я. Виленкин, В.Г. Потапов. – Москва: Просвещение, 1979. – 112 с.
   
4. 
   Демоверсии ЕГЭ по математике – 2015, 2016.
   
5. 
   http://mathege.ru/ - открытый банк заданий по математике.
   

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профильный уровни / [ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин] – М. : Просвещение, 2012. – 430с.

2. Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – 2-е изд., доп– М.: МЦНМО, 2013. – 48 с.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистики: учебно-методическое пособие / Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 32 с.

4. Рязановский А.Р. ОГЭ(ГИА-9). Математика. Основной государственный экзамен. Теория вероятностей и элементы статистики. / А.Р.Рязановский, Д.Г. Мухин. – М : Издательство «Экзамен», 2015. – 47с.

5. www.mathege.ru – Математика ЕГЭ 2017 (открытый банк заданий).

6. www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

7. http://eek.diary.ru/ – сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике.

8. http://reshuege.ru – Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ. Математика».

План урока:

1. 
   Вводное слово учителя. Постановка цели урока – 1 мин.
   
2. 
   Теоретический материал – повторение основных понятий, формул и правил по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» - 10 мин.
   
3. 
   Практикум: решение ключевых типов задач В-4 ЕГЭ по математике – 15 мин.
   
4. 
   Самостоятельная работа учащихся - решение задач по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ» – 15 мин. (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1)
   
5. 
   Проверка результатов самостоятельной работы – 2 мин.
   
6. 
   Домашнее задание – 1 мин.
   
7. 
   Подведение итогов урока. – 1 мин.
   

Ход урока:

1. 
   Вводное слово учителя. Постановка цели урока.
   

Учитель: Великий французский ученый Блез Паскаль писал об этой чудесной науке так: «Это учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределенностью случая и примиряющее эти, казалось бы, противоречивые элементы, с полным правом может претендовать на титул – «математика случайного».

Задания на «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» включены в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике с 2012 года. Теория вероятностей – это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. Окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъёмы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Теория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жёстких связях, и о случайном. Научиться решать задачи – одна из важнейших целей образования. Овладеть математическими знаниями, позволяющими описывать окружающий нас мир, научиться составлять, анализировать и интерпретировать соответствующие математические модели – наиважнейшая цель математического образования.

Практика показала, что ряд учащихся испытывает затруднения при решении задач данной тематики, поэтому для успешного решения таких задач на экзамене нам предстоит серьезная работа. Сегодня на уроке мы вспомним и повторим материал по этой теме, решим ключевые типы задач, входящих в ЕГЭ.

2) Теоретический материал – повторение основных понятий, формул и правил по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей».

Учитель: Первым делом нам необходимо заложить теоретические основы, без которых невозможно успешное решение задач на «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Для этого давайте все вместе вспомним и повторим основные понятия, формулы и правила. (Демонстрация слайдов презентации. Учитель акцентирует внимание учащихся на теоретических аспектах темы).

Слайд 1.

Определение: Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Пример: Попадание или промах при стрельбе по мишени.

Определение: Элементарные события – простейшие события (исходы), которыми может окончиться случайный опыт.

Слайд 2.

Определение: Событие Ā называется противоположным событию А,

если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Слайд 3.

Определение: Два случайных события называются несовместными,

если они не могут произойти одновременно при одном и том же исходе испытания.
Учитель: Иными словами: несовместные события не могут наступить в одном опыте.

Слайд 4.

Определение (классическое определение вероятности):

Вероятностью события называется отношение числа

благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Обозначение: P(A) – вероятность события А

Формула Лапласа (классическое определение вероятности):

P (A) = , где

m_a – число благоприятных исходов события А,

n – число всех равновозможных исходов.

Замечание: Часто в специальной литературе формула классической вероятности

записывается в таком виде: P = , где P - вероятность,

k - число благоприятных исходов,

n - общее число возможных исходов.

Слайд 5

Пример.

Андрей, Роман, Максим и Сергей бросили жребий, кому быть вратарем.

Найти вероятность того, что вратарем стал Роман.

Решение:

Пусть событие А = {вратарем стал Роман}.

Число благоприятных исходов k = 1.

Общее число возможных исходов n = 4.

По формуле классической вероятности получаем:

P (A) = = 0, 25.

Ответ: 0,25

Слайд 6

Определение: Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.
Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

Учитель: Ребята, обратите особое внимание: в задании В4 ЕГЭ по математике ответ всегда записывается в виде положительной десятичной дроби, значение которой всегда меньше 1.

Слайд 7

Определение: Вероятность противоположных событий:

Р(А) + Р(Ā) = 1

Р(А) = 1 - Р(Ā)

Слайд 8

Определение: AU B (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А, В.

Определение: А ∩ В (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.
Формула сложения вероятностей для совместных событий:

Р (A U B) = Р(А) + Р(В) – Р (А ∩ В)
Формула сложения для несовместных событий:

Р (A U B) = Р(А) + Р(В)
Слайд 9

Формула умножения вероятностей для независимых событий:

Р (A ∩ B) = Р(А)*Р(В)

Формула умножения вероятностей для зависимых событий:

Р (A ∩ B) = Р(А)*Р(В\А) = Р(В)*Р(А\В)

Учитель: Обратите внимание: Р(В\А) – это вероятность события B при условии, что произошло событие A (аналогично для Р(А\В).

Слайд 10

Определение: Факториалом числа n называется произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.

Обозначение: n!

Формула: n! = 1*2*3*….*n

Пример: 4! = 1*2*3*4 = 24

Запомните: 0! = 1 (по определению)

Слайд 11

Определение: Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Обозначение: С_n^k - число сочетаний из n элементов по k

Формула:

С_n^k ₌

Слайд 12

Пример.

Иван Петрович купил билет спортлото. Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. Сколько существует способов это сделать?

Решение:

С₄₉⁶ ₌ =

= = 13 983 816.

Ответ: 13 983 816 способов

Учитель: Рассмотрим случай повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность того, что событие А наступит ровно раз m при проведении n независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода, обозначается Р_n(m) и вычисляется по формуле Бернулли.

Слайд 13

Формула Бернулли:
Р_n(m) = С_n^m * p^{m *}(1 – p) ^{n – m ,} где

р – вероятность наступления события А в каждом испытании,

m= 0, 2, 3, …, n.

3) Практикум – решение ключевых типов задач по ТВ в ЕГЭ по математике.
Учитель: Переходим от теории к практике. Рассмотрим, как теоретические знания основных понятий, законов и формул помогут нам в решении ключевых типов задач по ТВ в ЕГЭ по математике.

(Демонстрация слайдов презентации. Учитель акцентирует внимание учащихся на приемах решения ключевых задач в ЕГЭ по данной теме. Наименование типов задач составлено таким образом, чтобы сформировать у детей ассоциативные связи между типом задачи и алгоритмом ее решения).

Слайд14

Тип 1. Самая простая задача.

Задание 4 № 282855 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение: Из Китая выступают 20 – (8 + 7) = 5 спортсменок.

По формуле классической вероятности получим: P = = = 0, 25.

Ответ: 0,25

Слайд 15

Тип 2. Задача с бросанием монет

Задание 4 № 502129 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.

Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Способ I. Метод перебора комбинаций:

Нужно выписать все возможные комбинации орлов и решек,

а затем выбрать нужные и применить формулу классической вероятности.

Решение:

1. 
   Выписываем все возможные комбинации: ОО, ОР, РО, РР. Значит, n = 4.
   
2. 
   Среди полученных комбинаций выбираем те,
   

которые требуются по условию задачи: РР. Значит, m_a = 1.

3. 
   По формуле классической вероятности получим: P = = 0, 25.
   

Ответ: 0,25

Учитель: Метод перебора комбинаций крайне неудобен для большого количества бросков, т.к. занимает много времени. Поэтому мы можем пойти другим путем.

Слайд 16

Способ II. Специальная формула вероятности, адаптированная для решения задач с монетами.

Пусть в случайном эксперименте монету бросают n раз, тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле: P = , где

2ⁿ – число всех возможных исходов, С_n^k - число сочетаний из n элементов по k, которое вычисляется по формуле С_n^k ₌

Учитель: В задаче с монетами нужно знать два числа: число бросков и число орлов (решек). В большинстве задач эти числа заданы непосредственно в тексте задачи. Аналогично решаются задачи для решек. Имеем:

Слайд 17

Задание 6 № 283473 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.

Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение (Способ II):

С₃⁰ = = 1 P = = = 0,125
Ответ: 0,125

Слайд 18

Тип 3. Задача с игральным кубиком

Задача
Игральный кубик бросили один раз.

Какова вероятность того, что выпадет не менее 4 очков?
Решение:

1. 
   Бросаем игральный кубик один раз - 6 исходов.
   

Значит, у данного действия (бросание одного игрального кубика 1 раз)

всего имеется n = 6 возможных исходов.

2. 
   Выписываем все благоприятные исходы: 4; 5; 6.
   

Значит, k = 3 – число благоприятных исходов.

3. 
   По формуле классической вероятности имеем: P = = 0,5.
   

Ответ: 0,5

Слайд 19

Тип 4. Задача с игральными костями

Задание 4 № 283441 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

В случайном эксперименте бросают две игральные кости.

Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

1. 
   Бросаем первую игральную кость - 6 исходов, для каждого из которых
   

возможны еще 6 исходов (когда мы бросаем вторую кость).

Значит, у данного действия (бросание двух игральных костей)

всего имеется n = 6² = 36 возможных исходов.

2. 
   Выписываем все благоприятные исходы в виде пар чисел:
   

(1;4), (2;3), (3;2), (4;1).

Значит, k = 4 – число благоприятных исходов.

3. 
   По формуле классической вероятности имеем: P = = ≈ 0,11.
   

Ответ: 0,11
Учитель: Практика показала, что следующий тип задач вызывает у школьников наибольшие затруднения. Однако здесь нечего бояться. Такие задачи решаются просто.

Слайд 20

Тип 5. Задача с перекладыванием монет

Задание 4 № 500999 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение:

1. 
   Всего у Пети было: 4 + 2 = 6 монет.
   
2. 
   3 (переложенные) монеты можно выбрать из 6 (имеющихся) монет:
   

n = С₆³ = = = = 20 способами.

3. 
   2 монеты по 2 рубля выбираем из двух двухрублевых монет: 2! = 2 способами.
   
4. 
   3 монеты из 4-х монет по 1 рублю выбираем:
   

n = С₄³ = = = 4 способами.

5. 
   По формуле классической вероятности и правилу произведения получим:
   

P = = 0,4.
Ответ: 0,4

Слайд 21

Тип 6. Задача с экзаменационными билетами
Задание 6 № 320385 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

 
Решение:

1. 
   А = {вопрос на тему «Вписанная окружность»}
   

В = {вопрос на тему «Тригонометрия»}

С = {вопрос по одной из этих двух тем}

2. 
   События А и В несовместны, т.к. по смыслу задачи нет вопросов, относящихся к двум темам одновременно. Значит, С = A U B.
   
3. 
   Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, по правилу сложения для несовместных событий имеем:
   

Р (С) = Р (A U B) = Р(А) + Р(В)

Р(С) = 0,1 + 0,35 = 0,45.
Ответ: 0,45

Слайд 21

Тип 7. Задача с кофейными автоматами

Задание 6 № 320435 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

1. 
   А = {кофе закончится в первом автомате}
   

В = {кофе закончится во втором автомате}

С = A U B = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}

2. 
   По условию: Р(А) = Р(В) = 0,2, Р (А ∩ В) = 0,16
   
3. 
   По смыслу задачи события А и В являются совместными. По формуле сложения вероятностей совместных событий имеем:
   

Р(С) = Р (A U B) = Р(А) + Р(В) – Р (А ∩ В) = 0,2 + 0,2 – 0,16 = 0,24.

4. 
   Р (A U B) = 1 – 0,24 = 0,76.
   

Ответ: 0,76

Слайд 22

Тип 8. Задача о стрельбе по мишеням
Задание 4 № 320531 образовательный портал для подготовки к экзаменам “Решу ЕГЭ”

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Вероятность попадания = 0,85.

Вероятность промаха = 1 – 0,85 = 0,15.

А = {попадание, попадание, промах, промах}

События независимые. По формуле умножения вероятностей:

Р(А) = 0,85*0,85*0,15*0,15 = 0,7225*0,0225 = 0,01625625 ≈ 0,02.
Ответ: 0,02

4. 
   Самостоятельная работа учащихся - решение задач по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в ЕГЭ».
   

Учащиеся получают индивидуальные задания самостоятельной работы (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1) и выполняют их любым удобным способом на двойных листах в течение 15 минут. Учащиеся, справившиеся со своими заданиями раньше указанного времени, получают новое задание (на дополнительную оценку).

5. 
   Проверка результатов самостоятельной работы.
   

Каждый учащийся обменивается работой со своим соседом по парте. Учащиеся проверяют работу своего товарища, сверяя его ответы с верными ответами, представленными учителем на слайде.
Слайд 22

№ варианта	№ задачи
	1	2	3	4	5
1	0,05	0,07	0,35	0,5	0,4
2	0,3	0,03	0,6	0,56	0,43
3	0,04	0,17	0,6	0,78	0,4
4	0,25	0,14	0,3	0,66	0,43
5	0,28	0,07	0,55	0,4	0,4
6	0,1	0,14	0,35	0,34	0,43
7	0,14	0,14	0,55	0,42	0,4
8	0,25	0,08	0,5	0,74	0,4
9	0,1	0,02	0,6	0,4	0,4

Учитель: Ребята, а теперь оцените результаты работы соседа по парте по следующим критериям:
«5» - за 5 верных задач

«4» - за 4 верные задачи

«3» - за 3 верные задачи

«2» - если верно выполнено менее 3-х задач

Поставьте полученную оценку в работу своего соседа по парте

6. 
   Домашнее задание.
   

Учитель: Ребята, для закрепления успехов, достигнутых вами на уроке, а также для устранения допущенных ошибок и пробелов в ваших знаниях по данной теме, на дом вы получаете следующие задания:



Слайд 23

Домашнее задание:

• 
  Повторить всю теорию по теме.
  
• 
  Проанализировать алгоритмы решения всех ключевых задач.
  
• 
  Решить в рабочих тетрадях задачи:
  

1. 
   В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 4 раза.
   
2. 
   Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
   

• 
  Подобрать из открытого банка задач такие типы задач, которые не были рассмотрены сегодня на уроке
  

4. 
   Подведение итогов урока.
   

Учитель: Молодцы! Сегодня вы все активно работали на уроке, решили много задач. Но не следует забывать, что для получения глубоких и прочных знаний по предмету и успешной сдачи ЕГЭ по математике каждому из вас необходима систематическая ежедневная учебная работа.

Спасибо за урок!
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Задания для самостоятельной работы учащихся
Вариант 1

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Павла было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.
   

Вариант 2

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и 10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Ольги было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.
   

Вариант 3

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Италии и 2 прыгуна из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать девятым будет выступать прыгун из Парагвая.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Инны было 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Она, не глядя, переложила 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 2 рубля лежат в одном кармане.
   

Вариант 4

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 прыгунов из Голландии и 7 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет выступать прыгун из Голландии.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Татьяны было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.
   

Вариант 5

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из России и 10 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из России.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 13 очков. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Артура было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.
   

Вариант 6

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 10 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Италии.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Маргариты было 6 монет по 1 рублю и 2 монеты по 5 рублей. Она, не глядя, переложила 4 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане. Ответ округлите до сотых.
   

Вариант 7

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Италии и 10 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать вторым будет выступать прыгун из Италии.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Антона было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.
   

Вариант 8

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 9 прыгунов из Великобритании и 10 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать прыгун из Венесуэлы.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Ангелины было 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 2 рубля. Она, не глядя, переложила 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 2 рубля лежат в одном кармане.
   

Вариант 9

1. 
   На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Украины и 4 прыгуна из США. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать прыгун из Украины.
   
2. 
   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.
   
3. 
   На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
   
4. 
   В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
   
5. 
   В кармане у Владимира было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане.