5 в-т м-ка. Решение Z'(arcsin(2xy)) x Z'(arcsin(2xy)) y b) z 4 zx 3 x 2 zy 3 1

• Название: Решение Z'(arcsin(2xy)) x Z'(arcsin(2xy)) y b) z 4 zx 3 x 2 zy 3 1
• Дата: 02.12.2022
• Размер: 52.97 Kb.
• Имя файла: 5 в-т м-ка.docx
• Тип: Решение; #825097

Содержание

Задание 1 2

Задание 2 3

Задание 3 4

Задание 4 5

Задание 5 5

Список использованных источников 7

Задание 1

Условие:

Найти частные производные функции а) z=arcsin(2x-y), b) z⁴+zx³+x²zy³=1
Решение:

Z'=(arcsin(2x-y))_x



Z'=(arcsin(2x-y))_y



b) z⁴+zx³+x²zy³=1

Найдем частные производные по формулам:

,

, ,

Тогда:

,

Задание 2

Условие:

Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=5x²+6xy в точке А(2,1,32)
Решение:

Перенесем z в правую часть и записываем поверхность в виде:

F(x,y,z)=5x²+6xy-z

Найдем частные производные:

F_x’=10x+6y, F_y’=6x, F_z’=-1

Вычисляем значения полученных производных в точке

F_x’(A)=10*2+6*1=26, F_y’(A)=6*2=12, F_z’(A)=-1

Подставляем полученные данные в формулу касательной плоскости:

26(x-2)+12(y-1)-1(z-32)=0

26x-52+12y-12-z+32=0

26x+12y-z-32=0

Теперь запишем уравнение нормали к поверхности:

Задание 3

Условие:

Найти экстремумы функции z=(x+3)²+(y-2)²
Решение:

Найдем частные производные.



Решим систему уравнений.



Количество критических точек равно 1.
M₁(-3;2)

Найдем частные производные второго порядка.



Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).

Вычисляем значения для точки M₁(-3;2)



AC - B² = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M₁(-3;2) имеется минимум z(-3;2) = 0

В точке M₁(-3;2) имеется минимум z(-3;2) = 0.

Задание 4

Условие:

Найти производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению вектора l: u=x(lny-arctgz), l=8i+4j+8k, M(-2,1,-1)
Решение:



Производная по направлению:

Задание 5

Условие:

Найти экстремум функции двух переменных z=8x³-y²-12xy-1

Решение:

Найдем частные производные.



Решим систему уравнений.



Количество критических точек равно 2.
M₁(0;0), M₂(-3,18)

Найдем частные производные второго порядка.



Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).

Вычисляем значения для точки M₁(0;0)



AC - B² = -144 < 0, то глобального экстремума нет.

В точке M₂(-3;18)



AC - B² = 144 > 0 и А<0 , то в точке М₂ имеется максимум z(-3;18) = 107.

Список использованных источников

1. 
   Бугров, Я.С. Высшая математика в 3 т. Т.1 в 2 книгах. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебник для академического бакалавриата / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 501 c.
   
2. 
   Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом. - М.: Ленанд, 2019. - 512 c
   
3. 
   Шипачев, В.С. Высшая математика. полный курс в 2 т. том 1: Учебник для академического бакалавриата / В.С. Шипачев. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 288 c.