сабақ. Случайная величина. Случайная величина Определение Пример Случайная величина

• Название: Случайная величина Определение Пример Случайная величина
• Анкор: саба
• Дата: 04.05.2022
• Размер: 3.12 Mb.
• Имя файла: Случайная величина.ppt
• Тип: Документы; #511450

Случайная величина

Определение
Пример

Случайная величина

Случайной величиной называют переменную, которая в результате испытания принимает единственное значение, которое зависит от случая и не может быть известно заранее.
Обозначаем X, а ее значения x.

Мальчики среди шести новорожденных

Случайная величина – число мальчиков среди шести новорожденных.
Принимает значения от 0 до 6.
Значения 0 и 6 менее вероятны, чем значение 3.
Как вычислены эти вероятности, поймем позже.

Мальчики, x	Вероятность, P(x)
0	0,016
1	0,094
2	0,234
3	0,313
4	0,234
5	0,094
6	0,016

Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное количество значений.
Счетное количество может быть бесконечным, но, тем не менее, может быть подсчитано при помощи определенной процедуры. Счетными являются, например, целые числа.


0


1


2


3


4


5


6


Число новорожденных

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина, в противоположность дискретной, принимает бесконечное количество значений из определенного непрерывного множества на числовой прямой.
Множество значений непрерывной случайной величины несчетно.


0


6 месяцев


Срок службы лампочки

Зачем нужны случайные величины?

Случайные величины являются математическим инструментом для изучения случайных событий и явлений.

7-2. Распределение случайной величины

10 Май, 2022


Определение
Пример





Определение. Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.


Примеры.


1. Количество родившихся мальчиков среди 6 новорождённых.


2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле.


Дискретные и непрерывные случайные величины.


Случайные величины: X, Y, Z,…


, их значения: x, y, z,…





Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.


Таблично:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Аналитически:


Графически:


p1+ p2 +…+ pn=


1


– многоугольник
распределения

Вероятностное распределение - таблица

Таблица указывает на соответствие между принимаемыми значениями случайной величины и их вероятностями.
Таблица задает закон распределения случайной величины.

Мальчики, x	Вероятность, P(x)
0	0,016
1	0,094
2	0,234
3	0,313
4	0,234
5	0,094
6	0,016

Вероятностное распределение - график

Гистограмма также указывает на соответствие между принимаемыми значениями случайной величины и их вероятностями.


Распределение числа мальчиков
среди шести новорожденных

Вероятностное распределение - формула

Вероятностное распределение случайной величины может быть задано аналитически – формулой.
Пример. Формула для нахождения вероятности k мальчиков среди 6 новорожденных:

Необходимое условие

Для любой дискретной случайной величины сумма вероятностей должна быть равна единице:

Проверка необходимого условия

Задана случайная величина:
Проверим необходимое условие:
P(X) = 0,100 + 0,300 + 0,200 + 0,500 = 1,100  1,000
Условие не выполнено.
Вывод. Такой случайной величины не существует.

X	0	1	3	5
P	0,10	0,30	0,20	0,50

Лотерея

На корпоративной вечеринке выпущено 100 билетов лотереи.
Предусмотрены следующие выигрыши:
1 билет 1000 руб.
10 билетов 100 руб.
89 билетов без выигрыша
1. Построить закон распределения случайной величины X – суммы выигрыша одного билета.
2. Если билет стоит 30 руб., то построить закон распределения случайной величины Y – суммы чистого выигрыша одного билета.

Лотерея

1. Закон распределения суммы выигрыша:
2. Закон распределения чистого выигрыша:

X	0	100	1000
P	0,89	0,10	0,01

Y	-30	70	970
P	0,89	0,10	0,01

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее x, то есть
F(x) = p(X < x).


Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.


Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна на всей числовой оси.





Свойства функции распределения:


1)


2) Если x1 < x2, то


3)


4) Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то а) F(x)=0 при


б) F(x)=1 при


5) Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность того, что она примет одно определённое значение равна нулю: p(X=x) = 0.





Также функцию f(x) называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения.


Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию, являющуюся производной от функции распределения:
f (x) = F’(x).





Свойства плотности распределения:


1)


2)


3)


4)


a


b


f (x)


p(a < x < b)


f (x)

Числовые характеристики 1. Математическое ожидание

10 Май, 2022


Определение
Пример





Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех возможных значений этой случайной величины на соответствующие им вероятности. Обозначается М(Х).


Пусть


pn


…


p2


p1


p


xn


…


x2


x1


X


Если случайная величина Х принимает бесконечное множество значений, то


Математическое ожидание





Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называется определённый интеграл


Если возможные значения случайной величины распределены по всей оси Ox, то

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине: MC=C.
Свойство 2. Постоянную можно выносить: M(CХ)=CM(Х).
Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)= M(X)+M(Y).
Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M(X · Y)= M(X) · M(Y).


1. Закон распределения суммы выигрыша:
Математическое ожидание суммы выигрыша:

X	0	100	1000
P	0,89	0,10	0,01

2. Закон распределения чистого выигрыша:
Математическое ожидание чистого выигрыша:

Y	-30	70	970
P	0,89	0,10	0,01

Интерпретация

Математическое ожидание есть точка равновесия:


Примечание. Масштаб не сохранен


-10


-30


70


970


Математическое ожидание

Интерпретация

Если математическое ожидание равно -10, это означает, что в среднем каждый участник проигрывает -10 руб.
Такую лотерею можно считать несправедливой, поскольку в ней предусмотрен выигрыш организатора.
Если бы математическое ожидание было равно нулю, то выигрыши одних участников брались бы из проигрышей других участников.

2. Дисперсия и стандартное отклонение

10 Май, 2022


Определение
Пример

Дисперсия

Дисперсия (variance) случайной величины характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения.
Для дискретной случайной величины находится по формуле:





2. Непрерывная случайная величина


По определению


Но

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)=0
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя в квадрат:
D(Сx)=C2D(x)
Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
D(x+y)= D(x)+D(y)

Вторая формула для дисперсии

Имеется вторая формула для дисперсии:
Удобнее использовать для вычислений вручную.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (standard deviation) случайной величины есть квадратный корень из дисперсии:

Вычисление дисперсии чистого выигрыша

Закон распределения чистого выигрыша:
Дисперсия чистого выигрыша:

Y	-30	70	970
P	0,89	0,10	0,01

Вычисление стандартного отклонения

Закон распределения чистого выигрыша:
Стандартное отклонение:

Y	-30	70	970
P	0,89	0,10	0,01

Вычисление дисперсии

x	P(x)	x ·P(x)	x2 ·P(x)
0	0,016	-	-
1	0,094	0,094	0,094
2	0,234	0,468	0,936
3	0,313	0,939	2,817
4	0,234	0,936	3,744
5	0,094	0,470	2,350
6	0,016	0,096	0,576
	1,000	3,000	10,517

Вычисляем дисперсию при помощи таблицы по второй формуле:

Правило округления

Правило округления результатов вычислений состоит в том, что результат, как правило, должен иметь на один знак после запятой больше, чем точность случайной величины.
Если случайная величина принимает целые значения, среднее значение, стандартное отклонение следует округлять до одного знака после запятой.





1. Биномиальное распределение


Х – число появлений события А в n независимых испытаниях


p – вероятность события А


Возможные значения:


Обозначим q=1 – p. Тогда


p(k) = pkqn-kCnk


М(Х) = np


k = 0, 1, 2, …, n


Бином Ньютона:


D(Х) = npq


и


р – параметр распределения





2. Распределение Пуассона


n – очень большое, p – очень мала,


Возможные значения:


k = 0, 1, 2, …, n


Х – число появлений события А в n независимых испытаниях


λ – параметр распределения


Тогда p(k) = pkqn-kCnk.





1. Равномерное распределение


В интервале (a, b) постоянная плотность распределения


a, b – параметры распределения


и





2. Показательное распределение


λ – параметр распределения


и





3. Нормальное распределение


и


a, σ – параметры распределения